Accelerazione istantanea

L’accelerazione istantanea relativa ad una particella (corpo puntiforme) è la derivata rispetto al tempo del vettore velocità (velocità istantanea). Se inoltre la traiettoria percorsa dal corpo puntiforme è descritta da una certa funzione vettoriale, l’accelerazione istantanea è anche data dalla derivata seconda di tale funzione vettoriale.

Dopo aver introdotto nelle precedenti lezioni i concetti di vettore velocità e di retta tangente ad una curva nello spazio in un punto, in questa lezione ci occupiamo dell’accelerazione istantanea. In particolare, daremo in modo più formale la definizione che abbiamo già anticipato, per poi fornire una serie di esempi relativi al calcolo dell’accelerazione istantanea. E precisiamo sin d’ora che l’accelerazione istantanea è un vettore dipendente dal tempo.

Nella precedente lezione abbiamo poi visto che il vettore velocità relativo ad un dato istante t ha la stessa direzione della retta tangente alla curva della traiettoria nel punto corrispondente all’istante t. Tra poco vedremo anche quali considerazioni possiamo fare sulla direzione e il verso dell’accelerazione istantanea.

Definizione di accelerazione istantanea

Se ${\textbf{f}(t)}$ è il vettore posizione di un corpo puntiforme che si muove nello spazio con velocità istantanea ${\textbf{v}(t)=\textbf{f}'(t)}$ , allora l’accelerazione istantanea del corpo all’istante ${t}$ è un vettore dato da ${\textbf{a}(t)=\textbf{v}'(t)=\textbf{f}''(t)}$ , ovvero dalla derivata prima del vettore velocità o dalla derivata seconda del vettore posizione.
Tutto questo nell’ipotesi che la funzione vettoriale ${\textbf{f}(t)}$ sia derivabile due volte.

Attenzione: nella precedente definizione, con i termini di “vettore velocità” e “vettore posizione” ci riferiamo a vettori dipendenti dal tempo, e quindi più propriamente a delle funzioni vettoriali.

Così, l’accelerazione istantanea di una particella è data dalla derivata prima della funzione vettoriale che rappresenta la velocità istantanea della particella, o in alternativa dalla derivata seconda della funzione vettoriale che descrive la traiettoria della particella stessa.

Come abbiamo visto nella precedente lezione, il vettore velocità (o velocità istantanea) ha come direzione la direzione istantanea del moto del corpo. Generalmente, invece, l’accelerazione istantanea è un vettore che ha una direzione diversa dalla direzione istantanea del moto. Ma quale direzione?

Per rispondere a tale domanda, consideriamo la seconda legge di Newton:

\textbf{F}=m \cdot \textbf{a}

Ora, la massa è uno scalare positivo, mentre la forza e l’accelerazione sono dei vettori. Di conseguenza, dalla precedente relazione possiamo concludere che la forza e l’accelerazione hanno stessi direzione e verso. L’accelerazione ha quindi per direzione e verso quelli della forza che viene applicata al corpo. Il seguente esempio conferma in modo evidente questa conclusione.

Esempio 1

Data la funzione vettoriale ${\textbf{f}(t)=\cos t \textbf{i}+\sin t \textbf{j}+t\textbf{k}}$ , che descrive la traiettoria percorsa da una particella, calcolare l’accelerazione della particella stessa negli istanti ${t=0, \: t=\dfrac{\pi}{2}, \: t=\dfrac{3}{4}\pi, \: t= \pi, \: t=2 \pi}$ . Inoltre, rappresentare i vettori accelerazione che risultano da tali valutazioni.

Anzitutto calcoliamo la funzione vettoriale corrispondente all’accelerazione istantanea:

\begin{align*} &\textbf{a}(t)=\dfrac{d^2}{dt^2}\textbf{f}(t)=\dfrac{d^2}{dt^2}\left( \cos t\textbf{i}+\sin t\textbf{j}+t\textbf{k}\right)=\\ \\ & =\left[ \dfrac{d^2}{dt^2}(\cos t)\right]\textbf{i}+\left[ \dfrac{d^2}{dt^2}\left( \sin t\right)\right]\textbf{j}+\left[ \dfrac{d^2}{dt^2}t\right]\textbf{k}=\\ \\ & =-\cos t \textbf{i}-\sin t \textbf{j}+0\textbf{k}=-\cos t \textbf{i}-\sin t \textbf{j}\end{align*}

