NOTA: questa lezione presenta tutti i metodi di calcolo per gli integrali di funzioni razionali. Per chi invece desidera più lezioni che trattino ciascun singolo argomento, è disponibile una serie di lezioni sugli integrali di funzioni razionali. Consigliamo queste lezioni in particolare agli studenti delle scuole superiori. E’ in generale comunque sempre possibile leggere la presente lezione per poi approfondire i vari aspetti nelle ulteriori lezioni indicate nel link.
Per quanto riguarda il calcolo degli integrali di funzioni razionali abbiamo già posto delle importanti basi nella precedente lezione. Abbiamo infatti mostrato in tale lezione come si calcolano gli integrali dei reciproci dei polinomi e dei rapporti numero/polinomio, ovvero integrali del tipo:
\[ \int \dfrac{1}{x+7} \, dx , \qquad \int \dfrac{1}{2x^2-3x+7} \, dx, \qquad \int \dfrac{5}{x^2+2x+3} \, dx \]
Gli integrali di funzioni razionali sono integrali nei quali la funzione integranda è un rapporto tra polinomi. Ad esempio:
\[ \int \dfrac{3x^2+9x+2}{4x+7} \, dx \]
Per calcolare gli integrali di funzioni razionali non possiamo cavarcela semplicemente ricavando una formula a partire dalla regola della derivata del rapporto. Nelle scorse lezioni siamo invece riusciti a definire delle tecniche di integrazione a partire dalla regola della derivata del prodotto (tecnica di integrazione per parti) e dal teorema della derivata della funzione composta (tecnica di integrazione per sostituzione). Per gli integrali di funzioni razionali quanto sappiamo sulle derivate non ci consente invece di costruire una formula utile.
Per il calcolo degli integrali di funzioni razionali, l’idea è quella di riscrivere la funzione razionale di partenza come somma di funzioni che sappiamo integrare. Ad esempio, se riusciamo a riscrivere un rapporto tra polinomi come somma di reciproci di polinomi o comunque di rapporti numero/polinomio, allora possiamo integrare la funzione di partenza calcolando gli integrali dei nuovi termini ottenuti e sommandoli tra loro.
Mostreremo in questa lezione che ad esempio il calcolo dell’integrale:
\[ \int \dfrac{x^2+3x+7}{x^3+6x^2-13x-42} \, dx \]
può essere ricondotto al calcolo dei seguenti integrali, sommati tra loro:
\[ \int \dfrac{A}{x-3} \, dx + \int \dfrac{B}{x+7} \, dx + \int \dfrac{C}{x+2} \, dx \]
Il vantaggio di ricondurci a tale forma è che, una volta noti i valori dei termini \( A, \: B, \: C \), sappiamo calcolare gli integrali appena scritti, come visto nella precedente lezione. Ed è importante osservare che se è possibile ricondursi a tali integrali vuol dire che si ha:
\[ \dfrac{x^2+3x+7}{x^3+6x^2-13x-42}= \dfrac{A}{x-3} + \dfrac{B}{x+7} +\dfrac{C}{x+2} \]
ovvero che è possibile riscrivere la frazione algebrica di partenza come somma di frazioni algebriche più semplici da integrare, dette frazioni parziali.
Quello che ora ci rimane da capire è con quale regola poter esprimere una data frazione algebrica come somma di frazioni parziali. Proprio di questo ci occuperemo nel dettaglio in questa lezione.
Vediamo allora subito come calcolare gli integrali di funzioni razionali. Cominceremo dal caso più semplice, nel quale è possibile utilizzare la divisione tra polinomi. In tal caso riusciremo a riscrivere la frazione algebrica di partenza come somma di un polinomio e di una frazione più semplice da integrare.
NOTA: attenzione alle notazioni utilizzate nel seguito. Con \( A(x) \) e \( B(x) \) indicheremo dei polinomi, mentre con \( A, \: B, \: C \) indicheremo dei numeri reali. 😉
Inoltre, per lo studio degli argomenti trattati nella lezione possono essere utili il tool “risolvere gli integrali online“, il tool per la divisione tra polinomi ed infine il tool per la ricerca delle frazioni parziali.
Integrali di funzioni razionali con la divisione tra polinomi
Detti \( A(x) \) e \( B(x) \) due generici polinomi, vogliamo calcolare integrali indefiniti del tipo:
\[ \int \dfrac{A(x)}{B(x)} \, dx \]
nel caso in cui il grado del polinomio \( A(x) \) sia maggiore o uguale al grado del polinomio \( B(x) \).
Osserviamo che sotto tali ipotesi sul grado dei polinomi è possibile eseguire la divisione tra polinomi \( A(x):B(x) \) ottenendo un quoziente diverso da zero. E, ricordiamo, vale la relazione:
\[ \dfrac{A(x)}{B(x)}=Q(x)+\dfrac{R(x)}{B(x)} \]
ove \( Q(x) \) è il quoziente della divisione mentre \( R(x) \) è il resto.
Dunque se dobbiamo calcolare l’integrale:
\[ \int \dfrac{A(x)}{B(x)} \, dx \]
questo può essere ricondotto all’integrale:
\[ \int \left[Q(x)+ \dfrac{R(x)}{B(x)} \right] \, dx \]
ovvero, per la regola dell’integrale della somma:
\[ \int Q(x) \, dx + \int \dfrac{R(x)}{B(x)} \, dx \]
Così abbiamo in conclusione:
\[ \int \dfrac{A(x)}{B(x)} \, dx = \int Q(x) \, dx + \int \dfrac{R(x)}{B(x)} \, dx, \qquad \deg[(A(x)] \geq \deg [(B(x)] \]
Grazie a questa formula è possibile calcolare l’integrale indefinito del rapporto tra polinomi nel caso in cui il polinomio a numeratore sia di grado maggiore o uguale al grado del polinomio a denominatore.
