Ci proponiamo pertanto in questa lezione l’obiettivo di capire come calcolare l’integrale (indefinito) di una funzione razionale sotto radice, ovvero in forma generale:
\[ \int \sqrt{\dfrac{p(x)}{q(x)}} \, dx \]
ove \( p(x) \) e \( q(x) \) sono dei polinomi di primo grado.
Per risolvere gli esercizi utilizzeremo le seguenti identità dell’arcotangente:
\[ \begin{align}\sin \left(\arctan (x) \right) &= \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \\ \cos \left(\arctan(x) \right) &= \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\end{align} \]
Ricordarsi tali identità semplifica molto il procedimento risolutivo degli esercizi. 😉
Cominciamo allora subito a metterci al lavoro presentando un esempio di calcolo di un integrale di una funzione razionale sotto radice.
IMPORTANTE: la presente lezione è destinata agli studenti universitari.
Esempio di calcolo di un integrale indefinito di una funzione razionale sotto radice
Calcolare:
\[ \int \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \, dx \]
Il metodo per risolvere l’esercizio è leggermente diverso rispetto a quello adottato per gli integrali irrazionali visti nella precedente lezione.
Qui conviene ragionare a partire dalla sostituzione da porre alla fine. Dovremo determinare quale sostituzione eseguire in modo da far scomparire la radice. Poniamo:
\[ u = \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \]
e quindi:
\[ u^2 =\dfrac{1+x}{1-x} \]
Ora dobbiamo ricavare la \( x \) in modo da individuare la funzione \( g(u) \) e poter scrivere il fattore \( \dfrac{d}{du}g(u) \) nell’espressione da integrare nella variabile \( u \):
\[ \begin{align} u^2(1-x)= 1+x \quad &\Rightarrow \quad u^2-u^2x-1-x=0 \quad \text{con} \quad x \neq 1 \\ \\ &\Rightarrow \quad (-u^2-1)x=1-u^2 \\ \\ & \Rightarrow \quad x=\dfrac{1-u^2}{-u^2-1} = \dfrac{u^2-1}{u^2+1}\end{align} \]
Così abbiamo:
\[ x= g(u)=\dfrac{u^2-1}{u^2+1} \]
Osserviamo che nell’integranda di partenza non è necessario sostituire alla \( x \) l’espressione di \( g(u) \): sarebbe tutto lavoro in più. E’ sufficiente infatti tener conto della sostituzione \( u = \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \).
Per tutto quanto detto possiamo scrivere:
\[ \int \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \, dx=\int u \cdot \dfrac{d}{du} \left( \dfrac{u^2-1}{u^2+1}\right) \, du= \]
Proseguendo i passaggi:
\[ \begin{align}&\int u \cdot \dfrac{d}{du} \left( \dfrac{u^2-1}{u^2+1}\right) \, du=\int u \cdot \dfrac{2u(u^2+1)-(u^2-1)2u}{(u^2+1)^2} \, du = \\ \\ & = \int u \cdot \dfrac{2u(u^2+1-u^2+1)}{(u^2+1)^2}\, du = \int u \cdot \dfrac{4u}{(u^2+1)^2} \, du = \\ \\ & = \int \dfrac{4u^2}{(u^2+1)^2} \, du=\int \left[\dfrac{Au+B}{u^2+1}+\dfrac{Cu+D}{(u^2+1)^2} \right] \, du \quad (*) \end{align} \]
Scriviamo esplicitamente le frazioni parziali. Cominciamo mettendo a denominatore comune i termini dell’espressione da integrare:
\[ \dfrac{Au+B}{u^2+1}+\dfrac{Cu+D}{(u^2+1)^2} =\dfrac{(Au+B)(u^2+1)+Cu+D}{(u^2+1)^2}= \]
Svolgiamo il prodotto al numeratore:
\[ =\dfrac{Au^3+Au+Bu^2+B+Cu+D}{(u^2+1)^2}= \]
Sommiamo i termini simili:
\[ =\dfrac{Au^3+Bu^2+(A+C)u+B+D}{(u^2+1)^2} \]
Ora uguagliamo la frazione ottenuta con quella di partenza nella variabile \( u \):
