L’integrale alla Riemann (o integrale definito secondo Riemann) è un operatore che associa ad una funzione l’area sottesa dal suo grafico relativamente ad un certo intervallo di estremi a e b (estremi di integrazione), intendendo valide le necessarie ipotesi.
In questa lezione introduciamo la definizione di integrale definito secondo Riemann. Completiamo così lo studio degli integrali affiancando agli integrali indefiniti gli integrali definiti. E la nozione di integrale definito secondo Riemann è proprio il primo passo per lo studio degli integrali definiti.
L’integrale definito secondo Riemann è stato introdotto per risolvere il problema del calcolo dell’area sottesa da un certo tratto di grafico di una data funzione. Ciò comporta la possibilità di poter calcolare aree di figure più complesse rispetto alle figure geometriche elementari.
Nell’introdurre la nozione di integrale definito secondo Riemann utilizzeremo i concetti di partizione, estremo superiore ed estremo inferiore. Richiameremo tali definizioni in questa stessa lezione.
Mentre gli integrali indefiniti sono privi di estremi di integrazione e corrispondono a famiglie di antiderivate, gli integrali definiti sono appunto definiti entro degli estremi di integrazione e corrispondono ciascuno non ad una famiglia di funzioni ma bensì ad un numero. E tale numero quantifica proprio l’area sottesa dal grafico della funzione relativo ad un intervallo che è sottoinsieme del domino della funzione stessa ed i cui estremi coincidono esattamente con gli estremi di integrazione dell’integrale definito.
Cominciamo allora subito il nostro studio finalizzato ad arrivare alla definizione dell’integrale definito secondo Riemann.
Integrale definito secondo Riemann: concetti preliminari
Partizione di un insieme
Si definisce partizione di un insieme un gruppo di sottoinsiemi propri di \( A \) la cui unione è uguale all’insieme \( A \), ove ciascun sottoinsieme è diverso dall’insieme vuoto e tali per cui l’intersezione tra due qualsiasi sottoinsiemi è nulla, ovvero pari all’insieme vuoto.
Maggioranti, minoranti, estremi superiore ed inferiore
maggioranti e minoranti
Dato un insieme \( A \neq \emptyset \), con \( A \subseteq \mathbb{R} \), l’elemento \( S \in \mathbb{R}\) si dice maggiorante di \( A \) se risulta:
\[ S \geq a \quad \forall \: a \in A\qquad \text{(}\: S \: \text{ è maggiorante)} \]
Dato un insieme \( A \neq \emptyset \), con \( A \subseteq \mathbb{R} \), l’elemento \( s \in \mathbb{R}\) si dice minorante di \( A \) se invece risulta:
\[ s \leq a \quad \forall \: a \in A \qquad \text{(}\: s \: \text{ è minorante)} \]
Così ad esempio dato l’insieme \( A \) definito come l’intervallo \( [2,5] \) tutti i numeri minori o uguali a \( 2 \) sono dei minoranti di \( A \). Inoltre, tutti i numeri maggiori o uguali a \( 5 \) sono dei maggioranti di \( A \).
estremo superiore ed inferiore
Consideriamo ancora un insieme \( A \subseteq \mathbb{R} \) diverso dall’insieme vuoto.
Si definisce estremo superiore per l’insieme A il numero reale \( S \) tale da essere il più piccolo dei maggioranti dell’insieme \( A \). In simboli:
\[ S=\sup A \quad \iff \quad \begin{cases}S \geq a \: \forall \: a \in A \quad \text{(maggiorante)} \\ \\ \forall \: \epsilon > 0, \quad \exists a \in A \quad \text{t.c} \quad S-\epsilon < a \end{cases} \]
La prima condizione richiede semplicemente che \( S \) sia un maggiorante. La seconda condizione richiede invece che non appena si sceglie \( \epsilon > 0 \), pur piccolo quanto si vuole, il numero \( S-\epsilon \) non è più un maggiorante. Quest’ultima condizione equivale dunque a richiedere che \( S \) sia il più piccolo dei maggioranti di \( A \).
Ora, si definisce estremo inferiore per l’insieme A il numero reale \( s \) tale da essere il più grande dei minoranti dell’insieme \( A \). In simboli:
\[ s=\inf A \quad \iff \quad \begin{cases}s \leq a \: \forall \: a \in A \quad \text{(minorante)} \\ \\ \forall \: \epsilon > 0, \quad \exists a \in A \quad \text{t.c} \quad s+\epsilon > a \end{cases} \]
Analogamente al caso precedente, la prima condizione richiede semplicemente che \( s \) sia un minorante. La seconda condizione richiede invece che non appena si sceglie \( \epsilon > 0 \), pur piccolo quanto si vuole, il numero \( s+\epsilon \) non è più un minorante. Quest’ultima condizione equivale dunque a richiedere che \( s \) sia il più grande dei minoranti dell’insieme \( A \).