NOTA: osserviamo che se il grado del polinomio \( B(x) \) a denominatore risulta maggiore del grado del polinomio \( A(x) \) a numeratore la divisione \( A(x):B(x) \) è possibile ma restituisce quoziente nullo e resto pari al dividendo. Così la precedente formula si riduce semplicemente all’identità:
\[ \int \dfrac{A(x)}{B(x)} dx = \int \dfrac{A(x)}{B(x)}\, dx \]
che evidentemente non è di nessuna utilità. 😉
Esempio di calcolo di integrali di funzioni razionali con la divisione tra polinomi
Calcolare:
\[ \int \dfrac{2x^3+4x+1}{2x+3} \, dx \]
Il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore per cui possiamo eseguire la divisione tra i polinomi ottenendo un quoziente non nullo. Si ha:
Abbiamo ottenuto \( Q(x) =x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{17}{4} \) e \( R(x)=-\dfrac{47}{4} \). Per cui possiamo scrivere:
\[ \begin{align}&\dfrac{A(x)}{B(x)}=Q(x)+\dfrac{R(x)}{B(x)} \quad \Rightarrow \\ \\ & \dfrac{2x^3+4x+1}{2x+3}=\underbrace {x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{17}{4}}_{Q(x)}-\underbrace{\dfrac{\frac{47}{4}}{2x+3}}_{\frac{R(x)}{B(x)}}=x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{17}{4}-\dfrac{47}{4(2x+3)} \end{align} \]
e di conseguenza per l’integrale di partenza si ha:
\[ \int \dfrac{2x^3+4x+1}{2x+3} \, dx= \int \left[ x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{17}{4}-\dfrac{47}{4(2x+3)}\right] \, dx= \]
Applicando la regola dell’integrale della somma:
\[ =\int x^2 \, dx – \int \dfrac{3}{2}x \, dx+ \int \dfrac{17}{4} \, dx- \int \dfrac{47}{4(2x+3)}\, dx= (*) \]
A questo punto abbiamo integrali che sappiamo calcolare. I primi tre integrali sono infatti degli integrali fondamentali. L’ultimo integrale è riconducibile all’integrale del reciproco di un polinomio:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{47}{4(2x+3)}\, dx=\dfrac{47}{4} \int \dfrac{1}{2x+3} \, dx=\dfrac{47}{4} \int \dfrac{1}{2x+3} \cdot \dfrac{2}{2} \, dx= \\ \\ & = \dfrac{47}{4}\cdot \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{2x+3} \cdot 2 \, dx =\dfrac{47}{8} \ln |2x+3|+c, \quad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
Il risultato si giustifica per le considerazioni fatte nella precedente lezione. Riassumendo, abbiamo applicato la prima formula di integrazione per sostituzione, riconducendoci all’integrale di una funzione composta moltiplicata per la derivata del suo argomento. In tal modo abbiamo utilizzato in forma generalizzata il risultato dell’integrale fondamentale della funzione \( \dfrac{1}{x} \), che è pari a \( \ln |x| \) (\( \ln \) sta per logaritmo naturale).
Così ritornando all’integrale di partenza, proseguendo i passaggi si ha:
\[ (*)= \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{17}{4}x-\dfrac{47}{8}\ln |2x+3|+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Ed abbiamo così calcolato l’integrale.
Vediamo ora come comportarci nei casi in cui il numeratore \( A(x) \) della funzione razionale da integrare sia di grado minore del denominatore \( B(x) \).
Integrali di funzioni razionali con la tecnica delle frazioni parziali
Supponiamo di voler calcolare l’integrale:
\[ \int \dfrac{A(x)}{B(x)} \, dx \]
con grado del numeratore \( A(x) \) minore del grado del denominatore \( B(x) \).
In tal caso come già evidenziato la divisione tra polinomi non ci è di nessun aiuto. Rimane comunque sempre l’idea che abbiamo utilizzato nel caso precedente, ovvero ricondurre la frazione algebrica di partenza ad una somma di frazioni algebriche le quali possiamo integrare.
Ricordiamo come sommare due frazioni algebriche tra loro:
\[ \dfrac{A}{p(x)}+\dfrac{B}{q(x)}=\dfrac{A\cdot q(x)+B \cdot p(x)}{p(x) \cdot q(x)} \]
Nel caso in esame ipotizziamo che \( p(x) \) e \( q(x) \) siano due polinomi che non hanno fattori in comune tra loro. Inoltre \( A \) e \( B \) sono due numeri reali.