\[ \dfrac{4u^2}{(u^2+1)^2}=\dfrac{Au^3+Bu^2+(A+C)u+B+D}{(u^2+1)^2} \]
Applicando il principio di identità dei polinomi otteniamo:
\[ \begin{cases}A = 0 \\ \\ B = 4 \\ \\ A+C= 0 \\ \\ B+D = 0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} A= 0 \\ \\ B = 4 \\ \\ C=-A=0 \\ \\ D=-B=-4\end{cases} \]
Per cui riprendendo la (*) per l’integrale si ha:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{4u^2}{(u^2+1)^2} \, du=\int \left[\dfrac{4}{u^2+1} -\dfrac{4}{(u^2+1)^2} \right] \, du = \\ \\ &= 4 \int \dfrac{1}{u^2+1}-4 \int \dfrac{1}{(u^2+1)^2} \, du = \\ \\ & = 4 \arctan u-4 \int \dfrac{1}{(u^2+1)^2 }\, du \end{align} \]
Il problema è ora risolvere l’integrale:
\[ \int \dfrac{1}{(u^2+1)^2 \, du} \]
Poniamo la sostituzione:
\[ u= \tan k \quad \Rightarrow \quad k = \arctan u \]
Proseguendo i passaggi, tenendo conto delle seguenti identità:
- per la tangente: \( \tan^2 x + 1 = \dfrac{1}{\cos^2 x} \);
- per la secante: \( \dfrac{1}{\cos^2 x}= \sec^2 x \);
- identità dell’arcotangente:
\( \begin{align}\sin \left(\arctan (x) \right) &= \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \\ \cos \left(\arctan(x)) \right) &= \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\end{align} \)
e inoltre tenendo conto dell’integrale della funzione coseno al quadrato:
\[ \int \cos^2 x \, dx = \dfrac{1}{2}\left(\sin x \cdot \cos x + x \right)+c \]
si ha:
\[ \begin{align}& \int \dfrac{1}{(u^2+1)^2} \, du=\int \dfrac{1}{\left(\tan^2 k+1 \right)^2} \cdot \dfrac{d}{dk} \tan k \, dk= \\ \\ & = \int \dfrac{\sec^2 k}{\sec^4k} \, dk = \int \dfrac{1}{\sec^2 k } \, dk = \int \cos^2k \, dk = \\ \\ & = \dfrac{1}{2}\left(\sin k \cos k + k \right)+c \stackrel{k=\arctan u}{=} \\ \\ & = \dfrac{1}{2} \left[\sin \left(\arctan u \right) \cdot \cos \left(\arctan u \right)+\arctan u \right]+c = \\ \\ & = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u}{\sqrt{u^2+1}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{u^2+1}}+\arctan u \right)+c = \\ \\ & = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u}{u^2+1} + \arctan u \right)+c \end{align} \]
Per cui tornando indietro di qualche passaggio possiamo ora scrivere:
\[ \begin{align}&4 \arctan u-4 \int \dfrac{1}{(u^2+1)^2 }\, du = \\ \\ & = 4\arctan u -4 \left[ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u}{u^2+1} + \arctan u \right) \right]+c = \\ \\ &= 4\arctan u -\dfrac{2u}{u^2+1}-2 \arctan u +c = \\ \\ & = 2 \arctan u -\dfrac{2u}{u^2+1 }+c = \\ \\ & = 2 \arctan \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}-\dfrac{2\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}}{\dfrac{1+x}{1-x}+1}+c = \\ \\ & = 2 \arctan \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}- (1-x) \cdot \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}+c, \quad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
Osserviamo che abbiamo utilizzato la sostituzione \( u= \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \) per poter esprimere il risultato finale in funzione della variabile \( x \).
Per quanto riguarda questa lezione sull’integrale indefinito di una funzione razionale sotto radice è tutto. Nella prossima lezione ci occupiamo del concetto di differenziale applicato all’integrazione per sostituzione. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