A questo punto valutiamo la funzione vettoriale ${\textbf{a}(t)}$ (accelerazione istantanea) negli istanti indicati dal testo:

\begin{align*} &\textbf{a}\left(0 \right)=-1\textbf{i}+0\textbf{j}=-\textbf{i}; \\ \\ &\textbf{a}\left(\dfrac{\pi}{2} \right)=0\textbf{i}+1\textbf{j}=-\textbf{j}; \\ \\ & \textbf{a}\left( \dfrac{3}{4}\pi\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\textbf{i}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\textbf{j}; \\ \\ & \textbf{a}\left(\pi \right)=1\textbf{i}+0\textbf{j}=\textbf{i}\\ \\ &\textbf{a}\left(2 \pi \right)=\textbf{a}\left( 0\right)=-\textbf{i}\end{align*}

Per quanto riguarda infine la rappresentazione grafica dei vettori accelerazione appena determinati, osserviamo che ciascuno di essi deve essere applicato nel punto ove si trova la particella all’istante corrispondente.

Calcoliamo i vettori posizione relativi a ciascun istante:

\small \begin{align*} & \textbf{f}(0)=\cos (0) \textbf{i}+\sin (0) \textbf{j}+0\textbf{k}=\textbf{i}; \\ \\ &\textbf{f}\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)\textbf{i}+\sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right)\textbf{j}+\dfrac{\pi}{2}\textbf{k}=\textbf{j}+\dfrac{\pi}{2}\textbf{k}; \\ \\ &\textbf{f}\left(\dfrac{3}{4} \pi \right)=\cos \left( \dfrac{3}{4}\pi\right)\textbf{i}+\sin \left( \dfrac{3}{4}\pi\right)\textbf{j}+\dfrac{3}{4}\pi \textbf{k} =-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\textbf{i}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\textbf{j}+\dfrac{3}{4}\pi \textbf{k}; \\ \\ & \textbf{f}(\pi)=\cos(\pi)\textbf{i}+\sin(\pi)\textbf{j}+\pi\textbf{k}=-\textbf{i}+\pi\textbf{k}; \\ \\ & \textbf{f}(2\pi)=\cos(2\pi)\textbf{i}+\sin(2\pi)\textbf{j}+2 \pi \textbf{k} = \textbf{i}+2\pi \textbf{k}\end{align*}

Ora non rimane che disegnare la curva corrispondente alla funzione ${f}(t)$ relativa alla traiettoria descritta dalla particella, individuare su di essa ciascuno dei punti appena calcolati, e rappresentare i relativi vettori accelerazione.

Come possiamo vedere, ciascuna accelerazione istantanea punta verso la parte interna dell’elica. In particolare, ciascuna accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza necessaria a mantenere la particella lungo la sua traiettoria.

Per meglio comprendere quanto detto, osserviamo che la particella in ogni istante tenderebbe per inerzia a proseguire il moto lungo la direzione della sua velocità istantanea, che è quella della retta tangente alla curva della traiettoria corrispondente all’istante considerato. Deve quindi intervenire in ogni istante una forza tale da mantenere la particella nella sua traiettoria. E ciascuna accelerazione che abbiamo calcolato è relativa proprio a tale forza, secondo la relazione ${\textbf{F}=m \textbf{a}}$ .

Esempio 2

Mostrare che il vettore accelerazione (accelerazione istantanea) è perpendicolare al vettore velocità (velocità istantanea) di una particella se e solo se la particella stessa viaggia a velocità scalare costante.

La velocità scalare è la lunghezza del vettore velocità (velocità istantanea):

v(x)=\lVert {\textbf{v}(x)} \rVert=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2+v_z(t)^2}

Indichiamo l’accelerazione istantanea della particella con ${\textbf{a}(t)}$ e la velocità istantanea con ${\textbf{v}}(t).$

Come sappiamo, due vettori sono perpendicolari tra loro se e solo se il corrispondente prodotto scalare è nullo. Nel nostro caso:

\textbf{a}(t) \times \textbf{v}(t) = 0

Osserviamo che la velocità scalare è costante se e solo se:

\dfrac{d}{dt}v(t)=0

o equivalentemente:

\dfrac{d}{dt}v(t)^2=0

Ora, ricordiamo che in generale è possibile esprimere la lunghezza di un vettore in funzione del prodotto scalare del vettore per sé stesso. Si ha nel nostro caso:

v(t)^2 = \lVert {\textbf{v}(t)} \rVert^2=\textbf{v}(t) \times \textbf{v}(t)

Quindi la condizione di velocità scalare costante si ritraduce come:

\begin{align*} &\dfrac{d}{dt}\left[ \textbf{v}(t) \times \textbf{v}(t)\right]=0\end{align*}

ovvero, applicando la regola della derivata del prodotto scalare di funzioni vettoriali:

\dfrac{d}{dt}\textbf{v}(t) \times \textbf{v}(t)+\textbf{v}(t) \times \dfrac{d}{dt}\textbf{v}(t)=0

e quindi, per la commutatività del prodotto scalare:

2 \left[\dfrac{d}{dt}\textbf{v}(t) \times \textbf{v}(t) \right]=0 \quad \Rightarrow \dfrac{d}{dt} \textbf{v}(t)\times \textbf{v}(t) =0

ovvero in conclusione:

\textbf{a}(t) \times \textbf{v}(t)=0

il che prova che i vettori velocità istantanea ed accelerazione istantanea di una particella si mantengono tra loro perpendicolari se e solo se la velocità scalare della particella è costante.

Attenzione: velocità scalare costante non significa vettore velocità costante. Tuttavia, nel caso meno generale di vettore velocità costante il vettore accelerazione è nullo. Ma un vettore nullo ha direzione e verso indeterminati, ed è quindi perpendicolare a qualsiasi vettore. Dunque anche in questo caso i vettori velocità e accelerazione si mantengono tra loro perpendicolari. Ciò non deve stupire, poiché ipotizzare la costanza del vettore velocità equivale ad ipotizzare che la velocità scalare risulti sempre uguale a zero, e quindi comunque costante.

Esempio 3

Ipotizziamo che una particella viaggi nello spazio con un vettore accelerazione che si mantiene sempre nullo (accelerazione istantanea costante e pari al vettore nullo). Che informazioni possiamo trarre sul moto della particella?

Se ${\textbf{a}(t)=\left \langle {a_x(t), a_y(t), a_z(t)} \right \rangle = \textbf{0}}$ , per il vettore velocità abbiamo, calcolando l’integrale indefinito della funzione vettoriale ${\textbf{a}}(t)$ :

\begin{align*} &\textbf{v}(t)=\int \textbf{a}(t) \: dt =\\ \\ & =\left[ \int a_x(t) \: dt\right] \textbf{i}+\left[ \int a_y(t) \: dt\right]\textbf{j}+\left[ \int a_z(t) \: dt\right]\textbf{k} = \\ \\ & =\int 0 \: dt \textbf{i}+\int 0 \: dt \textbf{j}+\int 0\: dt \textbf{k}=c_1\textbf{i}+c_2\textbf{j}+c_3\textbf{k}\end{align*}

Dunque, il vettore velocità (velocità istantanea) è costante.

Per avere infine delle informazioni sulla traiettoria del moto, integriamo la funzione ${\textbf{v}(t)}$ , in modo da ottenere la funzione vettoriale che restituisce per ogni istante il vettore posizione della particella:

\begin{align*} &\textbf{f}(t)=\int \textbf{v}(t) \: dt = \\ \\ & =\left[ \int v_x(t) \: dt\right]\textbf{i}+\left[ \int v_y(t) \: dt\right]\textbf{j}+\left[ \int v_z(t) \: dt\right]\textbf{k}=\\ \\ & =\left[ \int c_1 \: dt\right] \textbf{i}+\left[\int c_2 \: dt \right]\textbf{j}+\left[ \int c_3 \: dt \right]\textbf{k}=\\ \\ & =(c_1t+c_4)\textbf{i}+(c_2t+c_5)\textbf{j}+(c_3t+c_6)\textbf{k}\end{align*}

Quindi abbiamo:

\begin{align*} &\textbf{f}(t)=(c_1t+c_4)\textbf{i}+(c_2t+c_5)\textbf{j}+(c_3t+c_6)\textbf{k}\end{align*}

ovvero considerando le corrispondenti equazioni parametriche scalari:

\begin{cases} x=c_1t+c_4 \\ \\ y=c_2t+c_5 \\ \\ z= c_3t + c_6\end{cases}

Si tratta in particolare delle equazioni parametriche di una retta nello spazio passante per il punto ${P_0=(c_4, c_5, c_6)}$ e parallela al vettore ${\textbf{m}=\left \langle {c_1, c_2, c_3} \right \rangle}$ . Così, il moto della particella è caratterizzato da una traiettoria rettilinea.

