La presente lezione è dunque basata su quanto già sappiamo sul metodo di integrazione per sostituzione. Tuttavia, mostreremo gli accorgimenti da adottare nel particolare caso degli integrali di funzioni irrazionali. E ci sarà di aiuto nel risolvere gli esercizi anche quanto sappiamo sul calcolo degli integrali delle funzioni razionali (rapporti tra polinomi).
Vediamo allora subito come calcolare gli integrali di funzioni irrazionali.
Calcolo degli integrali di funzioni irrazionali
Ricordiamo anzitutto la formula di integrazione per sostituzione del secondo tipo:
\[ \int f(x) \, dx = \left\{\int \left[f(g(u))\cdot \dfrac{d}{du}(g(u)) \right] \, du \right\}_{u=g^{-1}(x)} \]
L’idea è riscrivere la funzione da integrare come una funzione composta, utilizzando per la composizione una funzione interna a nostra scelta ma tale da essere invertibile. Ciò consiste nell’effettuare prima di tutto la sostituzione \( x = g(u) \), moltiplicando inoltre l’espressione da integrare per la derivata della funzione interna rispetto ad \( u \), ovvero\( \dfrac{d}{du}g(u) \).
Si procede quindi calcolando l’integrale rispetto ad \( u \). Solo dopo aver calcolato l’integrale si effettua la sostituzione \( u=g^{-1}(x) \), esprimendo così il risultato finale in funzione della variabile \( x \). La funzione \( g(u) \) deve essere invertibile proprio per poter effettuare quest’ultima sostituzione. 😉
Nel particolare caso delle funzioni irrazionali, cercheremo di effettuare sostituzioni tali da far scomparire le radici. In tal modo ricondurremo il calcolo dell’integrale irrazionale a quello di funzioni che sappiamo integrare.
Vediamo subito alcuni esempi. 😉
Esempio 1
Calcolare l’integrale indefinito della funzione:
\[ \int \dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \, dx \]
Poniamo la sostituzione \( x=g(u)=u^2 \). In tal modo non avremo più radici nell’espressione della funzione da integrare nella variabile \( u \). Inoltre per la sostituzione posta, grazie all’invertibilità di \( g(u) =u^2 \) abbiamo che se \( x = u^2 \) allora \( u=\sqrt{x} \). Quest’ultima è la sostituzione che dovremo eseguire alla fine. Abbiamo:
\[ \int \dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \, dx = \int \dfrac{1-\sqrt{u^2}}{1+\sqrt{u^2}} \cdot \dfrac{d}{du}u^2 \, du = \]
Osserviamo che \( \sqrt{u^2}=u \) e non \( |u| \). Infatti poiché \( u=\sqrt{x} \) siamo certi che \( u \) è una quantità positiva e non dobbiamo utilizzare il modulo. Proseguendo i passaggi:
\[ =\int \dfrac{1-u}{1+u} \cdot 2u \, du=2\int \dfrac{u-u^2}{1+u} \, du = -2\int \dfrac{u^2-u}{1+u} \, du \]
Poiché il grado del polinomio a numeratore della funzione integranda è maggiore del grado del polinomio a denominatore, eseguiamo la divisione tra polinomi:
\[ (u^2-u):(1+u) \quad \Rightarrow \quad Q(u)=u-2, \quad R(u)=2 \]
Così possiamo scrivere:
\[ \begin{align}&-2\int \dfrac{u^2-u}{1+u} \, du=-2 \int \left[u-2 + \dfrac{2}{1+u} \right] \, du = \\ \\ & = -2 \left[\int u \, du – \int 2 \, du + 2\int\dfrac{1}{1+u} \, du \right] = \\ \\ & = -2\left(\dfrac{u^2}{2}-2u+2 \ln |1+u|+c\right) = \\ \\ & = -u^2+4u-4\ln |1+u|+c = \end{align} \]
Concludiamo ponendo la sostituzione \( u=\sqrt{x} \):
\[ \begin{align}&= -(\sqrt{x})^2+4 \sqrt{x}-4\ln |1+\sqrt{x}|+c = \\ \\ & = -x+4\sqrt{x}-4\ln(1+\sqrt{x})+c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
Esempio 2
Calcolare:
\[ \int x \sqrt[3]{8+x} \, dx \]
Poniamo \( 8+x=g(u)=u^3 \) in modo da liberarci della radice. Osserviamo che si ha \( x=u^3-8 \). Questo ci è utile poiché nell’espressione dell’integranda abbiamo anche un fattore \( x \).
Poiché \( 8+x = u^3 \) allora si ha \( u = g^{-1}(x)=\sqrt[3]{8+x} \). Alla fine dovremo allora porre la sostituzione \( u = \sqrt[3]{8+x} \) in modo da poter esprimere il risultato finale nella variabile \( x \).
