In questa lezione presentiamo una tabella degli integrali immediati generalizzati (integrali indefiniti in senso generalizzato). Si tratta cioè di integrali che discendono direttamente dagli integrali immediati (o fondamentali) utilizzando la prima formula di integrazione per sostituzione. E nell’applicare il metodo di integrazione per sostituzione faremo uso della definizione di differenziale.
Nella tabella riporteremo sia gli integrali fondamentali, sia la corrispondente forma generalizzata. In tal modo sarà possibile confrontare gli integrali immediati generalizzati con gli integrali fondamentali dai quali discendono.
A seguire la tabella potrete trovare una spiegazione che illustra l’applicazione della prima formula di integrazione per sostituzione per la costruzione della tabella stessa.
Inoltre, nel corso della lezione mostreremo come ricondurre degli integrali apparentemente di differente forma al caso degli integrali immediati generalizzati utilizzando delle semplici manipolazioni algebriche. In tal caso sarà fondamentale sfruttare la proprietà di omogeneità degli integrali, che consente di portare fuori dal simbolo di integrale dei fattori costanti.
Vediamo allora subito la tabella e le relative regole riguardanti gli integrali fondamentali generalizzati (o integrali immediati in forma generalizzata).
Tabella degli integrali fondamentali generalizzati
Riportiamo a seguire una tabella dei principali integrali fondamentali generalizzati, accompagnati dai corrispondenti integrali fondamentali.
Nella tabella si intende in ogni caso \( c \in \mathbb{R} \).
Precisiamo che questa tabella degli integrali fondamentali generalizzati non deve essere imparata a memoria. Essa costituisce soltanto un riferimento, ma possiamo ricavare ciascuna regola di integrazione a partire dalla prima formula di integrazione per sostituzione, ragionando con il concetto di differenziale. Infatti, ciascun integrale generalizzato riportato in tabella è della forma:
\[ \int \overbrace{g(f(x))}^{\scriptsize \text{funzione di }f(x)} \cdot \underbrace{f'(x) \, dx}_{\scriptsize \text{differenziale di }f(x)} \]
Così ci ritroviamo a dover calcolare l’integrale indefinito di \( g(f(x)) \) nella variabile di integrazione \( f(x) \). Più propriamente, effettuando la sostituzione \( f(x) = u \) ci ritroviamo a calcolare l’integrale fondamentale:
\[ \int g(u) \, du \]
Così, una volta calcolato l’integrale nella variabile \( u \), basterà effettuare la sostituzione inversa \( u=f(x) \) in modo da poter esprimere il risultato finale nella variabile di partenza \( x \).
Esempi sul calcolo degli integrali fondamentali generalizzati (o in forma generalizzata)
Vediamo ora alcuni esempi su come utilizzare la tabella, anche ragionando con la prima formula di integrazione per sostituzione e con il concetto di differenziale. Ci saranno anche utili le regole di integrazione di base.
Esempio 1
Calcolare:
\[ \int \sin x \cos x \, dx \]
Riconosciamo in \( \cos x \) la derivata di \( \sin x \) per cui l’integrale è della forma:
\[ \int f(x)^n \cdot f'(x) \, dx \]
con \( n=1 \).
Utilizzando quanto riportato nella tabella si ha quindi:
\[ \int \overbrace{\sin x}^{f(x)} \cdot \underbrace{\cos x}_{f'(x)} \, dx=\dfrac{\sin^2 x}{2} + c \]
Volendo riconsiderare l’esercizio in modo più ragionato, ripartendo dall’integrale:
\[ \int \sin x \cos x \, dx \]
osserviamo che abbiamo il differenziale \( \cos x \, dx \), ovvero il differenziale della funzione \( \sin x \). Così applicando la prima formula di integrazione per sostituzione si ha:
\[ \int \sin x \cos x \, dx \stackrel{\scriptsize \sin x = u}{=}\int u \, du = \dfrac{u^2}{2}+c \: \stackrel{\scriptsize u= \sin x }{=} \:\dfrac{\sin^2 x}{2} +c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Ragionando in modo rapido: se l’integrale indefinito di \( x \) calcolato rispetto alla variabile \( x \) è pari a \( \dfrac{x^2}{2}+c \), allora l’integrale indefinito di \( \sin x \) calcolato rispetto alla variabile \( \sin x \) è pari a \( \dfrac{\sin^2 x}{2}+c \). Questo perché nella funzione da integrare è presente il differenziale \( \cos x \, dx \), ovvero il differenziale della funzione \( \sin x \) che corrisponde alla nuova variabile di integrazione.
