E’ giunto il momento di introdurre la definizione di punto di flesso. I punti di flesso non sono né punti di massimo né punti di minimo ma sono comunque importanti per studiare il comportamento di una funzione.
Nelle precedenti lezioni abbiamo visto come riconoscere i punti di massimo e minimo locali di una funzione e come studiare la concavità. Con questa lezione completiamo il quadro presentando la definizione di punto di flesso e mostrando le regole per stabilire se un punto \( x_0 \) è di flesso oppure no per una data funzione \( f(x) \).
Vediamo allora subito la definizione di punto di flesso e le regole ed i criteri per individuare gli eventuali punti di flesso di una data funzione. 🙂
Definizione di punto di flesso
Consideriamo una funzione \( f(x) \) reale di variabile reale definita in un intervallo aperto \( ]a,b[ \). Sia \( x_0 \in ]a,b[ \) (di conseguenza \( f(x) \) è definita in \( x_0 \)).
Se il grafico della funzione cambia concavità quando la \( x \) passa da valori minori a valori maggiori di \( x_0 \), allora il punto \( x_0 \) si dice punto di flesso per la funzione \( f(x) \).
Ribadiamo subito che affinché un punto \( x_0 \) possa dirsi punto di flesso per una data funzione devono valere le due seguenti condizioni:
- la funzione sia definita (ovvero continua) in \( x_0 \);
- in un intorno sinistro di \( x_0 \) la funzione abbia concavità verso l’alto (verso il basso), in un intorno destro di \( x_0 \) la funzione abbia concavità verso il basso (verso l’alto). In altre parole, la concavità della funzione in un “intervallo prima di \( x_0 \)” deve essere differente rispetto alla concavità della funzione in un “intervallo dopo \( x_0 \)”. Così, nel percorrere l’intervallo \( ]a,b[ \) in cui \( x_0 \) è contenuto, dobbiamo necessariamente assistere ad un “cambio di concavità” del grafico della funzione.
Queste sono le uniche condizioni necessarie e sufficienti valide in generale affinché un punto possa dirsi di flesso per una data funzione.
Alcune conseguenze della definizione di punto di flesso
Dalla definizione di punto di flesso deduciamo immediatamente che tutte le funzioni che presentano la stessa concavità nel loro intero dominio non hanno necessariamente punti di flesso.
Così funzioni quali ad esempio \( y=x^2 \) non hanno per certo punti di flesso. Infatti la derivata prima della funzione è sempre crescente, di conseguenza la concavità è sempre verso l’alto in tutto il dominio della funzione (vedi la precedente lezione).
D’altro canto, esistono funzioni nelle quali pur verificandosi uno o più cambi di concavità del grafico della funzione comunque non abbiamo punti di flesso.
E’ questo il caso ad esempio della funzione \( y=\dfrac{1}{x} \):
Come possiamo vedere in \( ]-\infty, 0[ \) il grafico presenta concavità rivolta verso il basso. Nell’intervallo \( ]0, +\infty[ \) il grafico presenta invece concavità rivolta verso l’alto. Tuttavia, anche se attraversando il punto \( x_0 = 0 \) vediamo un cambiamento di concavità, questo non è un flesso. Infatti, per \( x_0 = 0 \) la funzione \( \dfrac{1}{x} \) non è definita. Viene dunque meno la condizione di continuità della funzione in \( x_0 \) che è presente nella definizione di punto di flesso. 😉
La funzione \( y= x^3 \) ha invece in \( x_0= 0 \) un flesso. Infatti, tale funzione è definita in \( x_0= 0 \) ed inoltre attraversando \( x_0 \) assistiamo effettivamente ad un cambio della concavità.
Un paio di esempi per caratterizzare ulteriormente la definizione di flesso
Esempio 1
Determinare gli eventuali punti di flesso della funzione
\[ y=x-(x-1)^5 \]
Calcoliamo la derivata seconda e studiamone il segno. In tal modo potremo studiare la concavità della funzione.
\[ \dfrac{d}{dx}\left\{\dfrac{d}{dx}[x-(x-1)^5] \right\}=\dfrac{d}{dx}\left[1-5(x-1)^4 \right]=-20(x-1)^3 \]
Studiamo il segno della derivata seconda:
La derivata seconda è positiva nell’intervallo \( ]-\infty, 1[ \) ed è negativa nell’intervallo \( ]1, +\infty[ \). Di conseguenza, il grafico della funzione di partenza presenta concavità verso l’alto nell’intervallo \( ]-\infty, 1[ \) e concavità verso il basso nell’intervallo \( ]1, +\infty[ \). Nell’attraversare lungo l’asse \( x \) il punto \( x_0 = 1 \) notiamo un cambio di concavità. Inoltre, in \( x_0 = 1 \) la funzione è definita. In conclusione \( x_0 = 1 \) è punto di flesso per la funzione data.