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza evidentemente si ha:
\[ \dfrac{A\cdot q(x)+B \cdot p(x)}{p(x) \cdot q(x)}= \dfrac{A}{p(x)}+\dfrac{B}{q(x)} \]
Possiamo quindi operare in senso inverso. A partire dal risultato della somma, desideriamo ritornare alle singole frazioni algebriche di partenza sommate tra loro. L’idea è così quella di calcolare l’integrale:
\[ \int \dfrac{A\cdot q(x)+B \cdot p(x)}{p(x) \cdot q(x)} \, dx \]
riconducendoci al calcolo dell’integrale:
\[ \int \left[\dfrac{A}{p(x)}+\dfrac{B}{q(x)} \right] \, dx \]
ovvero:
\[ \int \dfrac{A}{p(x)} \, dx +\int \dfrac{B}{q(x)} \, dx \]
Ma quanto valgono \( A \) e \( B \)? Inoltre, possiamo avere casi più generali. Infatti, una data frazione algebrica potrebbe essere esprimibile come frazioni algebriche non necessariamente con numeratore di grado zero. Ad esempio:
\[ \dfrac{x^2+3x+4}{x^3-x-24}=\dfrac{2(x+6)}{13(x^2+3x+8)}+\dfrac{11}{13(x-3)} \]
In questo caso dobbiamo impostare il problema come segue:
\[ \dfrac{x^2+3x+4}{x^3-x-24}=\dfrac{Ax+B}{x^3+3x+8}+\dfrac{C}{x-3} \]
e ricercare i valori di \( A, \: B, \:C \). La prima frazione a secondo membro ha come numeratore un polinomio di primo grado, mentre la seconda ha come numeratore un numero. Ma da cosa capiamo in quale forma dobbiamo scrivere i numeratori delle frazioni a secondo membro? E come ricaviamo i coefficienti \( A, \: B, \:C \)? A tutte queste domande daremo risposta a seguire. 😉
Esprimere una frazione algebrica come somma di frazioni parziali
Riprendiamo un attimo il problema da risolvere. Consideriamo una frazione algebrica del tipo:
\[ \dfrac{A(x)}{B(x)} \]
ove il grado del polinomio \( A(x) \) è minore del grado del polinomio \( B(x) \). Il nostro obiettivo è riscrivere la frazione data come somma di più frazioni dette frazioni parziali.
Il primo passo consiste nello scomporre, se possibile, il denominatore \( B(x) \). Per ora consideriamo il caso in cui effettivamente possiamo eseguire tale scomposizione.
In uno dei casi più generali possibili otteniamo per \( B(x) \) una scomposizione del tipo:
\[ \small B(x) = (x-a)^n \cdot (x-b)^ m \cdot \quad \text{…} \quad \cdot (x^2-a)^k\cdot (x^2-b)^j \cdot \quad \text{…} \quad \cdot (\alpha x^2+ \beta x+ c)^t \]
In parole semplici, \( B(x) \) può avere in generale come scomposizione un prodotto tra binomi di primo grado, binomi di secondo grado e polinomi di secondo grado non scomponibili in fattori. E ciascuno potrà essere elevato ad un esponente anche diverso da \( 1 \). Per fare un pratico esempio:
\[ x^3+x^2-3x-6=(x-2)\cdot(x^2+3x+3) \]
Il polinomio considerato è esprimibile come prodotto di un binomio di primo grado e un polinomio di secondo grado non scomponibile in fattori.
Supponiamo ad esempio di voler riscrivere la seguente frazione algebrica come somma di frazioni parziali:
\[ \dfrac{x^2+2x+8}{x^3+x^2-3x-6} \]
Vista la precedente scomposizione, per i denominatori delle frazioni parziali ha sicuramente senso scrivere:
\[ \dfrac{x^2+2x+8}{x^3+x^2-3x-6}=\dfrac{\square}{x-2}+\dfrac{\square}{x^2+3x+3} \]
ma come facciamo per i numeratori? Viene in nostro aiuto la seguente regola generale, che stabilisce quante frazioni parziali scrivere e in quale forma in base ai fattori presenti nella scomposizione del denominatore della frazione di partenza.
Frazioni parziali da scrivere in basE ai fattori della scomposizione del denominatore della frazione algebrica di partenza
A partire da una data frazione algebrica, per esprimerla come somma di frazioni parziali dovremo scrivere:
- una frazione parziale per ogni distinto fattore di primo grado del tipo \( (x-a) \) avente come denominatore il fattore stesso e come numeratore un numero (che indicheremo con le lettere \( A, \: B, \: C, \:\dots \));
- per i fattori del tipo \( (x-a)^n \), con \( n > 1 \), dovremo scrivere \( n \) frazioni parziali, aventi ciascuna per denominatore rispettivamente i termini \( (x-a), \: (x-a)^2, \: \dots \: (x-a)^n \) e per numeratore un numero, ciascuno indicato con una distinta lettera;
- per ciascun distinto fattore dato da un polinomio di secondo grado non scomponibile in fattori, dovremo scrivere una frazione parziale avente per denominatore lo stesso polinomio e per numeratore un generico polinomio di primo grado nella forma \( Ax+B \), avendo cura di utilizzare lettere distinte per ciascuna frazione;
- inoltre, per i fattori dati da un polinomio di secondo grado non scomponibile elevato ad esponente \( n \) maggiore di 1, dovremo scrivere \( n \) frazioni parziali aventi per denominatore rispettivamente i fattori \( ax^2+bx+c, \: (ax^2+bx+c)^2, \dots, \: (ax^2+bc+c)^n \) e per numeratore un generico polinomio di primo grado della forma \( Ax+B \), avendo cura di usare lettere distinte per ciascuna frazione.
Stiamo attenti ad utilizzare in tutta l’espressione lettere distinte per ciascuna frazione algebrica.
Vediamo ora come utilizzare le regole enunciate. Per l’esempio lasciato in sospeso abbiamo:
\[ \dfrac{x^2+2x+8}{x^3+x^2-3x-6}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+3x+3} \]
Infatti abbiamo scritto la frazione parziale \( \dfrac{A}{x-2} \) per il fattore \( x-2 \) del denominatore di partenza e la frazione parziale \( \dfrac{Bx+C}{x^2+3x+3} \) per il fattore \( x^2+3x+3 \) (polinomio di secondo grado non scomponibile).
