Prodotto scalare | Altramatica

Il prodotto scalare è un’operazione che a partire da due vettori restituisce come risultato uno scalare, ovvero un numero reale. In realtà la definizione è ben più generica, ma per le nostre finalità possiamo effettivamente considerare gli scalari come elementi dell’insieme dei numeri reali.

L’operazione di prodotto scalare non va confusa con il prodotto di uno scalare per un vettore, visto nelle precedenti lezioni. Infatti, mentre nel prodotto di uno scalare per un vettore quello che facciamo è moltiplicare entrambe le componenti cartesiane del vettore per uno stesso numero reale, nel prodotto scalare effettuiamo invece un’operazione tra due vettori, che fornisce come risultato non più un vettore ma un numero.

Nel corso della lezione formuleremo la definizione di prodotto scalare sia dal punto di vista algebrico, sia dal punto di vista geometrico. Nel primo caso, esprimeremo il prodotto scalare a partire dalle componenti cartesiane dei due vettori coinvolti nell’operazione. Nel secondo caso, invece, esprimeremo tale prodotto utilizzando le lunghezze dei due vettori e l’angolo compreso tra i due vettori stessi (più propriamente, l’angolo compreso tra due segmenti orientati che rappresentano ciascuno i due vettori).

Mostreremo infine un’importante applicazione del prodotto scalare, il quale costituisce infatti un utile strumento per poter calcolare l’angolo compreso tra i segmenti orientati che rappresentano due dati vettori. In altri termini, mostreremo come calcolare l’angolo compreso tra due vettori.

Definizione di prodotto scalare (dal punto di vista algebrico)

Introduciamo subito la definizione di prodotto scalare da un punto di vista algebrico, grazie alla quale è possibile calcolare il prodotto scalare tra due vettori come somma dei prodotti delle loro componenti cartesiane relative allo stesso asse (componenti omologhe).

Dati due vettori del piano ${\textbf{v}=\left \langle {v_x, v_y} \right \rangle}$ e ${\textbf{w}=\left \langle {w_x, w_y} \right \rangle}$ , il prodotto scalare tra i due stessi vettori è dato da: ${\textbf{v} \times \textbf{w}=\underbrace{v_x \cdot w_x + v_y \cdot w_y}_{\text{numero reale}}}$ In modo del tutto simile, dati due vettori dello spazio ${\textbf{v}=\left \langle {v_x, v_y, v_z} \right \rangle}$ e ${\textbf{w}=\left \langle {w_x, w_y, w_z} \right \rangle}$ , il prodotto scalare tra i due stessi vettori è dato da: ${\textbf{v} \times \textbf{w}= \underbrace{v_x \cdot w_x + v_y \cdot w_y + v_z \cdot w_z}_{\text{numero reale}}}$

Come possiamo vedere, il prodotto scalare tra due vettori ha come risultato un numero reale (più propriamente, uno scalare). Questo perché effettivamente consideriamo le somme di prodotti relativi alle componenti cartesiane dei vettori, che sono anch’esse dei numeri (o meglio, degli scalari).

Prestiamo attenzione: ciascun prodotto ha come fattori le componenti cartesiane di ciascun vettore omologhe, ovvero relative ad uno stesso asse. Così, il prodotto scalare tra due vettori si ottiene sommando tra loro il prodotto delle componenti cartesiane dei vettori relative all’asse ${x}$ , il prodotto delle componenti cartesiane dei vettori relative all’asse ${y}$ ed infine, nel caso dei vettori dello spazio, il prodotto delle componenti cartesiane dei vettori relative all’asse ${z}$ .