Massimo e minimo di un insieme
Ricordiamo le definizioni intuitive di massimo e minimo. Si dice massimo di un insieme \( A \) l’elemento \( M \in A \) tale che
\[ M \geq a, \quad \forall \: a \in A \]
Allo stesso modo si definisce minimo dell’insieme \( A \) l’elemento \( m \in A \) tale che:
\[ m \leq a, \quad \forall \: a \in A \]
Caratterizzazione delle nozioni di massimo e minimo di un insieme con gli estremi superiore ed inferiore
Se l’estremo superiore di \( A \) è tale da appartenere ad \( A \) allora questo si definisce massimo dello stesso insieme \( A \).
Se invece l’estremo inferiore di \( A \) è tale da appartenere ad \( A \) allora questo si definisce minimo dello stesso insieme \( A \).
Le definizioni di estremo superiore ed estremo inferiore servono per tamponare la situazione in cui si debba lavorare con intervalli aperti o semiaperti. Ad esempio, chi è il massimo dell’intervallo \( [2,7[ \)? La risposta non è \( 7 \), poiché tale elemento non appartiene all’intervallo. Le definizioni di massimo e minimo richiedono infatti l’appartenenza all’intervallo. Ma possiamo certamente dire che \( 7 \) è l’estremo superiore dell’intervallo \( [2,7[ \). Allo stesso modo, preso l’intervallo \( ]3,6[ \), non potremo dire che \( 3 \) è il suo minimo, ma potremo dire che \( 3 \) è il suo estremo inferiore.
Nel definire l’integrale secondo Riemann utilizzeremo i concetti di estremo superiore ed inferiore proprio per poter lavorare con intervalli aperti, ovvero intervalli nei quali almeno un estremo non appartiene all’intervallo stesso.
Integrale secondo Riemann: verso la definizione
Decomposizione di un intervallo e sua partizione rispetto ad una data decomposizione
Si definisce decomposizione uniforme dell’intervallo \( [a,b] \subseteq \mathbb{R} \) un insieme ordinato di \( n+1 \) punti distinti tali che:
\[ a=x_0<x_1<x_2< \dots < x_n=b \]
e tali da essere equidistanti:
\[ x_{i+1}-x_{i}=\dfrac{b-a}{n}, \qquad i =0, \: 1, \dots ,n-1 \]
Osserviamo che i punti sono \( n+1 \) poiché oltre ai punti che vanno da \( x_1 \) ad \( x_n \) (quindi \( n \) punti) abbiamo anche il punto \( x_0 \) (di conseguenza \( n+1 \) punti in totale). Tuttavia, al denominatore del secondo membro della precedente uguaglianza abbiamo \( n \) e non \( n+1 \) poiché le possibili differenze del tipo \( x_i-x_{i-1} \) fra le coppie di punti consecutivi della decomposizione sono, appunto, \( n \).
Indicheremo ciascun insieme di punti ordinati di questo tipo con il simbolo \( \sigma\).
Evidentemente preso un intervallo \( [a,b] \) le possibili decomposizioni per esso sono infinite. Fissata però una data decomposizione uniforme \( \sigma \) per l’intervallo \( [a,b] \), è possibile definire per esso una partizione dell’intervallo rispetto alla decomposizione uniforme \( \sigma \), data dal gruppo di insiemi:
\[ P=\left\{[x_0, \: x_1[, [x_1, \: x_2[, \: [x_2, \: \: x_3[, \dots ,]x_{n-1}, \: x_n]\right\} \]
ove \( x_0 = a \) e \( x_n = b \).
Osserviamo che poiché costruiamo la partizione dell’intervallo \( [a,b] \) a partire da una sua decomposizione uniforme, ciascun intervallo \( [x_{i}, x_{i+1}[ \) avrà la stessa ampiezza.
Il gruppo di insiemi considerato costituisce una partizione dell’intervallo \( [a,b] \) poiché effettivamente ciascun intervallo è diverso dall’insieme vuoto, gli intervalli sono a due a due disgiunti e la loro unione è uguale all’intervallo \( [a,b] \).