Vediamo alcuni esempi su come riscrivere delle frazioni algebriche come somme di frazioni parziali, fermandoci alla forma generica. Passeremo poi ad esempi di calcolo completi mostrando come ricavare i coefficienti \( A \:, B \:, C \: \). 😉
Esempio 1
Riscrivere come somma di frazioni parziali la seguente frazione algebrica:
\[ \dfrac{2x^2+4}{x^3-x^2-8x+12} \]
Con la regola di Ruffini otteniamo la scomposizione:
\[ x^3-x^2-8x+12=(x-2)^2 \cdot (x+3) \]
Così intanto abbiamo:
\[ \dfrac{2x^2+4}{x^3-x^2-8x+12}=\dfrac{2x^2+4}{(x-2)^2(x+3)} \]
Nel denominatore della frazione algebrica di partenza abbiamo allora un fattore \( (x-2)^2 \) e un fattore \( x+3 \). Applichiamo le regole che abbiamo enunciato:
- per il fattore \( (x-2)^2 \) (che è una potenza di un binomio di primo grado) dobbiamo scrivere due frazioni algebriche: una è \( \dfrac{A}{x-2} \) e l’altra è \( \dfrac{B}{(x-2)^2} \);
- per il fattore \( x+3 \) (che è di primo grado) scriviamo una sola frazione parziale data da \( \dfrac{C}{x+3} \).
Possiamo quindi esprimere la frazione algebrica di partenza come somma delle frazioni parziali che abbiamo appena costruito:
\[ \dfrac{2x^2+4}{(x-2)^2(x+3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{(x-2)^2}+\dfrac{C}{x+3} \]
Esempio 2
\[ \dfrac{5x^2+9x+8}{x^3-3x^2-13x+15} \]
Tenendo conto della scomposizione del denominatore, ancora ottenibile con la regola di Ruffini, possiamo scrivere:
\[ \dfrac{5x^2+9x+8}{x^3-3x^2-13x+15}=\dfrac{5x^2+9x+8}{(x-1)\cdot(x+3)\cdot(x-5)} \]
Poiché al denominatore abbiamo tutti binomi di primo grado tutti differenti tra loro, scriviamo semplicemente:
\[ \dfrac{5x^2+9x+8}{(x-1)\cdot(x+3)\cdot(x-5)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}+\dfrac{C}{x-5} \]
Esempio 3
\[ \dfrac{x+3}{x^6-4x^5+10x^4-24x^3+33x^2-36x+36} \]
Si ha:
\[ \dfrac{x+3}{x^6-4x^5+10x^4-24x^3+33x^2-36x+36}=\dfrac{x+3}{(x-2)^2\cdot (x^2+3)^2} \]
Stavolta abbiamo dei binomi che compaiono con esponente maggiore di 1. Inoltre, la base di una delle due potenze è un binomio di secondo grado.
Poiché i fattori hanno esponente 2, dobbiamo scrivere due frazioni parziali per ogni fattore. Inoltre, non dimentichiamo che nelle frazioni parziali relative al binomio di secondo grado dovremo avere numeratori di primo grado. Considerando tutte le regole sin qui esposte si ha:
\[ \dfrac{x+3}{(x-2)^2\cdot (x^2+3)^2}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{(x-2)^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2+3}+ \dfrac{Ex+F}{(x^2+3)^2} \]
Ora che abbiamo visto come scrivere le frazioni parziali in forma generale, vediamo come ricavare i coefficienti \( A, \: B, \: C, \: \dots \).
Ricavare i coefficienti letterali A, B, C, …
Consideriamo alcuni dei precedenti esempi ricavando per essi i coefficienti letterali \( A, \: B, \: C, \dots \) in modo da poter scrivere le frazioni parziali in forma completa (cioè con valori numerici al posto dei coefficienti letterali).
Ripartiamo da questo caso:
\[ \dfrac{x^2+2x+8}{x^3+x^2-3x-6}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+3x+3} \]
Lavoriamo sul secondo membro mettendo le frazioni a denominatore comune. Si ha:
\[ \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+3x+3}=\dfrac{A(x^2+3x+3)+(Bx+C)(x-2)}{(x-2)(x^2+3x+3)} \]
Così riprendendo la frazione algebrica nella forma di partenza vale l’uguaglianza:
\[ \dfrac{x^2+2x+8}{x^3+x^2-3x-6}=\dfrac{A(x^2+3x+3)+(Bx+C)(x-2)}{x^3+x^2-3x-6} \]
Poiché i denominatori sono uguali, l’uguaglianza può essere riscritta considerando i soli numeratori:
\[ x^2+2x+8 =A(x^2+3x+3)+(Bx+C)(x-2) \]
Svolgiamo il prodotto a secondo membro:
\[ x^2+2x+8 =Ax^2+3Ax+3A+Bx^2+Cx-2Bx-2C \]
Sommando i termini simili:
\[ x^2+2x+8 =(A+B)x^2+(3A-2B+C)x+3A-2C \]
Osserviamo che al secondo membro abbiamo un polinomio con coefficiente del termine di secondo grado pari ad \( A+B \), con coefficiente del termine di primo grado pari a \( 3A-2B+C \) e termine noto pari a \( 3A-2C \). E’ importante notare che la variabile in cui sono espressi i polinomi è la \( x \), mentre le lettere \( A \:, B, \: C \) sono semplicemente dei parametri che dobbiamo ricavare. Di conseguenza, poiché la quantità \( 3A-2C \) non dipende dalla \( x \) questa concettualmente è un numero. Di qui l’affermazione che il termine noto del polinomio a secondo membro è \( 3A-2C \).