Ora, l’operazione di prodotto scalare si indica con il simbolo “ ${\times}$ “. Questa è almeno la convenzione che utilizzeremo in questa serie di lezioni. Osserviamo che altre fonti utilizzano il simbolo “ ${\cdot}$ ” per indicare il prodotto scalare. Tuttavia, la nostra scelta è di continuare ad utilizzare il simbolo “ ${\cdot}$ ” esclusivamente per indicare il prodotto tra quantità numeriche. In questo modo eviteremo confusione tra il prodotto scalare e l’usuale moltiplicazione tra numeri. L’utilizzo del simbolo “ ${\times}$ “, d’altro canto, non è certo fonte di confusione poiché l’utilizzo del “per aritmetico” in algebra è praticamente assente. Rimane il fatto che il simbolo “ ${\times}$ ” è anche usato per il prodotto cartesiano, ma trattandosi di un’operazione che riguarda gli insiemi e non i vettori ciò non rappresenta un problema. Comunque, sappiate che altre fonti utilizzano il “puntino” per indicare il prodotto scalare, e quindi è importante prestare attenzione ai differenti simboli utilizzati dai vari autori.

Esempio su come calcolare il prodotto scalare

Consideriamo i due vettori dello spazio:

\textbf{v}=\left \langle {5, 6, 2} \right \rangle; \qquad \textbf{w}=\left \langle {1,2,4} \right \rangle

Abbiamo:

\begin{align*} & \textbf{v} \times \textbf{w}= \left \langle {5,6,2} \right \rangle \times \left \langle {1,2,4} \right \rangle = \\ \\ & ={5 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 2 \cdot 4} =5+12+8=25 \end{align*}

Proprietà del prodotto scalare

Veniamo ora ad enunciare le principali proprietà del prodotto scalare. In particolare, indicati con ${\textbf{u}}$ , ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ dei vettori, e con ${\lambda}$ uno scalare, valgono le proprietà distributiva, commutativa e pseudo-associativa (od omogeneità).

Proprietà distributiva

La proprietà distributiva consente di calcolare il prodotto scalare tra un vettore ${\textbf{u}}$ e la somma tra vettori ${\textbf{v}+ \textbf{w}}$ (che è ancora un vettore) come una opportuna somma tra prodotti scalari. Abbiamo:

\begin{align*} &\textbf{u} \times(\textbf{v}+\textbf{w})=\underbrace{{\textbf{u} }\times {\textbf{v}}+ {\textbf{u}} \times {\textbf{w}}}_{\text{scalare}} \end{align*}

Vale quindi la proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma tra vettori, ed è del tutto simile alla proprietà distributiva della moltiplicazione tra numeri reali rispetto alla somma tra numeri reali.

Proprietà commutativa

Per il prodotto scalare vale la proprietà commutativa. In particolare, se scambiamo l’ordine dei fattori il risultato non cambia. La proprietà è del tutto simile alla proprietà commutativa relativa alla moltiplicazione tra numeri reali.

Abbiamo:

\textbf{u} \times \textbf{v} = \textbf{v} \times \textbf{u}

Omogeneità o proprietà pseudo-associativa

La proprietà di omogeneità del prodotto scalare, o proprietà pseudo-associativa, si scrive come segue:

{(\lambda \textbf{v})}\times \textbf{w} = \textbf{v } \times{(\lambda \textbf{w})} = \lambda(\textbf{v} \times \textbf{w})

Stiamo attenti ad interpretare correttamente questa proprietà. In particolare, osserviamo che non ha alcun senso scrivere l’espressione:

\lambda \times (\textbf{v} \times \textbf{w}) \qquad \underline{\textcolor{red}{no!}}

Infatti, il prodotto scalare è definito a partire da due vettori, mentre nell’espressione appena scritta si pretenderebbe di eseguire un prodotto scalare a partire da degli scalari, il che è sbagliato. Quindi, attenzione.

Formula geometrica del prodotto scalare

Vediamo ora come esprimere il prodotto scalare da un punto di vista geometrico.