In conclusione, riepilogando tutte le informazioni ottenute, il moto è rettilineo con velocità istantanea costante (moto rettilineo uniforme).

Di conseguenza, l’esempio mostra che se l’accelerazione istantanea di una particella si mantiene nulla, questa viaggia nello spazio con velocità istantanea costante seguendo una traiettoria rettilinea. Ciò è in pratica quanto afferma la prima legge di Newton: un corpo si muove a velocità istantanea costante lungo un percorso rettilineo (oppure rimane in quiete) a meno che una forza non agisca su di esso. E in questo caso, dato che per la seconda legge di Newton ${\textbf{F}=m \cdot \textbf{a}}$ , poiché ${\textbf{a}=\textbf{0}}$ abbiamo ${\textbf{F}=\textbf{0}}$ . Non essendoci effettivamente alcuna forza ad agire sulla particella, il moto è rettilineo con velocità istantanea costante.

Esempio 4

Una freccia viene scagliata da un’altezza di ${16}$ metri imprimendole una velocità di ${130 \text{km/h}}$ . L’angolo iniziale che forma la freccia con l’orizzontale è uguale a ${\dfrac{\pi}{4}}$ . Ipotizzando che l’accelerazione dovuta alla gravità sia pari a ${9,81 \text{m/s}^2}$ , determinare la distanza percorsa orizzontalmente dalla freccia.

Anzitutto, per risolvere il problema stabiliamo un opportuno sistema di riferimento. Poiché viene indicato il solo angolo che la freccia forma con l’orizzontale, è lecito supporre che il moto avvenga in un piano. In altre parole, ipotizziamo che la traiettoria descritta dalla freccia sia una curva del piano.

Così, come sistema di riferimento ci basteranno due assi cartesiani con i corrispondenti versori. Riportiamo anche la freccia nella sua posizione iniziale:

Un dato di partenza che abbiamo è la velocità scalare iniziale della freccia, pari a ${130 \text{km/h}}$ :

v(0)=130 \text{km/h}

Convertiamo il valore in metri al secondo:

130 \text{km /h} = \dfrac{130 \cdot 1000 \text{m}}{3600 \text{s}}=36,11 \text{m/s} \approx 36 \text{m/s}

La velocità istantanea è data da:

\textbf{v}(t)=v_x(t)\textbf{j}+v_y(t)\textbf{k}

Per quanto sappiamo sulle proiezioni di vettori:

\begin{align*} & v_x(0)=\lVert {\textbf{v}(0)} \rVert \cdot \cos \left( \dfrac{\pi}{4}\right) \textbf{i}=36 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\textbf{i}=\dfrac{36}{\sqrt{2}}\textbf{i};\\ \\ & v_y(0)=\lVert {\textbf{v}(0)} \rVert \cdot \cos\left( \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right) \textbf{j}= 36\cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{36}{\sqrt{2}}\textbf{j} \end{align*}

Per cui possiamo scrivere:

\textbf{v}(0)=\dfrac{36}{\sqrt{2}}\textbf{i}+\dfrac{36}{\sqrt{2}}\textbf{j}=18\sqrt{2}\textbf{i}+18\sqrt{2}\textbf{j}

In base ai dati di partenza possiamo anche scrivere il vettore posizione all’istante ${t=0}$ :

\textbf{f}(0)=0\textbf{i}+16\textbf{j}

Infine, l’accelerazione è solo quella di gravità (direzione verticale rivolta verso il basso):

\textbf{a}(0)=0\textbf{i}-9,81\textbf{j}

Cominciamo integrando rispetto al tempo il vettore accelerazione appena scritto. Abbiamo:

\small \int \textbf{a}(0)\: dt = \left( \int 0 \: dt\right)\textbf{i}+\left( \int -9,81 \: dt\right)\textbf{j}=c_1\textbf{i}+(-9,81t+c_2)\textbf{j}

La funzione appena ottenuta rappresenta la velocità istantanea:

\textbf{v}(t)=c_1\textbf{i}+(-9,81t+c_2)\textbf{j}

Il problema è ora calcolare i valori delle costanti di integrazione ${c_1}$ e ${c_2}$ .

