Nella prima parte dell’enunciato, il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che se una funzione è continua in un intervallo \( [a,b] \), la corrispondente funzione integrale è anch’essa continua. Come vedremo fra un istante la funzione integrale di \( f(x) \) è l’integrale calcolato sull’intervallo \( [a,x] \), ove \( x \) è un qualunque valore appartenente all’intervallo \( [a,b] \). Di conseguenza, per ogni valore della \( x \) tale funzione restituirà un valore.
La seconda parte dell’enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che la funzione integrale di \( f(x) \) è un’antiderivata per \( f(x) \) stessa. Tale risultato è importantissimo poiché rappresenta una condizione di esistenza per le antiderivate di una data funzione. E ciò fornisce risposta a quanto avevamo lasciato in sospeso nell’introdurre il problema della ricerca delle antiderivate.
La terza parte del teorema, nota come teorema di Torricelli-Barrow, afferma infine che è possibile calcolare il valore dell’integrale definito di una funzione integrabile a partire da una qualunque sua antiderivata. Il valore cercato si ottiene in particolare come differenza tra le valutazioni di una stessa antiderivata tra i due estremi di integrazione. Anche questo è un’importantissimo risultato, il quale consente di calcolare gli integrali definiti in modo pratico, senza dover ricorrere alla definizione di integrale secondo Riemann.
Vediamo allora subito il teorema fondamentale del calcolo integrale. All’inizio ci concentreremo sui singoli enunciati e sul loro significato. Forniremo le dimostrazioni soltanto nella parte finale della lezione.
Enunciati relativi al teorema fondamentale del calcolo integrale
1) Continuità della funzione integrale
Sia data una funzione limitata \( f(x):[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) integrabile alla Riemann su \( [a,b] \). Allora la funzione integrale definita come:
\[ F(x)=\int_{a}^{x}f(t) \, dt , \qquad \forall \: x \in [a,b] \]
è continua nell’intervallo \( [a,b] \).
NOTA: l’esigenza della variabile \( t \) nasce dal fatto che la variabile di integrazione è indipendente rispetto all’estremo di integrazione indefinito \( x \).
2) Esistenza di almeno un’antiderivata per una funzione integrabile alla Riemann
Sotto le ipotesi del precedente enunciato, la funzione integrale risulta derivabile in \( ]a,b[ \) e si ha:
\[ F'(x) = f(x) \]
per ogni \( x \in ]a,b[ \).
Ciò significa che sotto le ipotesi del primo enunciato esiste sicuramente almeno un’antiderivata per \( f(x) \) ed è uguale alla funzione integrale \( F(x) \).
3) Teorema di Torricelli-Barrow (calcolo dell’integrale indefinito)
Sotto tutte le ipotesi dei due precedenti enunciati, detta \( H(x) \) un’antiderivata per \( f(x) \) si ha:
\[ \int_{a}^{b}f(x) \, dx = H(b)-H(a) \]
ovvero l’integrale indefinito di \( f(x) \) sull’intervallo \( [a,b] \) è pari alla differenza tra la valutazione di una qualunque antiderivata sull’estremo \( b \) e la valutazione di quella stessa antiderivata sull’estremo \( a \).
Dimostrazioni degli enunciati del teorema fondamentale del calcolo integrale
A seguire riportiamo le dimostrazioni relative ai tre enunciati del teorema fondamentale del calcolo integrale. Per chi non è interessato alle dimostrazioni, è possibile saltare direttamente alle considerazioni sull’utilizzo pratico del teorema di Torricelli-Barrow.
1) Dimostrazione della continuità della funzione integrale
Dobbiamo dimostrare che se \( f(x):[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) è integrabile su \( [a,b] \), la funzione integrale \( \displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \, dt \) è continua su \( [a,b] \).
Per fare questo possiamo appoggiarci alla definizione di continuità uniforme. Infatti se una funzione è continua uniformemente è anche continua. In altri termini, la continuità uniforme è una condizione sufficiente per la continuità di una funzione.
Una funzione con dominio \( D_f \) è uniformemente continua se, fissato un certo \( \epsilon>0 \), la differenza \( |f(x+\Delta x)-f(x)| \) (con \( \Delta x > 0 \) e con \( x \in D_f \)) risulta sempre minore di \( \epsilon \) a patto di prendere \( \Delta x \) sufficientemente piccolo.