Il grafico della funzione di partenza conferma i risultati ottenuti. Nella figura riportiamo anche la derivata seconda, in modo da poter visualizzare le informazioni che ci fornisce sulla concavità.
In particolare possiamo vedere anche dal grafico che ove la derivata seconda è positiva il grafico di \( f(x) \) ha concavità rivolta verso l’alto e viceversa ove la derivata seconda è negativa la funzione di partenza ha concavità rivolta verso il basso. Attenzione: non ci interessa ove la derivata seconda è crescente o decrescente. Dobbiamo considerarne soltanto il segno. 😉
E’ qui importante osservare che il punto di flesso ottenuto non è un punto che viene individuato applicando il teorema di Fermat. In altre parole, il punto \( x = 1 \) non è fra i punti che annullano la derivata prima. Invece, \( x = 1 \) annulla la derivata seconda della funzione. Così, vedremo come i punti che annullano la derivata seconda sono possibili punti di flesso. In ogni caso, non è detto che un punto debba per forza annullare la derivata seconda per essere punto di flesso, come mostra il seguente esempio.
Esempio 2
Consideriamo la funzione:
\[ y=\sqrt[3]{x} \]
Studiamo il segno della derivata seconda.
\[ \begin{align}&\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx} \sqrt[3]{x}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}x^{\frac{1}{3}} \right)=\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{x^{\frac{2}{3}}}= \\ \\ & = \dfrac{1}{3} \cdot\dfrac{d}{dx} x^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{3} \cdot \left(-\dfrac{2}{3} \right)x^{-\frac{5}{3}}=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}\end{align} \]
Effettuando lo studio del segno si rileva che la derivata seconda è positiva in \( ]-\infty, 0[ \) ed è negativa in \( ]0, +\infty[ \). Da ciò segue che la concavità della funzione di partenza è rivolta verso l’alto nell’intervallo \( ]-\infty, 0[ \) e verso il basso nell’intervallo \( ]0, + \infty[ \).
E’ qui importante osservare che la funzione non è derivabile in \( x = 0 \). E’ immediato infatti accorgersi che entrambi i denominatori delle funzioni derivata prima e seconda si annullano per \( x = 0 \).
Tuttavia, \( x = 0 \) è comunque punto di flesso per la funzione poiché in esso la funzione è continua e poiché assistiamo ad un cambio di concavità attraversando tale punto.
L’esempio mostra quindi che in generale non è necessario che sia \( f”(x_0)=0 \) affinché \( x_0 \) sia un punto di flesso per \( f(x) \). La condizione diventa necessaria soltanto nel caso in cui \( f(x) \) ammetta derivata prima e seconda in \( x_0 \).
Il grafico della funzione riportato a seguire conferma il punto di flesso individuato analiticamente.
Regole per ricercare i punti di flesso di una funzione
Supponiamo che una funzione abbia un punto di flesso \( x_0 \) e che la funzione stessa ammetta derivata prima e seconda nel punto \( x_0 \). In tal caso dovremo allora avere \( f”(x_0)=0 \).
Se invece la funzione non è derivabile in \( x_0 \) ma è comunque continua in tale punto, allora \( x_0 \) può essere ugualmente un punto di flesso se si verifica il cambio di concavità in corrispondenza di \( x_0 \) stesso. In tal caso la condizione \( f”(x_0)=0 \) non è dunque affatto necessaria affinché \( x_0 \) possa essere un punto di flesso.
In base ai ragionamenti fatti, i punti di flesso vanno ricercati tra i punti ove la funzione da studiare è continua e tali da annullare la derivata seconda o tali per cui la derivata seconda non è definita.
Se in corrispondenza di uno qualsiasi fra questi punti la funzione derivata seconda cambia di segno, allora il punto considerato sarà un punto di flesso per la funzione.
Infine, ulteriori punti di flesso vanno ricercati in quei punti tali da annullare la derivata prima ma che non sono né massimi né minimi. La verifica consiste anche in questo caso nel controllare se passando per il possibile punto di flesso abbiamo un cambio della concavità. I flessi i cui corrispondenti punti annullano la derivata prima si dicono “flessi a tangente orizzontale”.
Per quanto riguarda la definizione di punto di flesso di una funzione e come ricercare i punti di flesso è tutto. Nella prossima lezione parliamo del metodo delle derivate successive per trovare i massimi e minimi locali e i punti di flesso di una funzione. In questo modo avremo un’alternativa allo studio del segno delle derivate prima e seconda. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