Per fare questo, valutiamo anzitutto la funzione vettoriale appena scritta per ${t=0}$ :

\textbf{v}(0)=c_1\textbf{i}+c_2\textbf{j}

ma poiché in precedenza abbiamo scritto:

\textbf{v}(0)=18\sqrt{2}\textbf{i}+18\sqrt{2}\textbf{j}

dovrà necessariamente essere:

c_1\textbf{i}+c_2\textbf{j}=18\sqrt{2}\textbf{i}+18\sqrt{2}\textbf{j}

da cui:

c_1=18\sqrt{2}, \quad c_2=18\sqrt{2}

e quindi per ${\textbf{v}(t)}$ :

\textbf{v}(t)=c_1\textbf{i}+(-9,81t+c_2)\textbf{j}=18\sqrt{2}\textbf{i}+(-9,81t+18\sqrt{2})\textbf{j}

Ora conosciamo la funzione vettoriale che rappresenta la velocità istantanea. Di conseguenza, calcolandone l’integrale indefinito rispetto al tempo otteniamo una funzione vettoriale che rappresenta la traiettoria (a meno delle costanti di integrazione):

\begin{align*} &\textbf{f}(t)=\int \textbf{v}(t) \: dt =\int \left[ 18\sqrt{2}\textbf{i}+(-9,81t+18\sqrt{2})\textbf{j}\right] \: dt =\\ \\ & =\left(\int 18\sqrt{2} \: dt\right)\textbf{i}+\left[ \int(-9,81t+18\sqrt{2} \: dt\right]\textbf{j}=\\ \\ & =(18\sqrt{2}t+c_3)\textbf{i}+(-9,81\dfrac{t^2}{2}+18\sqrt{2}t+c_4)\textbf{j} \end{align*}

Di nuovo, ci ritroviamo a dover ricavare i valori delle costanti di integrazione. Il metodo è del tutto simile a quanto visto in precedenza.

In particolare, valutando la funzione vettoriale appena scritta per ${t=0}$ abbiamo:

\textbf{f}(0)=c_3\textbf{i}+c_4\textbf{j}

Ma poiché dai dati di partenza sappiamo che:

\textbf{f}(0)=0\textbf{i}+16\textbf{j}

confrontando le ultime due uguaglianze scritte dobbiamo necessariamente avere:

c_3\textbf{i}+c_4\textbf{j}=0\textbf{i}+16\textbf{j}

da cui:

c_3=0, \quad c_4=16

Per cui in conclusione, la traiettoria descritta dalla freccia è data dalla funzione vettoriale:

\begin{align*} &\textbf{f}(t) = (18\sqrt{2}t+c_3)\textbf{i}+(-9,81\dfrac{t^2}{2}+18\sqrt{2}t+c_4)\textbf{j}=\\ \\ & =(18\sqrt{2}t)\textbf{i}+\left( -9,81\dfrac{t^2}{2}+18\sqrt{2}t+16\right)\textbf{j} \end{align*}

Ora, la freccia sarà caduta a terra quando la componente lungo ${\textbf{j}}$ della funzione vettoriale ${\textbf{f}(t)}$ è uguale a zero:

-9,81\dfrac{t^2}{2}+18\sqrt{2}t+16=0

da cui otteniamo (soluzioni approssimate):

t_1=-0,57; \qquad t_2=5,75

La prima soluzione non ha senso perché è negativa (il tempo non può evidentemente essere espresso con numeri negativi). La seconda è invece accettabile e rappresenta l’istante di tempo in cui la freccia cade a terra. Per ${t=5,75}$ la componente lungo ${\textbf{i}}$ della funzione vettoriale che rappresenta la traiettoria vale:

18 \cdot \sqrt{2} \cdot t = 18 \cdot\sqrt{2} \cdot 5,75 \approx 146 \: \text{metri}

e questa è la distanza percorsa orizzontalmente dalla freccia.

Conclusioni

Per quanto riguarda l’accelerazione istantanea è tutto. L’argomento ci ha permesso di fare ampio uso delle nozioni di derivata ed integrale indefinito di una funzione vettoriale, grazie ai problemi proposti.

Buon proseguimento con Altramatica!