Cominciamo scrivendo il prodotto scalare di un vettore per sé stesso in funzione delle sue componenti cartesiane:

\textbf{v} \times \textbf{v}=\left \langle {v_x, v_y, v_z} \right \rangle \times \left \langle {v_x , v_y , v_z} \right \rangle= v_x^2+v_y^2+v_z^2

e poiché per la definizione di lunghezza di un vettore abbiamo:

\lVert {\textbf{v}} \rVert=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}

dato che l’argomento della radice è proprio l’espressione di ${\textbf{v} \times \textbf{v}}$ possiamo scrivere:

\lVert {\textbf{v}} \rVert= \sqrt{\textbf{v} \times \textbf{v}}

o il che è lo stesso:

\boxed{\lVert {\textbf{v}} \rVert^2= \textbf{v} \times \textbf{ v}}

Tale formula ci sarà utile proprio per riesprimere il prodotto scalare in forma geometrica.

Consideriamo il seguente triangolo non rettangolo:

Per il teorema di Carnot abbiamo:

c^2=a^2+b^2-2ab \cos (\theta)

Ora, consideriamo il vettore ${\textbf{v}}$ e un vettore ${\textbf{w}}$ . Supponiamo che i due vettori non siano tra loro paralleli. Ricorrendo alla operazione di differenza tra vettori, vale una rappresentazione del tipo la seguente:

Applicando il teorema di Carnot ai segmenti orientati rappresentanti i vettori ${\textbf{v}}$ , ${\textbf{w}}$ e ${\textbf{v} - \textbf{w}}$ possiamo scrivere:

\lVert {\textbf{v}-\textbf{w}} \rVert^2=\lVert {\textbf{v}} \rVert^2+\lVert {\textbf{w}} \rVert^2-2 \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert \cdot \cos(\theta) \qquad (*)

A questo punto, proviamo a lavorare sul primo membro dell’uguaglianza appena ottenuta.

Poiché come stabilito in precedenza ${\lVert {\textbf{v}} \rVert^2= \textbf{v} \times \textbf{ v}}$ abbiamo intanto:

\lVert {\textbf{v}-\textbf{w}} \rVert^2= (\textbf{v}- \textbf{w}) \times (\textbf{v}- \textbf{w})=

Proseguiamo i passaggi tenendo conto della proprietà distributiva del prodotto scalare:

=\textbf{v} \times \textbf{v}-\textbf{v} \times \textbf{ w}-\textbf{w} \times \textbf{v}+\textbf{w} \times \textbf{w}=

e quindi:

= \lVert {\textbf{v}} \rVert^2-2 (\textbf{v} \times \textbf{w})+\lVert {\textbf{w}} \rVert^2

Abbiamo così ottenuto una nuova espressione per il primo membro dell’uguaglianza *, la quale può essere di conseguenza riscritta come:

\small \lVert {\textbf{v}} \rVert^2-2 (\textbf{v} \times \textbf{w})+\lVert {\textbf{w}} \rVert^2=\lVert {\textbf{v}} \rVert^2+\lVert {\textbf{w}} \rVert^2-2 \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert \cdot \cos(\theta)

ovvero, cancellando i termini uguali membro a membro:

-2(\textbf{v} \times \textbf{w})=-2 \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert \cdot \cos(\theta)

e quindi:

\boxed{\begin{align*} & \\ \textbf{v} \times \textbf{w}= \lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert \cdot \cos (\theta) \\ & \end{align*}}

e questa è la formula geometrica del prodotto scalare.

Grazie all’espressione appena ricavata possiamo enunciare il seguente teorema, che consente di calcolare l’angolo tra due vettori (angolo compreso tra i due segmenti orientati che rappresentano i due vettori dati).

