In questa lezione forniremo una tabella degli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni elementari. In altre parole, mostreremo come esprimere ciascuna funzione elementare come serie di Taylor, ovvero nella forma:
f(x)=\sum_{n=0}^{N} \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n+o(x-c)^N, \quad \forall \: x \in IRicordiamo che il numero reale {c} è il centro dello sviluppo. Negli sviluppi che presenteremo in questa lezione supporremo {c = 0}. L’intervallo {I} rappresenta invece l’insieme dei valori della {x} per i quali è valido lo sviluppo. Infine, la quantità {o(x-c)^N} rappresenta il resto di Peano.
Il nostro obiettivo è dunque quello di rappresentare le funzioni elementari come sviluppo di Taylor, in modo da poter poi lavorare con funzioni diverse da quelle elementari utilizzando proprio gli sviluppi delle funzioni elementari.
Come visto ad esempio nella precedente lezione, grazie agli sviluppi di Taylor è possibile calcolare il limite di una funzione. Ma per il momento con la formula che abbiamo a disposizione possiamo calcolare agevolmente soltanto gli sviluppi di funzioni elementari. Tuttavia, mostreremo che è possibile calcolare in modo più immediato lo sviluppo di una qualsiasi funzione mediante gli sviluppi delle funzioni elementari. Ad esempio, noti gli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari {f_1(x)} e {f_2(x)}, sarà possibile calcolare in modo semplificato lo sviluppo del rapporto {\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}}.
Questo consente ad esempio di calcolare limiti di funzioni anche non elementari utilizzando gli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.
Cominciamo allora subito a preparare gli strumenti dei quali abbiamo bisogno fornendo la tabella degli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni elementari, con centro dello sviluppo {c=0}. L’idea è quella di fornire una volta per tutte gli sviluppi delle funzioni elementari senza dover calcolarli ogni volta.
NOTA: per semplicità omettiamo nella maggior parte dei casi di riportare la forma generale degli sviluppi, riportando unicamente la forma troncata, che comunque è quella che serve per gli esercizi.
Sviluppi in serie di Taylor delle funzioni elementari con c= 0 e resto formulato secondo Peano
Sviluppo in serie di Taylor con c=0 della funzione seno trigonometrico
Scriviamo lo sviluppo di Taylor con centro {c=0} della funzione:
f(x)=\sin x
Per questo primo esempio vediamo come applicare la formula degli sviluppi di Taylor, riepilogando così quanto visto nella precedente lezione.
Supponiamo per il momento di voler arrivare al quinto ordine. Si tratterà quindi di scrivere il polinomio di Taylor {T_5(x)} relativo alla funzione seno, sommando ad esso il resto di Peano corrispondente all’ordine al quale siamo arrivati:
\small \begin{align*} & \boxed{\sin(x)} =\dfrac{\sin(c)}{0!} \cdot (x - c)^0 +\dfrac{\cos(c)}{1!} \cdot (x-c)^1-\dfrac{\sin(c)}{2!} \cdot (x-c)^2+ \dots \\ \\ & -\dfrac{\cos(c)}{3!}\cdot(x-c)^{3} +\dfrac{\sin(c)}{4!}\cdot(x-c)^4+\dfrac{\cos(c)}{5!}\cdot (x-c)^5+o(x-c)^5 = \\ \\ & =\sin(c)+\cos(c) \cdot x -\dfrac{1}{2}\sin(c) \cdot x^2-\dfrac{1}{6}\cos(c)\cdot x^3+\dfrac{1}{24}\sin(c) \cdot x^4+ \\ \\ &+\dfrac{1}{120}\cos(c) \cdot x^5+o(x^5) = \\ \\ & = \boxed{x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+o(x^5)}\end{align*}Come evidente nello scrivere il polinomio di Taylor abbiamo dovuto applicare le regole di derivazione, tenendo conto in particolare di quanto visto a suo tempo relativamente alle derivate successive.
Ricordiamo poi che ad esempio la quantità {5!} rappresenta il fattoriale del numero {5}, che si calcola come {5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}. In altre parole, per calcolare il fattoriale di un numero naturale basta moltiplicare tra loro tutti i numeri naturali da {1} fino al numero di partenza.
E’ inoltre fondamentale ricordare la definizioni di seno e coseno trigonometrici, ed in particolare che {\sin(0)=0} e {cos(0)=1}. Per avere sempre ben presenti queste valutazioni basta pensare alla circonferenza goniometrica, ed in particolare al fatto che il coseno e il seno rappresentano rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del punto {P} sulla circonferenza goniometrica corrispondente all’angolo {x}.
Come è evidente la procedura per scrivere gli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari è piuttosto meccanica e per questo non conviene ripeterla ogni volta. E’ consigliabile piuttosto imparare a memoria, grazie al costante esercizio, gli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.
Ora, sempre per la funzione seno, considerando un ordine di sviluppo maggiore abbiamo:
\boxed{\sin(x)=x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}-\dfrac{x^7}{5040}+o(x^7), \qquad \forall \: x \in \mathbb{R}}In modo del tutto simile sarà possibile riesprimere la funzione seno utilizzando nello sviluppo un polinomio di Taylor di ordine {N}. Tuttavia, è chiaramente conveniente ricordare gli sviluppi soltanto fino ad un certo ordine.