Se questo modo più rapido di ragionare vi crea problemi non preoccupatevi: potete sempre effettuare il cambio di variabile esplicito ponendo \( f(x)=u \) e calcolare il corrispondente integrale immediato nella variabile \( u \), come già mostrato. Poi, ovviamente, bisognerà sempre porre la sostituzione {u=f(x)}, in modo da poter esprimere il risultato finale nella variabile {x}. E’ fondamentale non dimenticarsi mai di quest’ultimo passaggio. 😉
Esempio 2
Calcolare:
\[ \int \sin x \cos ^ 4 x \, dx \]
Proviamo a ragionare fin da subito con il concetto di differenziale. Intanto riscriviamo l’integrale utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione:
\[ \int \cos ^ 4 x \sin x \, dx \]
Abbiamo così evidenziato il differenziale \( \sin x \, dx \), che è il differenziale della funzione \( – \cos x \). Ma nell’integranda abbiamo la funzione \( \cos^4 x \), che è una funzione di \( \cos x \) e non \( -\cos x \). Tuttavia, basta osservare che poiché l’esponente è pari si ha \( \cos^4 x = (-\cos x)^4 \). Di conseguenza l’integrale diviene:
\[ \int (-\cos x)^ 4 \cdot \sin x \, dx \]
Ora abbiamo all’interno dell’integrale una funzione nella variabile \( -\cos x \) moltiplicata per il differenziale corrispondente \( \sin x \, dx \). Possiamo allora utilizzare l’integrale fondamentale della funzione potenza e scrivere in conclusione:
\[ \int (-\cos x)^ 4 \cdot \sin x \, dx= \dfrac{(-\cos x)^5 }{5}+c=-\dfrac{\cos^5 x}{5}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Se vogliamo evitare di utilizzare il concetto di differenziale, basta osservare che l’integrale così riscritto:
\[ \int (-\cos x)^ 4 \cdot \sin x \, dx \]
è della forma:
\[ \int g(f(x)) \cdot f'(x) \, dx \]
con \( f(x)= – \cos x \). Infatti, la derivata di \( -\cos x \) è proprio \( \sin x \). Applicando allora meccanicamente la prima regola nella tabella con \( n=4 \) ritroviamo comunque il risultato cercato. 😉
Non sempre è possibile applicare le regole della tabella direttamente ma sono necessari degli aggiustamenti algebrici, come mostrano i seguenti esempi di calcolo di integrali “quasi immediati” generalizzati.
EsemPio 3
Calcolare:
\[ \int \cos (3x) \, dx \]
Ci ritroviamo un integrale indefinito della forma:
\[ \int \cos(f(x)) \, dx \]
nel quale manca la derivata di \( f(x) = 3x\). Osserviamo che si ha:
\[ \dfrac{d}{dx}3x = 3 \]
per cui avremmo bisogno di ritrovare all’interno dell’integrale la quantità \( 3 \). Possiamo allora moltiplicare e dividere per \( 3 \) all’interno dell’integrale (ciò è lecito poiché equivale a moltiplicare per 1):
\[ \int \cos (3x) \cdot \dfrac{3}{3}\, dx \]
Portiamo fuori dall’integrale soltanto il \( 3 \) a denominatore, lasciando il numeratore all’interno dell’integrale stesso:
\[ \dfrac{1}{3}\int \cos (3x) \cdot 3\, dx \]
A questo punto l’integrale è della forma \( \displaystyle \int \cos(f(x)) \cdot f'(x) \, dx \) e per la corrispondente regola della tabella possiamo scrivere:
\[ \dfrac{1}{3}\int \cos (3x) \cdot 3\, dx=\dfrac{1}{3} \sin 3x + c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Ancora una volta possiamo in alternativa ragionare con i differenziali osservando che \( 3 \, dx \) è il differenziale della funzione \( 3x \). 😉
Per ulteriori informazioni sull’integrazione di funzioni di questo tipo è disponibile la lezione sugli integrali indefiniti contenenti funzioni trigonometriche ad argomento multiplo intero.
Esempio 4
Vediamo un ultimo esempio sugli integrali immediati generalizzati. Calcolare:
\[ \int \dfrac{1}{5+4x^2} \, dx \]
Osserviamo che potremmo utilizzare la regola:
\[ \int \dfrac{1}{1+[f(x)]^2} \cdot f'(x) \, dx \]
ma abbiamo due problemi. Prima di tutto, al denominatore abbiamo la quantità \( 5 \) quando in realtà dovremmo avere al suo posto la quantità \( 1 \). Inoltre, dovremo fare in modo che compaia all’interno dell’integrale anche la derivata di \( f(x) \).
