Nella presente lezione forniremo unicamente una definizione intuitiva del concetto di differenziale di una funzione, concentrandoci più che altro nella relazione tra differenziale e integrazione per sostituzione. Inoltre, qui tralasceremo per semplicità il significato geometrico del differenziale poiché di scarsa utilità per gli integrali.
Vediamo allora subito cosa si intende per differenziale di una funzione di una variabile e quale è il legame tra differenziale e integrazione per sostituzione.
Definizione intuitiva del differenziale di una funzione di una variabile
Sia data una funzione \( f(x) \) continua in un intervallo chiuso \( [a,\: b] \) e derivabile nell’intervallo aperto \( ]a,\:b[ \). Preso un certo \( x_0 \in ]a, \: b[ \) e considerato un generico elemento \( x \in ]a, \: b[ \), si definisce differenziale della funzione \( f(x) \) la quantità:
\[ dy=f'(x_0) \cdot \Delta x \]
ove \( \Delta x \) è la differenza \( x-x_0 \).
Osserviamo che la differenza \( x-x_0 \) dipende dalla variabile \( x \). Possiamo dunque affermare che il differenziale di una funzione in una variabile è una funzione lineare nella variabile \( x \).
Differenziale nel caso di differenza infinitesima (differenziale e integrazione per sostituzione)
Poiché nella differenza \( \Delta x = x-x_0 \) la quantità \( x \) è arbitraria (con il solo vincolo di appartenere all’intervallo \( ]a,\:b[ \)), ha sicuramente senso prendere \( x \) infinitamente prossimo ad \( x_0 \).
In tal caso la differenza \( x-x_0 \) tende a zero e la quantità \( \Delta x \) può essere vista come un incremento infinitesimo \( dx \) della variabile indipendente \( x \). Così, per \( \Delta x \rightarrow 0 \) si ha:
\[ dy = f'(x_0) \cdot dx \]
Poiché nel calcolo integrale consideriamo effettivamente un incremento infinitamente piccolo (o infinitesimo) \( dx \) della variabile di integrazione \( x \), per le nostre finalità indichiamo come differenziale della funzione \( f(x) \) la quantità:
\[ f'(x) \cdot dx \]
Osserviamo che ora non consideriamo più la derivata di \( f(x) \) valutata nel punto \( x_0 \) ma piuttosto la derivata della funzione nel generico punto \( x \).
Differenziale e integrazione per sostituzione: esempi
Consideriamo il seguente integrale, da calcolare con la seconda formula di integrazione per sostituzione:
\[ \int \dfrac{1+e^x}{e^x} \, dx \]
In questo momento ci ritroviamo con il differenziale \( dx \), ovvero il differenziale della funzione identità \( y=x \). Si ha infatti:
\[ dy=f'(x) \cdot dx= \dfrac{d}{dx}x \cdot dx=1 \cdot dx = dx \]
Così il simbolo \( dx \), che indica la variabile di integrazione, può essere visto come un differenziale. E il termine \( \dfrac{d}{dx}x \) rappresenta la derivata della funzione identità \( f(x)=x \), ove \( x \) corrisponde alla variabile di integrazione.
Come sappiamo per calcolare l’integrale dobbiamo eseguire un cambio di variabile passando alla variabile \( u \) ponendo \( x=g(u)=\ln u \). Ma allora il differenziale \( dx \) dovrà essere riscritto utilizzando la variabile \( u \). E poiché sostituiamo alla funzione identità \( x \) la funzione \( \ln u \), dovremo sostituire al differenziale \( dx \) che corrisponde proprio alla funzione identità \( x \) il differenziale della funzione \( g(u)=\ln u \), ovvero per la definizione di differenziale:
\[ g'(u) \cdot du = \dfrac{d}{du} \ln u \cdot du = \dfrac{1}{u}\, du \]
Così effettuando la sostituzione abbiamo per l’integrale:
\[ \int \dfrac{1+e^x}{e^x} \, dx \stackrel {x= \ln u}{=} \int \dfrac{1+u}{u} \cdot \dfrac{d}{du} \ln u \, du=\int \dfrac{1+u}{u} \cdot \underbrace{\dfrac{1}{u} \, du}_{\text{differenziale}} \]
In conclusione, per effettuare il cambio di variabile dobbiamo riesprimere il differenziale \( dx \) come \( g'(u) \cdot du \).
Questo modo di ragionare rappresenta una differente chiave di lettura rispetto a quanto visto nello studio della seconda formula di integrazione per sostituzione. Ma il risultato al quale si perviene è lo stesso.