Teorema (calcolo dell’angolo compreso tra due vettori)

Supponiamo che i due vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ siano entrambi diversi dal vettore nullo. Allora, l’angolo ${\theta}$ compreso fra i vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ è tale da soddisfare l’uguaglianza: ${\cos(\theta)=\dfrac{\textbf{v} \times \textbf{w}}{\lVert {\textbf{v} \rVert} \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert}}$

Il teorema consente quindi di calcolare l’angolo compreso tra due vettori noti il loro prodotto scalare e il prodotto tra le rispettive lunghezze. In particolare, l’angolo compreso tra due vettori è uguale all’arcocoseno del rapporto tra il prodotto scalare dei due vettori e il prodotto delle rispettive lunghezze dei vettori stessi:

\theta = \arccos\left( \dfrac{\textbf{v} \times \textbf{w}}{\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert}\right)

Dimostrazione (teorema sull’angolo compreso tra due vettori)

Nel caso in cui i due vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ non sono tra loro paralleli, la dimostrazione del teorema è immediata. Infatti in tal caso è possibile applicare il teorema di Carnot e di conseguenza vale la formula geometrica del prodotto scalare. Ora, dato che per ipotesi i vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ sono entrambi diversi dal vettore nullo, è possibile dividere entrambi i membri dell’uguaglianza corrispondente alla formula geometrica del prodotto scalare per la quantità ${\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert}$ . In tal modo otteniamo la tesi.

Se invece supponiamo che i vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ sono paralleli, non possiamo applicare il teorema di Carnot e dobbiamo quindi procedere con una dimostrazione a parte. Per convincersene, basta osservare che i lati di un triangolo sono necessariamente non paralleli tra loro.

Ora, se i due vettori sono paralleli ed hanno lo stesso verso, allora l’angolo compreso tra i due vettori è uguale a ${\theta = 0}$ . Di conseguenza, il primo membro dell’uguaglianza che dobbiamo dimostrare, ovvero:

\cos(\theta)=\dfrac{\textbf{v} \times \textbf{w}}{\lVert {\textbf{v} \rVert} \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert} \qquad (**)

risulta uguale a ${1}$ (infatti, ${\cos(0)=1}$ ).

Per provare il teorema in questo caso si tratterà allora di dimostrare che anche il secondo membro dell’uguaglianza appena scritta è uguale a ${1}$ .

A questo punto, osserviamo che per la caratterizzazione del parallelismo fra vettori vista in una precedente lezione, dato che i due vettori sono per ipotesi paralleli, esiste uno scalare ${\lambda}$ positivo per il quale si ha ${\textbf{w}=\lambda \textbf{v}}$ .

Di conseguenza, per la quantità al denominatore del secondo membro dell’uguaglianza da dimostrare abbiamo:

\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert=\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\lambda \cdot \textbf{v}} \rVert=\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot |\lambda| \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert=

Osserviamo che l’ultimo passaggio scritto si giustifica in base alla relazione ${ \lVert \lambda \cdot {\textbf{v}} \rVert = |\lambda| \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert}$ vista nella lezione sull’algebra dei vettori nel piano.

Proseguiamo i passaggi, osservando che valendo l’ipotesi di vettori paralleli con lo stesso verso la quantità ${\lambda}$ è positiva. Di conseguenza, è possibile eliminare per tale quantità il simbolo di modulo:

=\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lambda \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert=\lambda \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert=\lambda \lVert {\textbf{v}} \rVert^2=

Ma per quanto sappiamo, è possibile riscrivere la quantità ${\lVert {\textbf{v}} \rVert^2}$ utilizzando il prodotto scalare:

=\lambda (\textbf{v} \times \textbf{v})=

Infine applicando la proprietà pseudo-associativa del prodotto scalare e la proprietà commutativa, ricordando inoltre che i vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ sono paralleli:

=(\lambda \textbf{v}) \times \textbf{v}=\textbf{v} \times(\underbrace{\lambda \textbf{v}}_{\textbf{v} // \textbf{w}})=\textbf{v} \times \textbf{w}

Di conseguenza, riepilogando i passaggi otteniamo l’uguaglianza:

\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert=\textbf{v} \times \textbf{w}

Ma allora anche il secondo membro dell’uguaglianza ** è uguale a ${1}$ (come il primo membro), quindi l’uguaglianza tra i due membri della ** è verificata e di conseguenza il teorema è dimostrato anche per l’ipotesi di vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ paralleli e aventi lo stesso verso.