A questo punto si tratta di applicare all’uguaglianza appena scritta il principio di identità dei polinomi. Poiché il polinomio a primo membro è uguale al polinomio a secondo membro, dovranno essere tra loro uguali anche i rispettivi coefficienti dei termini di pari grado. Così abbiamo di conseguenza:
\[ \begin{cases}A+B = 1 \\ \\ 3A-2B+C = 2 \\ \\ 3A-2C = 8 \end{cases} \]
In pratica abbiamo uguagliato il coefficiente della \( x^2 \) del polinomio a primo membro con il coefficiente della \( x^2 \) del polinomio a secondo membro, e così via per i coefficienti dei termini in \( x \) e per i termini noti.
Ci ritroviamo con un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, che possiamo risolvere. Si ha:
\[ \begin{cases}A+B = 1 \\ \\ 3A-2B+C = 2 \\ \\ 3A-2C = 8 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}A = \dfrac{16}{13} \\ \\ B = -\dfrac{3}{13} \\ \\ C = -\dfrac{28}{13} \end{cases} \]
Sostituendo i valori ottenuti per i coefficienti letterali nell’uguaglianza di partenza contenente le frazioni parziali otteniamo:
\[ \begin{align}&\dfrac{x^2+2x+8}{x^3+x^2-3x-6}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+3x+3} \\ \\ \Rightarrow \quad &\dfrac{x^2+2x+8}{x^3+x^2-3x-6} = \dfrac{\frac{16}{13}}{x-2}+\dfrac{\frac{-3}{13}x-\frac{28}{13}}{x^2+3x+3} \\ \\ & \dfrac{x^2+2x+8}{x^3+x^2-3x-6}=\dfrac{16}{13(x-2)}+\dfrac{-3x-28}{13(x^2+3x+3)}\end{align} \]
Siamo così finalmente riusciti a riscrivere la frazione algebrica di partenza come somma di frazioni parziali. 😉
Il metodo che utilizza il principio di identità dei polinomi è sempre applicabile per ricavare i coefficienti letterali. Tuttavia, è in molti casi possibile (anche se non sempre) utilizzare una strada più breve che può evitarci di risolvere il sistema lineare, o comunque può renderlo più semplice da risolvere.
Riprendiamo l’uguaglianza fra i numeratori relativa all’esempio appena svolto:
\[ x^2+2x+8 =A(x^2+3x+3)+(Bx+C)(x-2) \]
Osserviamo che si tratta di un’identità valida per ogni \( x \) reale. Quindi, essa sarà valida anche per \( x = 2 \), ovvero il valore che annulla il fattore \( x-2 \). L’idea allora è quella di sostituire nell’uguaglianza il valore \( 2 \) alla \( x \): otterremo ancora un’uguaglianza valida. Ed è importante osservare che in questo modo le incognite \( B \) e \( C \) spariscono e ci ritroviamo con la sola incognita \( A \), che possiamo ricavare facilmente. Si ha (attenzione ad effettuare la sostituzione in entrambi i membri):
\[ 4+4+8=A(4+6+3) \quad \Rightarrow \quad A = \dfrac{16}{13} \]
Effettivamente ritroviamo per \( A \) il valore che avevamo precedentemente ottenuto risolvendo il sistema. 😉
Riprendiamo di nuovo l’uguaglianza tra i numeratori:
\[ x^2+2x+8 =A(x^2+3x+3)+(Bx+C)(x-2) \]
Ci conviene a questo punto sostituire il valore per \( A \) appena ricavato. Otteniamo:
\[ x^2+2x+8 =\dfrac{16}{13}(x^2+3x+3)+(Bx+C)(x-2) \]
E quindi:
\[ x^2+2x+8=\dfrac{16}{13}x^2+\dfrac{48}{13}x+\dfrac{48}{13}+Bx^2-2Bx+Cx-2C \]
ovvero, sommando i termini simili:
\[ x^2+2x+8 =\left(\dfrac{16}{13}+B \right)x^2+\left(\dfrac{48}{13}-2B+C \right)x+\dfrac{48}{13}-2C \]
Uguagliamo i coefficienti dei termini di pari grado tra loro, applicando il principio di identità dei polinomi. Osserviamo che possiamo costruire tre espressioni, ma ne bastano soltanto due. 😉 Possiamo quindi scrivere:
\[ \begin{cases}\dfrac{16}{13}+B=1 \\ \\ \dfrac{48}{13}-2C = 8 \end{cases} \]
Ora ci ritroviamo a dover risolvere due semplici equazioni di primo grado. 😉 Otteniamo:
\[ \begin{cases}\dfrac{16}{13}+B=1 \\ \\ \dfrac{48}{13}-2C = 8 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}B=-\dfrac{3}{13} \\ \\ 2C=\dfrac{48}{13}-8 \quad \Rightarrow \quad C = -\dfrac{28}{13} \end{cases} \]
Con molta meno fatica abbiamo ottenuto gli stessi risultati del sistema di tre equazioni in tre incognite. 😉 Quindi applicare direttamente il principio di identità dei polinomi è sempre possibile ma non sempre conveniente. Se ci sono dei fattori che si annullano per certi valori della \( x \) è sempre utile sfruttare tale circostanza.
