In questa lezione vedremo come lo studio del segno della derivata prima è uno strumento potentissimo per poter riconoscere se un punto nel quale si annulla la derivata prima è di massimo o minimo locale (relativo) per una funzione.
Così, dopo aver visto il teorema di Fermat che individua con precisione possibili punti di massimo o minimo locale (relativo), con lo studio del segno della derivata prima arriveremo ad individuare con certezza eventuali punti di massimo o minimo locale per una data funzione.
Per stabilire la regola dello studio del segno della derivata prima per l’individuazione dei massimi e dei minimi relativi (o locali) di una funzione è fondamentale il teorema che pone in relazione la crescenza/decrescenza delle funzioni con la loro derivata prima. Di questo ci siamo occupati nella precedente lezione. 😉
Vediamo allora subito il teorema che permette di individuare i punti di massimo e minimo locali (relativi) mediante lo studio del segno della derivata prima della funzione in esame. Via! 🙂
Teorema (massimi e minimi relativi con lo studio del segno della derivata prima)
Sia \( f(x) \) una funzione continua in \( [a,b] \) e derivabile in \( ]a,b[ \). Sia inoltre \( x_0 \in ]a,b[ \) un punto per il quale risulti \( f'(x_0) = 0 \).
- Se \( f'(x)>0 \) per \( x \in ]a, x_0[ \) e se \( f'(x)<0 \) per \( x \in ]x_0, b[ \), allora \( x_0 \) è un punto di massimo locale (relativo) per la funzione \( f(x) \);
- se \( f'(x)<0 \) per \( x \in ]a, x_0[ \) e se \( f'(x)>0 \) per \( x \in ]x_0, b[ \), allora \( x_0 \) è un punto di minimo locale (relativo) per la funzione \( f(x) \);
- qualora invece \( f'(x)< 0 \) per \( x \in ]a,b[ \) oppure \( f'(x)>0 \) per \( x \in ]a,b[ \), allora \( x_0 \) non è punto né di massimo né di minimo locale (relativo).
Dimostrazione
Vediamo la dimostrazione del teorema punto per punto.
Punto 1. Possiamo tradurre le ipotesi date sul segno della derivata prima, in forza del teorema sulla crescenza/decrescenza delle funzioni, dicendo che \( f(x) \) è strettamente crescente in \( ]a,x_0[ \) ed è strettamente decrescente in \( ]x_0, b[ \). Ma allora \( x_0 \) è punto di massimo locale per la definizione di massimo locale.
Punto 2. In questo caso le ipotesi date, in modo del tutto simile al caso precedente, ci consentono di dire che \( f(x) \) è strettamente decrescente in \( ]a,x_0[ \) ed è strettamente crescente in \( ]x_0, b[ \). Ma allora \( x_0 \) è punto di minimo locale per la definizione di minimo locale.
Punto 3. Prendiamo ad esempio il caso ove sia \( f'(x)> 0 \) in tutto l’intervallo \( ]a,b[ \). Allora \( f(x) \) è strettamente crescente in tutto \( ]a,b[ \). Di conseguenza, se \( x < x_0 \) allora \( f(x)<f(x_0) \). Se invece \( x > x_0 \) allora \( f(x)>f(x_0) \). Quindi \( x_0 \) non rispetta nessuna delle definizioni di massimo locale o minimo locale. In conclusione \( x_0 \) non è punto né di massimo né di minimo locale per \( f(x) \).
Alla stessa conclusione si perviene in modo simile nell’altro caso ove \( f'(x)< 0 \) in tutto l’intervallo \( ]a,b[ \).
Punti di flesso a tangente orizzontale
I punti che non sono né massimi né minimi ma che comunque annullano la derivata prima (caso 3 del precedente teorema) sono punti in corrispondenza dei quali si ha un flesso a tangente orizzontale.
Così, se in un punto \( x_0 \) si ha \( f'(x_0) = 0 \) (derivata prima nulla) e in un intorno di \( x_0 \) la derivata prima è sempre positiva o sempre negativa, in \( x_0 \) abbiamo un flesso a tangente orizzontale, rispettivamente ascendente (derivata prima positiva nell’intorno) o discendente (derivata prima negativa nell’intorno).