Rimane ora da dimostrare l’uguaglianza ** nel rimanente caso di vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ paralleli ma di verso opposto. Osserviamo che se due vettori sono paralleli e di verso opposto, l’angolo tra essi compreso è ${\theta = \pi}$ . Di conseguenza, per il primo membro della ** abbiamo:

\cos(\theta) = \cos (\pi) = -1

Dobbiamo a questo punto dimostrare che sotto le ipotesi in vigore ora, anche il secondo membro della ** risulta uguale a ${-1}$ .

In modo del tutto simile al caso precedente, cerchiamo di riesprimere in una differente forma il denominatore del secondo membro della **. Abbiamo:

\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert=\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\lambda \cdot \textbf{v}} \rVert=\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot |\lambda| \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert=|\lambda| \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert^2=

Ora attenzione: stavolta ${\lambda}$ è negativo poiché i vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ sono per ipotesi di verso opposto. Così, proseguendo i passaggi:

=-\lambda \cdot \lVert {\textbf{v}} \rVert^2=-\lambda (\textbf{v} \times \textbf{v})=-\textbf{v} \times (\lambda \textbf{v})=-\textbf{v} \times \textbf{w}

Ma allora la quantità al denominatore del secondo membro della ** è uguale a ${-\textbf{v} \times \textbf{w}}$ . Di conseguenza, anche il secondo membro della ** è uguale a ${-1}$ (come il primo membro), e quindi l’uguaglianza ** è verificata. In conclusione il teorema è dimostrato anche nell’ultimo caso di due vettori tra loro paralleli ed aventi verso opposto.

Il teorema è quindi dimostrato.

Esempio sul calcolo dell’angolo compreso tra due vettori

Calcolare l’angolo compreso tra i due vettori:

\textbf{v}=\left \langle {1,5,7} \right \rangle , \qquad \textbf{w}=\left \langle {-3,6,-8} \right \rangle

Abbiamo:

\small \begin{align*} & \theta= \arccos\left( \dfrac{\textbf{v} \times \textbf{w}}{\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert} \right)= \arccos \left( \dfrac{\left \langle {v_x, v_y, v_z} \right \rangle \times \left \langle {w_x, w_y, w_z} \right \rangle}{\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} \cdot \sqrt{w_x^2+w_y^2+w_z^2}}\right)=\\ \\ & =\arccos \left( \dfrac{v_x\cdot w_x+v_y \cdot w_y+v_z\cdot w_z}{\sqrt{(v_x^2+v_y^2+v_z^2)(w_x^2+w_y^2+w_z^2)}}\right) = \\ \\ & =\arccos \left( \dfrac{1 \cdot (-3)+5 \cdot 6 + 7 \cdot (-8)}{ \sqrt{\left(1^2+5^2+7^2 \right) \cdot \left[(-3)^2 + 6^2+ (-8)^2 \right]}}\right)= \\ \\ & =\arccos \left( \dfrac{-29}{\sqrt{75 \cdot 109 } }\right) \approx 1,89 \text{rad} \end{align*}

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Riprendiamo la definizione geometrica del prodotto scalare:

\textbf{v} \times \textbf{w}=\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert \cdot \cos(\theta)

Osserviamo che per le proprietà della funzione trigonometrica coseno, la quantità ${\cos(\theta)}$ sarà sempre compresa tra ${-1}$ e ${1}$ . Di conseguenza:

-\lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert\leq \textbf{v} \times \textbf{w} \leq \lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert

o il che è lo stesso:

| \textbf{v} \times \textbf{w}| \leq \lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert

La disuguaglianza appena ottenuta si chiama disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Si ha l’uguaglianza tra i due membri della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nel caso in cui i due vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ risultino paralleli. Ma per brevità non ci occuperemo della relativa dimostrazione.