Cominciamo:
\[ \begin{align}&\int x \sqrt[3]{8+x} \, dx = \int (u^3-8) \sqrt[3]{u^3} \dfrac{d}{du} u^3 \, du = \\ \\ & = \int (u^3-8)\cdot u \cdot 3u^2 \, du= \int (u^3-8)3u^3\, du = \\ \\ & = \int 3u^6-24u^3 \, du = \dfrac{3}{7}u^7-6u^4+c= \end{align} \]
Ponendo infine la sostituzione \( u=\sqrt[3]{8+x} \) si ha, proseguendo i passaggi:
\[ \begin{align}&=\dfrac{3}{7} \left(\sqrt[3]{x+8} \right)^7-6 \left(\sqrt[3]{x+8} \right)^4 +c = \\ \\ & = \dfrac{3}{7}\left[(x+8)^{\frac{1}{3}} \right]^7-6 \left[(x+8)^{\frac{1}{3}} \right]^4+c= \\ \\ & = \dfrac{3}{7}(x+8)^{\frac{7}{3}}-6(x+8)^{\frac{4}{3}}+c= \\ \\ & = (x+8)^{\frac{4}{3}}\left[\dfrac{3}{7}(x+8)^{\frac{3}{3}}-6 \right] +c = \\ \\ & = \sqrt[3]{(x+8)^4}\left[\dfrac{3}{7}(x+8)-6 \right] +c, \quad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
Esempio 3
Calcolare:
\[ \int \sqrt{1-x^2} \, dx \]
Il problema è individuare una sostituzione \( x=g(u) \) che consenta di non avere più la radice nell’integrale espresso nella variabile \( u \). Ciò non appare affatto agevole con le funzioni algebriche (a meno di ricorrere alle sostituzioni di Eulero). Infatti, poiché un quadrato è una quantità positiva non riusciremmo mai a liberarci del termine \( 1 \) sotto radice. Di conseguenza non appare possibile ridursi ad un solo termine \( u^2 \) sotto radice.
L’idea è allora quella di utilizzare per la sostituzione una funzione trigonometrica. La chiave sta nel ricordare la relazione fondamentale della trigonometria:
\[ \sin^2 x + \cos ^2 x = 1 \]
Nel nostro caso abbiamo all’interno della radice il termine \( 1-x^2 \). E’ evidente che ponendo \( x= g(u)= \sin u \) ci ritroviamo dentro la radice con \( 1- \sin^2 u = \cos ^2 u \). Ciò discende proprio dalla relazione fondamentale della trigonometria, rileggendo la corrispondente uguaglianza nei termini della variabile \( u \) e risolvendo la stessa per \( \cos^2 u \).
Osserviamo che \( g(u) \) è invertibile per \( u \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] \) e si ha:
\[ u=g^{-1}(x) = \arcsin x \]
Questa è la sostituzione da effettuare alla fine, proprio dopo aver integrato rispetto alla variabile \( u \).
Tenendo conto della seconda formula di integrazione per sostituzione abbiamo quindi:
\[ \begin{align} &\int \sqrt{1-x^2} \, dx=\int \sqrt{1-\sin^2 u }\cdot \dfrac{d}{du} \sin u \, du= \\ \\ & = \int \sqrt{\cos^2 u} \cdot \cos u \, du=\int |\cos u| \cos u \, du = \end{align}= \]
Osserviamo che la funzione \( \cos u \) è positiva nell’intervallo \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \: \dfrac{\pi}{2} \right] \) prescelto per cui possiamo eliminare il valore assoluto. Abbiamo, proseguendo i passaggi:
\[ =\int \cos^2 u \, du= \]
Possiamo procedere effettuando un’integrazione per parti:
\[ \begin{align}=&\int \cos u \cos u \, du =\cos u \sin u – \int (-\sin u) \sin u \, du= \\ \\ & = \cos u \sin u+\int \sin^2 u \, du =\end{align} \]
Apparentemente non abbiamo scritto nulla di utile, poiché ci ritroviamo a dover calcolare l’integrale di \( \sin^2 u \). Tuttavia basta osservare che per la relazione fondamentale della trigonometria \( \sin^2 u = 1 – \cos ^2 u \). Di conseguenza proseguendo i passaggi:
\[ \begin{align}&=\cos u \sin u+\int (1-\cos^2 u) \,du =\\ \\ &= \cos u \sin u + \int 1 \, du + \int -\cos^2 u \, du = \\ \\ & = \cos u \sin u + u – \int \cos^2 u \, du \end{align} \]
Ricordando che stiamo calcolando \( \displaystyle \int \cos^2 u \, du \) per quanto appena scritto abbiamo:
\[ \int \cos^2 u \, du =\cos u \sin u + u – \int \cos^2 u \, du \]
Isoliamo \( \displaystyle \int \cos^2 u \) come se tale espressione fosse un’incognita. Si ha:
\[ 2\int \cos^2 u \, du =\cos u \sin u + u \]
e quindi:
\[ \int \cos^2 u \, du = \dfrac{\cos u \sin u + u}{2}+c = \]
Ora non ci resta che porre la sostituzione finale \( u= \arcsin x \):
\[ = \dfrac{\cos (\arcsin x) \sin (\arcsin(x)) + \arcsin(x)}{2}+c =\]