Vediamo un ultimo esempio su come ricavare le incognite ai numeratori delle frazioni parziali. Passeremo poi ad esempi completi sul calcolo degli integrali di funzioni razionali. 😉
Consideriamo l’uguaglianza:
\[ \dfrac{5x^2+9x+8}{(x-1)\cdot(x+3)\cdot(x-5)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}+\dfrac{C}{x-5} \]
Mettiamo i termini a secondo membro a denominatore comune:
\[ \small \dfrac{5x^2+9x+8}{(x-1)\cdot(x+3)\cdot(x-5)}=\dfrac{A(x+3)(x-5)+B(x-1)(x-5)+C(x-1)(x+3)}{(x-1)\cdot (x+3) \cdot (x-5)} \]
Come nei casi precedenti consideriamo la sola uguaglianza tra i numeratori:
\[ {5x^2+9x+8}={A(x+3)(x-5)+B(x-1)(x-5)+C(x-1)(x+3)} \]
Osserviamo che per come è strutturato il secondo membro, se sostituiamo alla \( x \) uno fra i valori che annullano i vari fattori in \( x \), ci ritroviamo ogni volta con una sola incognita \( A, \: B \) o \( C \). Così, l’idea è quella di sostituire uno alla volta gli zeri dei fattori in \( x \) ricavando ciascuna incognita.
Poiché \( x+3 = 0 \) per \( x=-3 \), sostituiamo il valore \( -3 \) alla \( x \) nella precedente uguaglianza. Otteniamo:
\[ {5(-3)^2+9(-3)+8}=B(-3-1)(-3-5) \]
da cui:
\[ B= \dfrac{13}{16} \]
Veniamo ad un altro fattore e sostituiamo di nuovo nell’uguaglianza di partenza il corrispondente zero. Si ha \( x-5 = 0 \) per \( x = 5 \). Di conseguenza sostituiamo il valore \( 5 \) alla \( x \) ottenendo:
\[ {5(5^2)+9\cdot 5+8}=C(5-1)(5+3) \]
e quindi:
\[ C=\dfrac{89}{16} \]
Infine, poiché il fattore rimanente \( x-1 \) si annulla per \( x = 1 \), effettuando la corrispondente sostituzione sempre nell’uguaglianza di partenza fra i numeratori otteniamo:
\[ 5(1)^2+9(1)+8=+A(1+3)(1-5) \]
e quindi:
\[ A=-\dfrac{11}{8} \]
Così otteniamo per l’uguaglianza di partenza:
\[ \dfrac{5x^2+9x+8}{(x-1)\cdot(x+3)\cdot(x-5)}=-\dfrac{\frac{11}{8}}{x-1}+\dfrac{\frac{13}{16}}{x+3}+\dfrac{\frac{89}{16}}{x-5} \]
ovvero in conclusione:
\[ \dfrac{5x^2+9x+8}{(x-1)\cdot(x+3)\cdot(x-5)}=-\dfrac{11}{8(x-1)}+\dfrac{13}{16(x+3)}+\dfrac{89}{16(x-5)} \]
Esempi completi sugli integrali indefiniti di funzioni razionali
Ora che abbiamo messo insieme tutti i vari elementi possiamo calcolare gli integrali indefiniti di tantissime funzioni razionali. Infatti, adesso siamo in grado di riscrivere una qualsiasi frazione algebrica come somma di frazioni parziali. Il problema si riduce quindi ad integrare ciascuna singola frazione parziale, sfruttando la regola dell’integrale della somma.
Esempio 1
Calcolare:
\[ \int \dfrac{x+4}{4x^2+12x+9} \, dx \]
Scomponiamo anzitutto il denominatore in fattori (se possibile). Si ha:
\[ 4x^2+12x+9=(2x+3)^2 \]
Abbiamo così:
\[ \int \dfrac{x+4}{4x^2+12x+9} \, dx = \int \dfrac{x+4}{(2x+3)^2} \, dx \]
Per quanto sappiamo sulle frazioni parziali possiamo scrivere:
\[ \dfrac{x+4}{(2x+3)^2}=\dfrac{A}{2x+3}+\dfrac{B}{(2x+3)^2} \]
E quindi per l’integrale di partenza:
\[ \int \dfrac{x+4}{4x^2+12x+9} \, dx= \int \dfrac{x+4}{(2x+3)^2} \, dx = \int \left[\dfrac{A}{2x+3}+\dfrac{B}{(2x+3)^2} \right]\, dx \]
Utilizzando la regola dell’integrale della somma possiamo scrivere:
\[ \int \left[\dfrac{A}{2x+3}+\dfrac{B}{(2x+3)^2} \right]\, dx= \int \dfrac{A}{2x+3} \, dx + \int \dfrac{B}{(2x+3)^2} \, dx \]
Ricaviamo le incognite \( A \) e \( B \). Dall’uguaglianza:
\[ \dfrac{x+4}{(2x+3)^2}=\dfrac{A}{2x+3}+\dfrac{B}{(2x+3)^2} \]
mettendo a denominatore comune i termini a secondo membro otteniamo:
\[ \dfrac{x+4}{(2x+3)^2}=\dfrac{A(2x+3)+B}{(2x+3)^2} \]
Poiché i denominatori sono uguali consideriamo soltanto l’uguaglianza tra i numeratori:
\[ x+4=A(2x+3)+B \]
Qui può essere conveniente utilizzare direttamente il principio di identità dei polinomi. Infatti dobbiamo ricavare solo due incognite. Effettuiamo allora i calcoli al secondo membro:
\[ x+4=2Ax+3A+B \]
Confrontando i coefficienti dei termini di pari grado otteniamo il sistema:
\[ \begin{cases}2A = 1 \\ \\ 3A+B = 4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}A = \dfrac{1}{2} \\ \\ B = \dfrac{5}{2} \end{cases} \]
Abbiamo così per l’integrale:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{x+4}{4x^2+12x+9} \, dx=\int \dfrac{\frac{1}{2}}{2x+3} \, dx + \int \dfrac{\frac{5}{2}}{(2x+3)^2} \, dx = \\ \\ & = \int \dfrac{1}{2(2x+3)} \, dx+\int \dfrac{5}{2(2x+3)^2} \, dx= \\ \\ & = \dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{2x+3}\, dx + \dfrac{5}{2}\int\dfrac{1}{(2x+3)^2} \, dx \end{align} \]
Per calcolare i singoli integrali basta utilizzare quanto sappiamo sugli integrali dei reciproci di polinomi. Abbiamo:
\[ \begin{align}&\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{2x+3}\, dx + \dfrac{5}{2}\int\dfrac{1}{(2x+3)^2} \, dx= \\ \\ & = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{2x+3}\cdot \dfrac{2}{2} \, dx + \dfrac{5}{2} \int (2x+3)^{-2} \cdot \dfrac{2}{2} \, dx= \\ \\ & = \dfrac{1}{4} \int \dfrac{1}{2x+3} \cdot 2 \, dx+ \dfrac{5}{4} \int (2x+3)^{-2} \cdot 2 \, dx = \\ \\ & = \dfrac{1}{4}\ln |2x+3|+\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{1}{-2+1} (2x+3)^{-2+1} +c = \\ \\ & = \dfrac{1}{4}\ln|2x+3|-\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{1}{2x+3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
E siamo arrivati. Come sempre per il calcolo degli integrali dei reciproci di polinomi abbiamo utilizzato la prima formula degli integrali per sostituzione. In particolare abbiamo fatto comparire di volta in volta le derivate degli argomenti delle funzioni composte grazie al vecchio trucco di moltiplicare e dividere per una stessa quantità. 😉
Esempio 2
\[ \int \dfrac{x^2-3}{x^3-x^2-x+1} \, dx \]
Applicando la regola di Ruffini si ha la scomposizione:
\[ x^3-x^2-x+1=(x+1)(x-1)^2 \]
Per cui possiamo scrivere per l’integrale di partenza:
\[ \int \dfrac{x^2-3}{x^3-x^2-x+1} \, dx=\int \dfrac{x^2-3}{(x+1)(x-1)^2} \, dx \]
Scriviamo l’espressione da integrare come somma di frazioni parziali:
\[ \dfrac{x^2-3}{(x+1)(x-1)^2} =\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^2} \]
Mettiamo i termini a secondo membro a denominatore comune:
\[ \dfrac{x^2-3}{(x+1)(x-1)^2} = \dfrac{A(x-1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x+1)}{(x+1)(x-1)^2} \]
Consideriamo come al solito la corrispondente uguaglianza con i soli numeratori:
\[ x^2-3=A(x-1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x+1) \]
Per come è strutturato il secondo membro è chiaro che possiamo isolare le incognite \( A \) e \( C \). Basta infatti sostituire alla \( x \) i valori che annullano i fattori rispettivamente \( x-1 \) e \( x+1 \). Tuttavia, non è possibile isolare \( B \). Infatti tale lettera si ritrova moltiplicata per entrambi i fattori \( x-1 \) e \( x+1 \). Dunque, per ricavare \( A \) e \( C \) sostituiremo alla \( x \) gli zeri dei fattori \( x-1 \) e \( x+1 \), mentre per ricavare \( B \) utilizzeremo il principio di identità dei polinomi, sostituendo alle incognite \( A \) e \( C \) i valori nel frattempo ottenuti.
Nonostante le apparenze, è più facile da fare che da dire. 😉 Inoltre, è comunque sempre possibile applicare il principio di identità dei polinomi, anche se ciò comporta in questo caso risolvere uno scomodo sistema di tre equazioni in tre incognite. Per cui procediamo come detto. Effettuiamo una prima sostituzione con \( x = 1 \):
\[ 1^2-3=C(1+1) \quad \Rightarrow \quad C = -1 \]
Sostituiamo a questo punto \( x=-1 \):
\[ (-1)^2-3=A(-1-1)^2 \quad \Rightarrow \quad A = -\dfrac{1}{2} \]
Ora riprendiamo l’uguaglianza di partenza tra i numeratori e sostituiamo i valori di \( C \) e \( A \):
\[ x^2-3=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+B(x+1)(x-1)+(-1)\cdot(x+1) \]
Svolgiamo i calcoli a secondo membro:
\[ \begin{align}&x^2-3=-\dfrac{1}{2}(x^2-2x+1)+B(x^2-1)-x-1 \\ \\ & x^2-3 = -\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{1}{2}+Bx^2-B-x-1 \\ \\ & x^2-3 = \left(-\dfrac{1}{2}+B \right)x^2-\dfrac{3}{2}-B \end{align} \]
Ricaviamo \( B \) da una delle due equazioni che si ottengono uguagliando i coefficienti di pari grado. Ad esempio:
\[ B-\dfrac{1}{2}=1 \quad \Rightarrow \quad B = \dfrac{3}{2} \]
Ora possiamo scrivere le frazioni parziali:
\[ \dfrac{x^2-3}{(x+1)(x-1)^2} =\dfrac{-\frac{1}{2}}{x+1}+\dfrac{\frac{3}{2}}{x-1}-\dfrac{1}{(x-1)^2} \]
ovvero:
\[ \dfrac{x^2-3}{(x+1)(x-1)^2} =-\dfrac{1}{2(x+1)}+\dfrac{3}{2(x-1)}-\dfrac{1}{(x-1)^2} \]
Così per l’integrale di partenza possiamo scrivere:
\[ \int \dfrac{x^2-3}{x^3-x^2-x+1} \, dx=-\int \dfrac{1}{2(x+1)} \, dx + \int \dfrac{3}{2(x-1)} \, dx – \int \dfrac{1}{(x-1)^2} \, dx \]
A questo punto ci restano soltanto da calcolare degli integrali di reciproci di polinomi:
\[ \begin{align}&-\int \dfrac{1}{2(x+1)} \, dx + \int \dfrac{3}{2(x-1)} \, dx – \int \overbrace{\dfrac{1}{(x-1)^2}}^{(x-1)^{-2}} \, dx= \\ \\ & =- \dfrac{1}{2} \ln |x+1| +\dfrac{3}{2}\ln |x-1| – \dfrac{1}{-2+1}(x-1)^{-2+1}+c = \\ \\ & =- \dfrac{1}{2} \ln |x+1| +\dfrac{3}{2}\ln |x-1| + \dfrac{1}{x-1}+c , \quad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
E abbiamo terminato.