Chiaramente, più piccolo fisseremo \( \epsilon \), più piccolo dovremo prendere \( \Delta x \), ma se la funzione è uniformemente continua esisterà sempre un \( \Delta x \) tale da soddisfare la condizione \( |f(x+\Delta x)-f(x)| < \epsilon \).
In termini informali, una funzione è uniformemente continua se, presi due punti del suo dominio, il valore assoluto della differenza delle corrispondenti valutazioni della funzione riesce ad essere piccola quanto si vuole, a patto di prendere i due punti sufficientemente “vicini” tra loro.
Tutto ciò premesso, il nostro obiettivo è dimostrare che la funzione integrale è uniformemente continua. Intanto si ha:
\[ \begin{align}&|F(x+\Delta x)-F(x)|= \left|\int_{a}^{x+\Delta x}f(t) \, dt-\int_{a}^{x}f(t) \, dt \right| = \\ \\ & = \left|\int_{a}^{x}f(t) \, dt + \int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \, dt-\int_{a}^{x} f(t) \, dt \right| = \\ \\ & = \left|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \, dt \right|\end{align} \qquad (*) \]
Ora dovremo far vedere che la quantità appena scritta può essere piccola quanto si vuole a patto di scegliere \( \Delta x \) sufficientemente piccolo. Per la disuguaglianza degli integrali con valore assoluto si ha:
\[ \left|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \, dt \right| \leq \int_{x}^{x+\Delta x} |f(t)| \, dt \]
Considerando poi l’estremo superiore di \( f(x) \) sull’intervallo \( [x, \: x + \Delta x] \):
\[ \int_{x}^{x + \Delta x} |f(t)| \, dt \leq \int_{x}^{x + \Delta x} \underbrace{\sup_{[x, \: x+\Delta x]}}_{M} f(t) \, dt =\int _{x}^{x + \Delta x}M \, dt=M \cdot \Delta x \]
In merito all’ultimo passaggio osserviamo che l’estremo superiore della funzione è una costante e di conseguenza vale quanto sappiamo sull’integrale della funzione costante, per cui \( \displaystyle \int _{x}^{x + \Delta x}M \, dt = M(x+\Delta x – x)= M \cdot \Delta x \).
Ora, ripartendo dalla \( (*) \) e considerando le varie disuguaglianze scritte abbiamo:
\[ |F(x+\Delta x)-F(x)| \leq M \cdot \Delta x \]
Ma la quantità \( M \cdot \Delta x \) effettivamente tende a zero per \( \Delta x \to 0 \). Ciò significa che scegliendo due punti \( x \) e \( x+\Delta x \) sufficientemente “vicini” tra loro, la quantità \( |F(x+ \Delta x)-F(x)| \) riesce ad essere sempre piccola quanto si vuole, e quindi minore di una qualunque quantità \( \epsilon >0 \). Ciò prova che la funzione integrale è uniformemente continua, e quindi continua.
2) Dimostrazione dell’esistenza di almeno un’antiderivata per una funzione integrabile alla Riemann (secondo enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale)
Sotto le ipotesi dell’enunciato 1, dobbiamo dimostrare che esiste almeno un’antiderivata per la funzione \( f(x):[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) e che questa è data dalla funzione integrale di \( f(x) \):
\[ \dfrac{d}{dx}F(x)=f(x), \qquad x \in ]a,b[ \]
Allo stesso tempo, dobbiamo dimostrare che la funzione integrale è derivabile in \( ]a,b[ \).
Riprendendo la definizione di derivata, si tratta di dimostrare che:
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=f(x), \qquad x \in ]a,b[ \]
ovvero preso \( x_0 \in ]a,b[ \):
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{F(x_0+\Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}=f(x_0) \]
Dalla precedente dimostrazione sappiamo che si ha:
\[ F(x+\Delta x)-F(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \, dt \]
e quindi dobbiamo dimostrare che:
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\displaystyle \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(t) \, dt}{\Delta x}=f(x_0), \]
ovvero:
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0 + \Delta x}f(t) \, dt = \underbrace{f(x_0)}_{l} \]
Riprendiamo ora la definizione di limite finito di una funzione per \( x \) che tende ad un valore finito, adattandola per il caso delle funzioni continue. Si ha che per ogni \( \epsilon > 0 \) esiste un \( \delta > 0 \) tale che per ogni \( x \) che appartiene al dominio di \( f(x) \) e tale che \( |x-x_0|<\delta \) viene soddisfatta la relazione \( |f(x)-l|< \epsilon \).
