Il teorema della corda è interessante poiché permette di calcolare la misura di una qualsiasi corda di una circonferenza e inoltre dimostra che esiste sempre una circonferenza nella quale è possibile inscrivere un dato triangolo.
Vediamo allora di studiare insieme il teorema della corda. 🙂
Introduzione al teorema della corda
E’ opportuno richiamare il concetto di corda. Una corda è un qualunque segmento che unisce tra loro due punti appartenenti ad una circonferenza. In un cerchio abbiamo infinite corde. Tra queste, le corde che hanno come misura il valore massimo possibile per quel cerchio si dicono diametri. Al pari delle corde, anche i diametri sono infiniti. Ciò si giustifica intuitivamente osservando che è possibile divedere l’angolo giro in un numero infinito di parti.
I diametri sono tutte le corde che passano per il centro del cerchio. Un’importante conseguenza di tale definizione è che un diametro divide il cerchio dato in due parti uguali. E inoltre, un diametro divide la circonferenza data in due archi tra loro uguali.
Si definisce angolo alla circonferenza un angolo che ha per vertice un punto della circonferenza e i cui lati sono entrambi secanti alla circonferenza, oppure uno secante e uno tangente.
Adesso, scegliamo un diametro sulla circonferenza. Questo individuerà sulla circonferenza stessa i due punti \( A \) e \( B \). Scegliamo inoltre un punto \( C \) sulla circonferenza e prendiamo questo punto come vertice di un angolo \( \alpha \). L’angolo \( \alpha \) dovrà essere tale che i suoi lati vadano ad intersecare la circonferenza proprio nei punti \( A \) e \( B \).
Ora, dato che la corda di misura \( \overline{AB} \) è un diametro della circonferenza, l’angolo \( \alpha \) sarà ampio \( 90° \). Ciò è conseguenza del fatto che, per note proprietà della circonferenza, l’angolo al centro corrispondente è pari a \( 180° \) (angolo \( \widehat{AOB} \)). Ciò equivale a dire che un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.
Indicato così con \( r \) il raggio del cerchio, poiché \( \sin(90°)=1 \) si può intuire che la misura \( \overline{AB} \) può essere espressa come:
\[ \overline{AB}= 2 \cdot r \cdot \sin(\alpha)=2r \]
Quello che ci proponiamo è proprio riuscire ad esprimere la misura di una qualunque corda della circonferenza in funzione della misura di un diametro e del seno dell’angolo \( \alpha \).
In questo caso particolare, abbiamo verificato che la formula funziona. Ma nel caso in cui la corda considerata non è un diametro, rimane ancora da dimostrare che la formula è comunque corretta.
Facciamo allora un’altra osservazione. Prendiamo una tra le infinite corde di una circonferenza:
Comunque prendiamo il punto \( C \) sulla circonferenza, l’angolo \( \widehat{ACB} \) manterrà sempre la stessa ampiezza. Ciò si giustifica con il fatto che a ciascuno di questi angoli corrisponde lo stesso angolo al centro. Pertanto, per note proprietà ciascuno di questi angoli sarà la metà dello stesso angolo al centro. Di conseguenza, gli angoli saranno tutti tra loro “uguali” (per meglio dire, congruenti).
Per definizione, diciamo che ciascuno di questi angoli tra loro congruenti insiste sull’arco \( \stackrel{\LARGE\frown}{AB} \).
Siamo ora pronti per enunciare il teorema della corda e presentarne la dimostrazione.
Enunciato del teorema della corda
La misura di una corda di una circonferenza è pari al doppio del raggio della circonferenza moltiplicato per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono su uno dei due archi determinati sulla circonferenza dalla corda stessa.
Dimostrazione
Consideriamo la seguente figura, nella quale \( \overline{AB} \) è una corda mentre \( \overline{AM} \) è un diametro.
\( \stackrel{\triangle}{ABM} \) è un triangolo rettangolo poiché inscritto in una semicirconferenza. Possiamo dunque applicare il primo teorema dei triangoli rettangoli, ottenendo:
\[ \overline{AB}=\overline{AM} \cdot\sin \alpha \]
Abbiamo così ottenuto una prima conferma della formula che stiamo dimostrando. Ci mancano però altri casi.
In particolare, prendiamo nell’arco \( \stackrel{\LARGE \frown}{AB} \) che contiene il punto \( M \) un qualunque altro punto \( K \).
Per quanto detto in precedenza abbiamo:
\[ \alpha’ = \alpha \]
e quindi ovviamente:
\[ \sin \alpha’ = \sin \alpha \]
Di conseguenza, otteniamo per la misura della corda \( \overline{AB} \) l’espressione:
\[ \overline{AB}=2 \cdot r \cdot \sin (\alpha’)=\boxed{2 \cdot r \cdot \sin \alpha} \]
il che conferma l’enunciato.
Infine, prendiamo sulla circonferenza un qualsiasi punto \( T \) nell’arco che non contiene \( M \):
Osserviamo che \( \alpha” \) è supplementare ad \( \alpha \). Infatti, il quadrilatero \( ATBM \) è inscritto alla circonferenza. E poiché abbiamo un quadrilatero, la somma degli angoli al centro corrispondenti agli angoli \( \alpha \) e \( \alpha” \) è pari a \( 360° \). E poiché ciascun angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro, si ha che \( \alpha + \alpha” = 180°=\pi \).
Abbiamo allora che:
\[ \pi-\alpha” = \alpha \quad \Rightarrow \sin(\pi-\alpha”)=\sin\alpha \qquad (*) \]
E poiché per le formule degli archi associati \( \sin (\pi-\alpha”)=\sin \alpha” \), e di conseguenza confrontando con la (*) \( \sin \alpha” = \sin \alpha \), otteniamo ancora:
\[ \overline{AB} = 2 \cdot r \cdot \sin \alpha” = \boxed{2 \cdot r \sin \alpha} \]
Così, abbiamo visto che la misura della corda \( \overline{AB} \) si ottiene a partire da un diametro con la medesima formula considerando un qualunque angolo al centro della circonferenza.
Il teorema della corda è così dimostrato. 😉
Utilità pratica del teorema della corda
Il teorema fornisce anzitutto una dimostrazione del fatto che è possibile inscrivere un qualsiasi triangolo rettangolo in una opportuna circonferenza . Basta prendere una circonferenza avente un diametro uguale all’ipotenusa del triangolo rettangolo dato. Infatti:
\[ \overline{AB}=2 \cdot r \cdot \sin(90°)=2\cdot r \]
Quindi la circonferenza di raggio pari alla metà della misura dell’ipotenusa sarà proprio la circonferenza nella quale sarà possibile inscrivere il triangolo rettangolo considerato.
Più in generale, il teorema mostra che è possibile inscrivere un triangolo qualsiasi in una circonferenza di raggio \( r \) pari a:
\[ r = \dfrac{\overline{AB}}{2\sin \alpha} \]
ove \( \overline{AB} \) è la misura della corda, che coincide in questo caso con la misura di un qualsiasi lato del triangolo, mentre \( \alpha \) è l’angolo compreso tra i rimanenti lati del triangolo stesso.
Quanto detto anticipa l’argomento della prossima lezione, nella quale parleremo del teorema dei seni, che ci porterà tra l’altro a fare queste stesse ultime conclusioni.
Per questa lezione sul teorema della corda è tutto. Non perdetevi la prossima lezione sul teorema dei seni. 😉