Per quanto riguarda gli integrali di funzioni razionali ci manca soltanto un ultimo caso che vedremo molto rapidamente ora.
Integrale indefinito del rapporto tra un polinomio di primo grado e un polinomio di secondo grado non scomponibile
Concludiamo questa lezione sugli integrali di funzioni razionali con quest’ultimo esempio. Calcolare l’integrale:
\[ \int \dfrac{3x+1}{x^2+4x+5} \, dx \]
Osserviamo che il polinomio a denominatore non è scomponile ed inoltre il numeratore non è un numero ma un polinomio di primo grado. Per cui non è applicabile nessuna delle regole sin qui viste. Integrali di questo tipo si dicono integrali con delta negativo (nel caso di numeratore di primo grado).
L’idea è manipolare l’espressione all’interno dell’integrale di modo che compaia la derivata del denominatore. In tal modo sarà possibile applicare la prima formula di integrazione per sostituzione. La derivata del denominatore è:
\[ \dfrac{d}{dx}x^2+4x+5 = 2x+4 \]
ma al numeratore abbiamo il polinomio \( 3x+1 \).
Cominciamo moltiplicando e dividendo l’integranda per un’opportuna quantità in modo da avere per la \( x \) al numeratore un coefficiente \( 2 \):
\[ \begin{align*} & \int \dfrac{3x+1}{x^2+4x+5} \, dx=\int \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3x+1}{x^2+4x+5} \, dx=\\ \\ & = \dfrac{3}{2}\int \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3x+1}{x^2+4x+5} \, dx= \dfrac{3}{2}\int\dfrac{2x+\frac{2}{3}}{x^2+4x+5} \, dx \end{align*} \]
Il problema ora è dato dal termine noto, pari a \( \dfrac{2}{3} \). Desideriamo infatti un termine noto uguale a \( 4 \). Tuttavia, poiché \( 4-\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3} \), possiamo procedere aggiungendo e sottraendo al numeratore proprio la quantità \( \dfrac{10}{3} \), spezzando poi l’integrale come segue:
\[ \small \begin{align*}&=\dfrac{3}{2}\int\dfrac{2x+\frac{2}{3}+\frac{10}{3}-\frac{10}{3}}{x^2+4x+5} \, dx=\dfrac{3}{2}\int \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}\, dx -\dfrac{3}{2}\int\dfrac{\frac{10}{3}}{x^2+4x+5} \, dx = \\ \\ & =\dfrac{3}{2}\int \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}\, dx -\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{10}{3}\int\dfrac{1}{x^2+4x+5} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{3}{2}\int \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}\, dx -5\int\dfrac{1}{x^2+4x+5} \, dx \end{align*} \]
Ora ci ritroviamo con la somma di due integrali che sappiamo calcolare. Il primo si ottiene immediatamente con la prima formula di integrazione per sostituzione. Il secondo è l’integrale del reciproco di un polinomio di secondo grado non scomponibile, che abbiamo visto nella precedente lezione. Proseguendo i passaggi:
\[ \begin{align}&\dfrac{3}{2} \int \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5} \, dx -5 \int\dfrac{1}{x^2+4x+5} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{3}{2}\ln|x^2+4x+5|-5 \int \dfrac{1}{(x^2+4x+4)+5-4} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{3}{2}\ln|x^2+4x+5|-5 \int \dfrac{1}{(x+2)^2+1} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{3}{2}\ln|x^2+4x+5|- 5 \arctan \left(x+2) \right)+c, \quad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
Conclusioni
Abbiamo così visto tutte le tecniche per calcolare gli integrali di funzioni razionali. Per calcolare tali integrali abbiamo bisogno della divisione tra polinomi e/o delle tecniche per esprimere una frazione algebrica come somma di frazioni parziali.
Infine, per verificare i vostri esercizi sugli integrali delle funzioni razionali vi proponiamo alcuni tool. In particolare, il tool “risolvere gli integrali online“, il tool per la divisione tra polinomi e infine il tool per la ricerca delle frazioni parziali.
Per quanto riguarda gli integrali di funzioni razionali per questa lezione è tutto. Ricordiamo comunque che su Altramatica è anche disponibile una serie di lezioni interamente dedicate al calcolo degli integrali di funzioni razionali. Con tali lezioni potrete ulteriormente approfondire ogni singolo argomento qui presentato.
Infine, è anche disponile una scheda di esercizi interamente svolti sugli integrali di funzioni razionali (integrali fratti).
Nella prossima lezione ci occupiamo degli integrali di funzioni irrazionali (funzioni con radici). Buon proseguimento con Altramatica! 🙂