Nel nostro caso consideriamo \( \Delta x < \delta \), e per definire la condizione di limite partiamo dai due punti \( t\) e \( x_0\) dell’intervallo \( [a,b] \) tali che si ha \( |t-x_0|=\Delta x \). Dobbiamo quindi provare che fissato \( \epsilon > 0 \) piccolo quanto si vuole, per \( \Delta x \) sufficientemente piccolo (cioè in pratica tendente a zero) vale la condizione:
\[ \left|\dfrac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0 + \Delta x}f(t) \, dt – f(x_0) \right| < \epsilon \qquad (**) \]
Osserviamo che \( f(x_0) \) è una costante. Di conseguenza, per quanto sappiamo sull’integrale di una funzione costante si ha:
\[ \dfrac{1}{\Delta x}\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0) \, dt =\dfrac{1}{\Delta x}f(x_0) \cdot (x_0 + \Delta x – x_0)=\dfrac{1}{\Delta x}f(x_0) \cdot \Delta x=f(x_0) \]
Così abbiamo l’uguaglianza:
\[ f(x_0) = \dfrac{1}{\Delta x}\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0) \, dt \]
Tenendo conto di questo possiamo riscrivere la (**) come:
\[ \left|\dfrac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0 + \Delta x}f(t) \, dt – \dfrac{1}{\Delta x}\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0) \, dt \right| < \epsilon \]
ovvero:
\[ \dfrac{1}{\Delta x} \left|\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x}f(t) \, dt – \int_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0) \, dt \right| < \epsilon \]
ossia sfruttando la linearità dell’integrale:
\[ \dfrac{1}{\Delta x} \left|\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x}[f(t) – f(x_0)] \, dt \right| < \epsilon \]
Si tratta a questo punto di mostrare che la quantità a primo membro riesce ad essere piccola quanto si vuole per \( \Delta x \to 0 \). Osserviamo che intanto si ha, per la disuguaglianza degli integrali con valore assoluto:
\[ \dfrac{1}{\Delta x} \left|\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x}[f(t) – f(x_0)] \, dt \right| \leq \dfrac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0 + \Delta x}\left|f(t) – f(x_0)\right| \, dt \]
Ora, ricordiamo che la funzione \( f(x) \) è per ipotesi continua su \( [a,b] \). Ma allora, per come abbiamo definito i punti \( t \) e \( x_0 \), per \( \Delta x \to 0 \) la differenza \( |f(t)-f(x_0)| \) risulterà necessariamente minore di \( \epsilon \).
Abbiamo quindi:
\[ \small \dfrac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0 + \Delta x}\left|f(t) – f(x_0)\right| \, dt < \dfrac{1}{\Delta x} \cdot \int _{x_0}^{x_0+\Delta x} \epsilon \, dt =\dfrac{1}{\Delta x} \cdot \epsilon \cdot (x_0 + \Delta x – x_0)= \epsilon \]
il che dimostra la (**). Abbiamo così dimostrato che la funzione integrale \( F(x) \) è derivabile in \( ]a,b[ \) ed ha in \( x_0 \in ]a,b[ \) derivata pari a \( f(x_0) \).
3) Dimostrazione del teorema di Torricelli-Barrow (terzo enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale)
Si tratta ora di dimostrare, sotto le ipotesi dei precedenti due enunciati, che:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = H(b)-H(a) \]
ovvero che l’integrale definito di una funzione \( f(x) \) sull’intervallo \( [a,b] \) è uguale alla differenza tra le valutazioni di una qualsiasi antiderivata \( H(x) \) di \( f(x) \) relativamente agli estremi \( b \) e \( a \).
Il punto di partenza è dato dal fatto che, per l’enunciato 2, la funzione integrale \( F(x) \) è un’antiderivata per \( f(x) \). Possiamo allora scrivere:
\[ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \, dt =H(x)+c \]
Infatti proprio perché la funzione integrale è un’antiderivata per \( f(x) \), essa differisce necessariamente da \( H(x) \) a meno di una costante.