Vediamo alcuni esempi per fissare le idee sull’utilizzo della definizione di differenziale di una funzione per il calcolo degli integrali indefiniti per sostituzione.
Esempio 1
Calcolare:
\[ \int \dfrac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx \]
Poniamo \( \sqrt{x} = u \), da cui \( x=u^2 \). Potremo così riesprimere la funzione da integrare nella variabile \( u \) sostituendo ad \( x \) l’espressione \( u^2 \). Inoltre, il differenziale \( dx \) riscritto nella variabile \( u \) è pari a \( dx=\dfrac{d}{du}u^2 \cdot du=2u \, du \). Così dovremo sostituire a \( dx \) la corrispondente espressione nella variabile \( u \). Si ha quindi:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx=\int \dfrac{\cos \sqrt{u^2}}{\sqrt{u^2}} \cdot 2u \, du = \int \dfrac{\cos u}{u} \cdot 2u \, du= \\ \\ & = 2 \int \cos u \, du = 2 \sin u + c = \end{align} \]
Osserviamo che in questo caso si ha \( \sqrt{u^2}=u \) e non \( |u| \). Infatti, poiché per la sostituzione posta \( u = \sqrt{x} \) siamo certi che \( u \) è una quantità positiva. Di conseguenza il modulo è superfluo.
Ponendo a questo punto la sostituzione \( u= \sqrt{x} \) si ha in conclusione:
\[ = 2 \sin \sqrt{x}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Esempio 2
Calcolare:
\[ \int x \sin x^2 \, dx \]
Poniamo \( x^2 =u\), da cui \( x = \sqrt{u} \). Il differenziale nella variabile \( u \) sarà così:
\[ dx = \dfrac{d}{du}\sqrt{u} \cdot du = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \, du \]
Così per l’integrale da calcolare abbiamo:
\[ \int x \sin x^2 \, dx = \int \sqrt{u} \sin u \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \, du= \dfrac{1}{2} \int \sin u \, du = -\dfrac{1}{2} \cos u+c= \]
Infine ponendo la sostituzione \( u = x^2 \) otteniamo proseguendo i passaggi:
\[ = -\dfrac{1}{2} \cos x^2 +c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Esempio 3
\[ \int \ln^2 x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \]
Osserviamo che \( \dfrac{1}{x} \, dx \) è il differenziale della funzione \( \ln x \). Così, possiamo prendere \( \ln x \) come variabile di integrazione poiché abbiamo il corrispondente differenziale (derivata di \( \ln x \) moltiplicata per \( dx \)).
E’ allora sufficiente porre \( \ln x = u \) e \( \dfrac{1}{x} \, dx = du \) (per la sostituzione posta \( du \) è proprio il differenziale di \( \ln x \)). Si ha:
\[ \int \ln^2 x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \stackrel{\ln x = u}{=} \int u^2 \, du=\dfrac{u^3}{3}+c= \]
Infine grazie alla sostituzione inversa \( u = \ln x \) otteniamo proseguendo i passaggi:
\[ =\dfrac{\ln^3 x}{3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
L’approccio utilizzato corrisponde ad applicare la prima formula di integrazione per sostituzione.
L’ultimo esempio mostra come sia importante controllare se è già presente nell’espressione da integrare il differenziale della funzione che utilizziamo per la sostituzione. Accorgendoci di questo i calcoli risultano semplificati. Se non ci fossimo accorti, avremmo calcolato l’integrale come segue:
\[ \int \ln^2 x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx=\int u^2 \cdot \dfrac{1}{e^u} \cdot e^u \, du = \int u^2 \, du= \dots \]
In pratica abbiamo avuto bisogno dell’ulteriore sostituzione \( x=e^u \) (che si ottiene ricavando la \( x \) a partire dall’uguaglianza corrispondente allo sostituzione \( u = \ln x \)). Ma il fatto che i termini \( e^u \) si semplifichino poi tra loro ci fa capire che non abbiamo adottato la strada più breve. Ed infatti, abbiamo qui ignorato la presenza del differenziale della funzione \( \ln x \) nell’espressione da integrare. Il procedimento è comunque corretto, ma inutilmente più laborioso. 😉
Per quanto riguarda il legame tra differenziale e integrazione per sostituzione è tutto. Nella prossima lezione faremo una sintesi delle regole di integrazione per sostituzione e del concetto di differenziale presentando una tabella relativa agli integrali immediati generalizzati.
Nella lezione ancora successiva vedremo alcuni integrali con radici calcolati per sostituzione. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