Prodotto scalare e vettori ortogonali

Formalizziamo ora la definizione di vettori ortogonali.

Due vettori si dicono ortogonali o perpendicolari tra loro se l’angolo ${\theta}$ tra essi compreso è uguale a ${\dfrac{\pi}{2}}$ .
Per convenzione, il vettore nullo è ortogonale ad un qualunque vettore.

Abbiamo già caratterizzato a suo tempo la definizione di vettori paralleli, ed in particolare siamo in grado di determinare l’eventuale parallelismo tra due vettori a partire dalle loro coordinate cartesiane. Infatti, sappiamo che due vettori non nulli ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ sono tra loro paralleli se esiste uno scalare ${\lambda}$ tale che ${\textbf{w}=\lambda \textbf{v}}$ , ovvero:

\left \langle {w_x,w_y,w_z} \right \rangle= \lambda \cdot\left \langle {v_x,v_y,v_z} \right \rangle=\left \langle {\lambda v_x, \lambda v_y, \lambda v_z} \right \rangle

ovvero:

\begin{cases}w_x = \lambda v_x \\ \\ w_y = \lambda v_y \\ \\ w_z = \lambda v_z \end{cases}

Vogliamo ora riuscire a determinare se due vettori sono perpendicolari tra loro senza dover calcolare l’angolo tra essi compreso. In altre parole, vogliamo capire se due vettori sono tra loro perpendicolari lavorando unicamente con le loro componenti cartesiane.

Ci è in nostro aiuto il seguente teorema.

Teorema (perpendicolarità tra vettori con il prodotto scalare). Due vettori ${\textbf{v}}$ e ${\textbf{w}}$ sono tra loro perpendicolari se e solo se ${\textbf{v} \times \textbf{w} = 0}$ .

Dimostrazione

Osserviamo che se due vettori sono tra loro perpendicolari, l’angolo tra essi compreso è ${\theta=\dfrac{\pi}{2}}$ . Di conseguenza, nella formula geometrica del prodotto scalare, ovvero nell’uguaglianza:

\textbf{v} \times \textbf{w}= \lVert {\textbf{v}} \rVert \cdot \lVert {\textbf{w}} \rVert \cdot \cos (\theta)

la quantità ${\cos(\theta)}$ risulta uguale a ${0}$ . Quindi segue ${\textbf{v} \times \textbf{w}=0}$ .

Viceversa, avremo ${\textbf{v} \times \textbf{w} = 0}$ se e solo se uno dei due vettori è uguale al vettore nullo, oppure se la quantità ${\cos(\theta)}$ è uguale a zero (ovvero l’angolo ${\theta}$ è uguale ${\dfrac{\pi}{2}}$ ). Ritroviamo quindi la condizione di perpendicolarità tra i vettori (osserviamo che anche se uno dei due vettori è nullo, il vettore nullo è perpendicolare ad ogni vettore).

Ora, la condizione di perpendicolarità fra vettori:

\textbf{v} \times \textbf{w} = 0

può essere facilmente riespressa nei termini delle componenti cartesiane dei vettori dati. Infatti, supponendo di operare con vettori dello spazio tridimensionale, per la definizione algebrica di prodotto scalare la precedente equivale a:

v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z=0

che effettivamente è la relazione che cercavamo, ovvero una relazione basata sulle sole componenti cartesiane dei vettori per la quale risulta che i vettori stessi sono perpendicolari tra loro.

Conclusioni

Per quanto riguarda la definizione di prodotto scalare e tutti i principali concetti ad esso collegati per questa lezione è tutto. Nella prossima lezione incontreremo di nuovo il prodotto scalare, poiché ci occuperemo delle proiezioni di vettori. E come vedremo, anche in questo ambito il prodotto scalare gioca un ruolo molto importante. Buon proseguimento!