Ora, preso \( x=a \) la precedente diviene:
\[ F(a)=\int_{a}^{a} f(t) \, dt=H(a)+c \]
Osserviamo che per la proprietà degli estremi coincidenti si ha:
\[ \int_{a}^{a} f(t) \, dt =0 \]
Ma allora abbiamo:
\[ H(a)+c=\int_{a}^{a} f(t) \, dt =0 \quad \Rightarrow \quad c= -H(a) \]
Di conseguenza possiamo riesprimere la funzione integrale come:
\[ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \, dt =H(x)+c=H(x)-H(a) \]
E infine prendendo \( x=b \) otteniamo:
\[ F(b)=\int_{a}^{b}f(t) \, dt = H(b)-H(a) \]
da cui segue, poiché la variabile \( t \) è muta (ovvero il risultato di un integrale definito non dipende dalla variabile di integrazione):
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = H(b)-H(a) \]
che è ciò che dovevamo dimostrare.
Conseguenze pratiche del teorema fondamentale del calcolo integrale: calcolo di un integrale definito
Il teorema fondamentale del calcolo integrale, in particolare relativamente al suo terzo enunciato, ci permette di calcolare agevolmente gli integrali indefiniti. Sia ad esempio da calcolare:
\[ \int_{2}^{7}x^2 \, dx \]
Per il teorema di Torricelli-Barrow (terzo enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale), si ha:
\[ \int_{2}^{7}x^2 \, dx=H(7)-H(2) \qquad (@)\]
Per quanto sappiamo sugli integrali indefiniti:
\[ \int x^2 \, dx = \dfrac{x^3}{3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Un’antiderivata \( H(x) \) si ottiene ad esempio ponendo \( c=0 \):
\[ H(x)=\dfrac{x^3}{3} \]
Ora che conosciamo l’espressione di un’antiderivata per \( f(x) \) possiamo riprendere la (@) e calcolare l’integrale definito cercato:
\[ \int_{2}^{7}x^2 \, dx=H(7)-H(2)=\dfrac{7^3}{3}-\dfrac{2^3}{3}=\dfrac{343}{3}-\dfrac{8}{3}=\dfrac{335}{3} \]
Scegliendo un’altra antiderivata per \( f(x) \), ad esempio \( G(x) = \dfrac{x^3}{3}+4 \) (costante additiva pari a \( 4 \)), otteniamo comunque lo stesso risultato per l’integrale definito:
\[ \int_{2}^{7}x^2 \, dx=G(7)-G(2)=\dfrac{7^3}{3}+4-\dfrac{2^3}{3}-4=\dfrac{335}{3} \]
Ciò comprova che il risultato dell’integrale definito non dipende dalla particolare antiderivata scelta per il suo calcolo. Ovviamente, per rendere più facili i calcoli conviene scegliere tra tutte le possibili infinite antiderivate quella con costante additiva \( c=0 \).
Conclusioni sul teorema fondamentale del calcolo integrale
Il teorema fondamentale del calcolo integrale offre un importante risultato di esistenza delle antiderivate ed inoltre uno strumento per poter calcolare facilmente gli integrali definiti, senza dover ricorre alla scomoda definizione di integrale secondo Riemann.
E’ ancora una volta opportuno sottolineare la differenza tra l’integrale indefinito, che corrisponde ad una famiglia di funzioni, e tra l’integrale definito, che corrisponde invece ad un valore numerico.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce infine un legame tra i due tipi di integrali. Infatti, il teorema permette di calcolare l’integrale definito di una data funzione \( f(x) \) sull’intervallo \( [a,b] \) tramite la conoscenza di una qualsiasi antiderivata della funzione stessa, la quale è una qualunque funzione appartenente alla famiglia di antiderivate di \( f(x) \). E come sappiamo, tale famiglia di funzioni si ottiene proprio calcolando l’integrale indefinito di \( f(x) \).
Per quanto riguarda il teorema fondamentale del calcolo integrale è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo del teorema della media integrale. E nella lezione ancora successiva vedremo il calcolo degli integrali definiti nel caso particolare degli integrali per sostituzione. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