Sviluppo in serie di Taylor con c=0 della funzione coseno trigonometrico
In modo del tutto simile a quanto fatto per la funzione seno trigonometrico, possiamo scrivere lo sviluppo in serie di Taylor della funzione coseno trigonometrico:
f(x)=\cos (x)
In particolare, tenendo conto della formula degli sviluppi di Taylor con centro dello sviluppo {c=0} e con resto di Peano abbiamo:
\begin{align*} & \boxed{\cos(x)} = \dfrac{\cos(c)}{0!} \cdot (x-c)^0-\dfrac{\sin(c)}{1!} \cdot (x-c)^1-\dfrac{\cos(c)}{2!} \cdot (x-c)^2+ \\ \\ & + \dfrac{\sin(c)}{3!}\cdot (x-c)^3+\dfrac{\cos(c)}{4!} \cdot (x-c)^4-\dfrac{\sin(c)}{5!} \cdot (x-c)^5-\dfrac{\cos(c)}{6!} \cdot(x-c)^6 + \\ \\ & +\dfrac{\sin(c)}{7!} \cdot (x-c)^7+\dfrac{\cos(c)}{8!} \cdot(x-c)^8+o(x^8)= \\ \\ & =\boxed{ 1-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{24}x^4-\dfrac{1}{720}x^6+\dfrac{1}{40320}x^8+o(x^8), \qquad \forall x \: \in \mathbb{R}} \end{align*}Sviluppo in serie di Taylor con c=0 della funzione tangente trigonometrica
Procedendo in modo del tutto simile ai casi precedenti otteniamo per la funzione tangente trigonometrica:
\tan(x)=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2}{15}x^5+o(x^5), \qquad \text{con} \: |x|<\dfrac{\pi}{2}Riportiamo a seguire ulteriori sviluppi delle funzioni elementari.
Sviluppo in serie di Taylor con c=0 della funzione esponenziale
Abbiamo, fermandoci ad esempio al quarto ordine:
e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4), \qquad \forall x \: \in \mathbb{R}Osserviamo che ciascun termine è del tipo {\dfrac{x^n}{n!}} (con {n} numero naturale). Per cui in forma compatta possiamo scrivere lo sviluppo come:
e^x=\sum_{n=0}^{N}\dfrac{x^n}{n!}+o(x^N), \qquad \forall \: x \in \mathbb{R}ovvero considerando una somma di infiniti termini:
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}, \qquad \forall \: x \in \mathbb{R}Sviluppo in serie di Taylor con c=0 della funzione logaritmo
Per quanto riguarda lo sviluppo in serie di Taylor con {c=0} della funzione logaritmo naturale si ha:
\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^5}{5}+o(x^5), \qquad \text{con} \: |x|<1Osserviamo che il primo termine, il terzo termine e il quinto termine sono positivi, mentre il secondo termine e il quarto termine sono negativi. Quindi come è possibile dimostrare i termini dello sviluppo corrispondenti ad un indice {n} dispari sono positivi, mentre quelli corrispondenti ad un indice {n} pari sono negativi. Di conseguenza, il segno di ciascun termine è determinato dall’espressione {(-1)^{n+1}}, la quale effettivamente restituisce {1} se {n} è dispari e {-1} se invece {n} è pari.
Inoltre, poiché il valore assoluto di ciascun termine dello sviluppo è dato da {\dfrac{x^n}{n}} possiamo scrivere in forma compatta:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{N}(-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^N), \qquad \text{con} \: |x|<1ovvero, considerando una somma di infiniti termini:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}, \qquad \text{con} \: |x|<1Sviluppo in serie di Taylor con c=0 della potenza del binomio 1 + x
La potenza con esponente {\alpha} del binomio {1+x} ha il seguente sviluppo in serie di Taylor:
(1+x)^\alpha = 1+ \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha-1)}{2}x^2+\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3+o(x^3), \qquad |x|<1Dallo sviluppo appena scritto è possibile ricavare lo sviluppo di funzioni quali ad esempio {\sqrt{1+x}}. E’ sufficiente infatti porre in questo caso {\alpha = \dfrac{1}{2}}.
Sviluppo in serie di Taylor con c= 0 delle funzioni razionali
Valgono i seguenti sviluppi:
\dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, \qquad |x|<1; \qquad \dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}, \qquad |x|<1Sviluppi in serie di Taylor con c=0 delle funzioni trigonometriche inverse
Lo sviluppo in serie di Taylor con c=0 dell’arcoseno (trigonometrico) è il seguente:
\arcsin(x)=x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3}{40}x^5+\dfrac{5}{112}x^7+o(x^7), \qquad |x|<1Sviluppo in serie di Taylor con c=0 dell’arcocoseno (trigonometrico):
\arccos(x)=\dfrac{\pi}{2}-x-\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{3}{40}x^5-\dfrac{5}{112}x^7+o(x^7), \qquad |x|<1Sviluppo in serie di Taylor con c=0 dell’arcotangente (trigonometrica):
\arctan(x)=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\dfrac{x^9}{9}+o(x^9), \qquad |x|<1Sviluppi in serie di Taylor delle funzioni iperboliche
Concludiamo questa rassegna degli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni elementari con le funzioni iperboliche.
Sviluppo in serie di Taylor con c=0 del seno iperbolico:
\sinh(x)=x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+\dfrac{x^7}{5040}+o(x^9)Sviluppo in serie di Taylor del coseno iperbolico:
\cosh(x)=1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+\dfrac{x^6}{720}+\dfrac{x^8}{40320}+o(x^8)Omettiamo per brevità gli sviluppi di altre funzioni iperboliche.
Riepilogando i risultati sin qui visti otteniamo in conclusione la seguente tabella degli sviluppi in serie di Taylor con c=0 delle funzioni elementari:
Per quanto riguarda la tabella degli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni elementari è tutto. Nella prossima lezione vedremo l’algebra degli o-piccolo. E nella lezione ancora successiva (in fase di stesura), vedremo come scrivere gli sviluppi in serie di Taylor di funzioni non elementari, analizzando quindi i casi generali. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