Ricordando che per le identità dell’arcoseno \( \cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^2} \) e \( \sin(\arcsin (x)) = x \) (quest’ultima è una proprietà delle funzioni inverse):
\[ =\dfrac{\sqrt{1-x^2} \cdot x + \arcsin(x)}{2}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Siamo così arrivati al risultato finale dell’integrale \( \displaystyle \int \sqrt{1-x^2} \, dx \). 😉
Importante: se non ci torna comodo ricordare le identità dell’arcoseno, basta osservare che per esprimere il risultato finale in funzione della \( x \) possiamo cercare di esprimere direttamente i termini \( \sin u \) e \( \cos u \) in funzione di \( x \). Intanto, poiché abbiamo posto la sostituzione \( x= \sin u \) si ha che \( \sin u = x \). Ora, per la relazione fondamentale della trigonometria si ha \( \cos^2u = 1 – \sin^2 u \), da cui \( \cos u = \sqrt{1-\sin^2 u}=\sqrt{1-x^2} \). Con questo ragionamento riusciamo comunque ad esprimere il risultato finale in funzione della variabile \( x \) senza dover ricordare a memoria nessuna identità. 😉
Esempio 4
Calcolare:
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-x^2}} \, dx \]
L’obiettivo è come al solito eseguire una sostituzione che consenta di eliminare la radice. In questo caso dentro la radice abbiamo il termine noto \( 9 \). Tuttavia, basta osservare che \( 3^2=9 \). Di conseguenza, per sbarazzarci della radice basterà porre la sostituzione:
\[ x=g(u)=3 \sin u \]
La funzione è invertibile nell’intervallo \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \: \dfrac{\pi}{2} \right] \) e si ha \( u=\arcsin \left(\dfrac{x}{3} \right) \): questa è la sostituzione da porre alla fine.
Intanto ponendo \( x = 3 \sin u \) otteniamo:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-x^2}} \, dx=\int \dfrac{9 \sin^2 u}{\sqrt{9-(3 \sin u)^2} } \cdot \dfrac{d}{du} 3 \sin u \, du= \\ \\ & =\int \dfrac{9 \sin^2 u }{\sqrt{9-9 \sin^2 u}} 3 \cos u \, du = \int \dfrac{9 \sin^2 u}{\sqrt{9 (1-\sin^2u) }}3 \cos u \, du= \\ \\ & = \int \dfrac{9 \sin^2u}{\sqrt{9\cos^2u}}3 \cos u \, du= \int \dfrac{9\sin^2 u}{3\cos u} \cdot 3 \cos u \, du = \\ \\ & = 9 \int \sin^2u \, du=\end{align} \]
A questo punto si procede integrando per parti in modo del tutto simile al caso dell’esempio precedente relativo a \( \cos^2 u \):
\[ =9 \cdot \dfrac{1}{2}(u-\sin u \cos u)+c=\dfrac{9}{2}(u-\sin u \cos u)+c= \]
Ponendo la sostituzione finale \( u=\arcsin \left(\dfrac{x}{3} \right) \) si ha in conclusione:
\[ \begin{align}&=\dfrac{9}{2}\left[\arcsin \left(\dfrac{x}{3} \right)-\dfrac{x}{3} \cos \arcsin \left(\dfrac{x}{3} \right)\right]+c= \\ \\ & = \dfrac{9}{2}\left[\arcsin \left(\dfrac{x}{3} \right)-\dfrac{x}{3}\sqrt{1-\dfrac{x^2}{9}} \right]+c = \\ \\ & = \dfrac{9}{2}\left[\arcsin \left(\dfrac{x}{3} \right)-\dfrac{x}{3}\cdot \sqrt{\dfrac{9-x^2}{9}} \right]+c = \\ \\& = \dfrac{9}{2} \left[\arcsin \left(\dfrac{x}{3} \right)-\dfrac{x}{9}\sqrt{9-x^2} \right]+c = \\ \\ &=\dfrac{9}{2}\arcsin \left(\dfrac{x}{3}\right)- \dfrac{x}{2}\sqrt{9-x^2} +c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
NOTA: anche in questo caso, se vogliamo evitare di valutare l’espressione \( \cos \arcsin \left(\dfrac{x}{3} \right) \) possiamo cercare di esprimere direttamente il termine \( \cos u \) in funzione di \( x \), in modo del tutto simile a quanto visto nell’esempio precedente. Tenendo conto che abbiamo posto la sostituzione \( x=3 \sin u \) e che quindi \( \sin u = \dfrac{x}{3} \) possiamo scrivere:
\[ \cos u = \sqrt{1-\sin^2u} =\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{3} \right)^2}=\sqrt{1-\dfrac{x^2}{9}} \]
A questo punto basta sostituire a \( \cos u \) l’espressione corrispondente nella variabile \( x \), senza dover ricordare a memoria alcuna identità. 😉
Per quanto riguarda gli integrali di funzioni irrazionali per questa lezione è tutto. Nella prossima lezione ci occupiamo del calcolo dell’integrale di una funzione razionale sotto radice. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