Esempi sulla ricerca di massimi e minimi locali mediante lo studio del segno della derivata prima della funzione in esame
Esempio 1
Determinare gli eventuali massimi e minimi locali della funzione:
\[ y=x^4-8x^2 \]
Cominciamo ricercando i possibili punti di massimo o minimo locale utilizzando il teorema di Fermat. Si tratta di calcolare la derivata prima della funzione, imporla uguale a zero e ricavare le soluzioni. Tutte le \( x \) che soddisfano l’equazione sono possibili punti di massimo o minimo locale (relativo) per la funzione.
Calcoliamo la derivata prima:
\[ \dfrac{d}{dx}(x^4-8x^2)=4x^3-16x \]
Imponiamola uguale a zero:
\[ 4x^3-16x=0 \]
Raccogliendo al primo membro:
\[ 4x(x^2-4)=0 \]
Per la legge di annullamento del prodotto:
\[ 4x=0 \quad \vee \quad x^2-4=0 \]
Per la prima equazione abbiamo:
\[ 4x=0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]
Per la seconda equazione (è un’equazione di secondo grado):
\[ x^2-4=0 \quad \Rightarrow \quad (x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow \quad x_{1,2}=2, \: -2 \]
Per cui i possibili punti di massimo o minimo locali sono \( x=0, \: x_1 = 2, \: x_2 = -2 \).
Per verificare se effettivamente abbiamo fra questi punti dei punti di massimo o minimo locale, dobbiamo studiare il segno della derivata prima. Ricordando che dai calcoli eseguiti precedentemente \( \dfrac{d}{dx}f(x)=4x^3-16x \), ci chiediamo quando:
\[ 4x^3-16x>0 \]
Scomponiamo il primo membro in fattori e studiamo il segno di ciascun fattore. Il diagramma dello studio dei segni ci consentirà di ricavare il segno dell’espressione a primo membro:
\[ 4x^3-16x>0 \quad \Rightarrow \quad 4x(x-2)(x+2)>0 \]
Si ha:
Poiché nel primo intervallo a sinistra la derivata prima è negativa mentre nel secondo intervallo è positiva, in virtù del teorema dimostrato in questa lezione possiamo dire che il punto \( x=-2 \) è punto di minimo locale per la funzione. Infatti, intuitivamente il punto \( x=-2 \) si trova fra due intervalli nei quali la funzione è rispettivamente strettamente decrescente e crescente.
Con ragionamento del tutto simile possiamo dire che \( x=0 \) è un punto di massimo locale per la funzione. Infatti, il punto \( x=0 \) si trova tra due intervalli ove la funzione è rispettivamente strettamente crescente e decrescente.
Infine, il punto \( x=2 \) è di minimo locale poiché prima di esso la funzione decresce (strettamente), dopo di esso la funzione cresce (strettamente).
Il grafico della funzione di partenza \( y=x^4-8x^2 \) conferma i risultati ottenuti:
Esempio 2
Trovare gli eventuali massimi e minimi relativi (locali) della funzione:
\[ y=x^3-3x^2-45x+25 \]
Calcoliamo la derivata prima e imponiamola uguale a zero, in modo da trovare i possibili punti di massimo e minimo locali:
\[ \dfrac{d}{dx}\left(x^3-3x^2-45x+25 \right)=3x^2-6x-45 \]
Quindi imponendo:
\[ 3x^2-6x-45=0 \]
Ricaviamo dalle soluzioni dell’equazione i possibili punti di massimo e minimo locale:
\[ x_1 = -3; \qquad x_2 = 5 \]
Studiamo il segno della derivata prima, ovvero di \( 3x^2-6x-45 \). Ci chiediamo quando:
\[ 3(x-5)(x+3)>0 \]
Ovviamente \( 3>0 \) sempre, per cui dovremo soltanto studiare il segno dei rimanenti fattori a primo membro. Abbiamo:
Abbiamo qui utilizzato delle frecce per indicare la crescenza/decrescenza della funzione in prossimità dei possibili punti di massimo/minimo locale.
In conclusione \( x=-3 \) è un punto di massimo locale mentre \( x=5 \) è un punto di minimo locale per la funzione.
Conclusioni
Abbiamo così visto come grazie al teorema di Lagrange e alle sue conseguenze (teorema su crescenza e decrescenza delle funzioni e il teorema di questa lezione) è possibile individuare con certezza i punti di massimo e minimo relativi (locali).
Per quanto riguarda lo studio del segno della derivata prima per individuare i punti di massimo e minimo locali è tutto. Nella prossima lezione introdurremo il concetto di concavità con l’obiettivo di capire quali informazioni può darci la derivata seconda di una funzione. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