Per risolvere il primo problema, dobbiamo dividere numeratore e denominatore dell’integranda per \( 5 \). In tal modo, riusciremo a ricondurre il denominatore dell’integranda alla forma \( 1+ \text{qualcosa}^2 \). Si ha:
\[ \int \dfrac{1}{5+4x^2} \, dx=\int \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{5+4x^2}{5}} \, dx = \int \dfrac{\frac{1}{5}}{1+\frac{4}{5}x^2}\, dx = \dfrac{1}{5} \int \dfrac{1}{1+\left(\frac{2x}{\sqrt{5}} \right)^2} \, dx \]
Osserviamo che a questo punto abbiamo \( f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{5}} \), per cui avremmo bisogno nell’integrale del fattore \( f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \). Procediamo allora moltiplicando e dividendo l’integrale per quest’ultima quantità:
\[ \dfrac{1}{5} \int \dfrac{1}{1+\left(\frac{2x}{\sqrt{5}} \right)^2} \, dx=\dfrac{1}{5}\int \dfrac{1}{1+\left(\frac{2x}{\sqrt{5}} \right)^2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} \, dx = \]
A questo punto lasciamo dentro all’integrale solo il fattore corrispondente alla derivata di \( f(x) \):
\[ =\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} \int \dfrac{1}{1+\left(\frac{2x}{\sqrt{5}} \right)^2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \, dx = \dfrac{\sqrt{5}}{10} \int \dfrac{1}{1+\left(\frac{2x}{\sqrt{5}} \right)^2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \, dx \]
Osserviamo che adesso l’integrale:
\[ \int \dfrac{1}{1+\left(\frac{2x}{\sqrt{5}} \right)^2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \, dx \]
è della forma
\[ \displaystyle \int \dfrac{1}{1+[f(x)]^2} \cdot f'(x) \, dx \]
Per cui grazie alla corrispondente regola della tabella si ha:
\[ \dfrac{\sqrt{5}}{10} \int \dfrac{1}{1+\left(\frac{2x}{\sqrt{5}} \right)^2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \, dx=\dfrac{\sqrt{5}}{10} \arctan \left(\dfrac{2x}{\sqrt{5}} \right)+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
e quindi in conclusione:
\[ \int \dfrac{1}{5+4x^2} \, dx= \dfrac{\sqrt{5}}{10} \arctan \left(\dfrac{2x}{\sqrt{5}} \right)+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
o se preferite, razionalizzando l’argomento della funzione arcotangente:
\[ \int \dfrac{1}{5+4x^2} \, dx= \dfrac{\sqrt{5}}{10} \arctan \left(\dfrac{2\sqrt{5}x}{5} \right)+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Per ulteriori informazioni su integrali di questo tipo è disponibile la lezione sugli integrali indefiniti del reciproco di polinomi.
Errori da evitare
Vediamo un errore da evitare sul calcolo degli integrali immediati generalizzati.
Ricordiamo che è possibile portare fuori dal simbolo di integrale soltanto un fattore costante (cioè, un numero). Vale infatti in generale la regola:
\[ \int \alpha \cdot f(x) \, dx = \alpha \int f(x) \, dx , \quad \alpha \in \mathbb{R} \]
che rappresenta la proprietà di omogeneità degli integrali indefiniti.
Di conseguenza attenzione di fronte ad integrali del tipo il seguente:
\[ \int \dfrac{1}{x^2} \cdot 2 \, dx \]
L’integranda è della forma \( \dfrac{1}{f(x)} \) con \( f(x) = x^2 \), ma nell’integrale non abbiamo il fattore \( f'(x) \). E’ infatti solo presente un fattore \( 2 \). Sarebbe del tutto inutile provare a ricondurre l’integrale ad una forma immediata moltiplicando e dividendo per \( x \):
\[ \int \dfrac{1}{x^2} \cdot 2 \, dx=\int\dfrac{1}{\underbrace{x^2}_{f(x)}} \cdot \dfrac{\overbrace{2x}^{f'(x)}}{x} \, dx \]
Infatti non possiamo portare fuori il fattore \( \dfrac{1}{x} \) poiché non si tratta di una costante! 🙂 Dunque, le manipolazioni algebriche fin qui mostrate sono praticabili soltanto utilizzando delle costanti, cioè dei numeri, e mai termini che contengono la \( x \).
In alcuni casi non troppo comuni può comunque essere utile ad esempio moltiplicare e dividere l’integranda per \( x \), ma senza mai portare fuori dal simbolo di integrale una quantità che non sia una costante.
Tornando al caso in esame, basta osservare che siamo in presenza di un semplice integrale fondamentale. Infatti:
\[ \small \int \dfrac{1}{x^2} \cdot 2 \, dx = 2 \int \dfrac{1}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+c=-\dfrac{2}{x}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Per questa lezione sugli integrali immediati generalizzati è tutto. Per ulteriori informazioni sugli integrali è disponibile il corso di lezioni sugli integrali di Altramatica. Buon proseguimento! 🙂