Osserviamo che poiché i punti della decomposizione \( \sigma \) sono \( n+1 \), allora i sottoinsiemi della partizione che si costruisce a partire da tale decomposizione sono \( n \). Ed è importante osservare che poiché la decomposizione \( \sigma \) è uniforme, al crescere di \( n \) l’ampiezza di ciascun intervallo \( [x_i, x_{i+1}[ \) diminuirà di conseguenza. Tenere ben presente questo ci sarà utile nel seguito. 😉
Inoltre, poiché le decomposizioni uniformi \( \sigma \) per un dato intervallo sono infinite, avremo come conseguenza che anche le possibili partizioni rispetto a \( \sigma \) di tale intervallo sono infinite. Infatti, è possibile costruire una partizione dell’intervallo considerato prendendo una qualsiasi tra le sue infinite decomposizioni \( \sigma \).
Somme superiori e somme inferiori
Considerata una partizione rispetto ad una data decomposizione \( \sigma \) dell’intervallo \( [a,b] \), scelta una funzione limitata \( f(x):[a, \: b] \rightarrow \mathbb{R} \) è possibile certamente definire per ciascun intervallo \( [x_i, \: x_{i+1}[ \) della partizione, con \( i \in [0,n-1] \subset \mathbb{N} \), i relativi estremo superiore ed estremo inferiore. In particolare definiamo, rispettivamente:
\[ M_i = \sup_{[x_i, \: x_{i+1}[}f(x) \]
e:
\[ m_i = \inf_{[x_i, \: x_{i+1}[}f(x) \]
Così l’area sottesa dal grafico della funzione \( f(x) \) in corrispondenza dell’intervallo \( [x_i, \: x_{i+1}[ \) sarà approssimata per eccesso dal rettangolo di area:
\[ A_{\text{ecc}} = M_i \cdot (x_{i+1}-x_i) \]
e sarà approssimata per difetto dal rettangolo di area:
\[ A_{\text{dif}} = m_i \cdot (x_{i+1}-x_i) \]
Se ora consideriamo tutti gli \( n \) intervalli della partizione rispetto alla decomposizione \( \sigma \) scelta, possiamo approssimare per eccesso l’intera area sottesa dal grafico della funzione nell’intervallo \( [a,b] \) con la quantità:
\[ S(f, \sigma)=\sum_{i=0}^{ n-1} M_i \cdot (x_{i+1}-x_{i}) \]
che rappresenta la somma delle aree di tutti i rettangoli aventi per base l’ampiezza di ciascun intervallo della partizione considerata e per altezza l’estremo superiore dell’intervallo corrispondente.
Allo stesso modo, possiamo approssimare per difetto quella stessa area sottesa dal grafico della funzione nell’intervallo \( [a,b] \) con la quantità:
\[ s(f, \sigma)=\sum_{i=0}^{ n-1} m_i \cdot (x_{i+1}-x_{i}) \]
che rappresenta ancora la somma delle aree di tutti i rettangoli aventi per base l’ampiezza di ciascun intervallo della partizione considerata ma aventi per altezza stavolta l’estremo inferiore dell’intervallo corrispondente.
Le quantità \( S(f, \sigma) \) e \( s(f, \sigma) \) si dicono rispettivamente somma superiore e somma inferiore della funzione \( f(x) \) rispetto alla decomposizione \( \sigma \).
Proprietà delle somme superiori ed inferiori
Per le definizioni sin qui date si ha:
\[ s(f, \sigma) \leq S(f, \sigma) \]
Ciò significa che l’approssimazione per difetto dell’area sottesa dal grafico della funzione nell’intervallo \( [a,b] \) sarà sicuramente minore o al più uguale all’approssimazione per eccesso di quella stessa area.
Più in generale, date due qualsiasi decomposizioni \( \sigma_1 \) e \( \sigma_2 \) si può dimostrare che si ha:
\[ s(f, \sigma_1) \leq S(f, \sigma_2) \]
ovvero che la somma inferiore di \( f(x) \) è sempre minore o al più uguale alla somma superiore di \( f(x) \) a prescindere dalla particolare decomposizione considerata per ciascuna di tali somme.
Dimostrazione
Osserviamo che al crescere di \( n \) le somme superiori assumono valori via via decrescenti mentre le somme inferiori assumono valori via via crescenti (vedremo più nel dettaglio questo aspetto nel paragrafo successivo).
Ora, date due decomposizioni \( \sigma_1 \) e \( \sigma_2 \), la decomposizione \( \sigma_1 \: \cup \: \sigma_2 \) avrà necessariamente un numero di punti \( n \) maggiore di entrambe \( \sigma_1 \) e \( \sigma_2 \).
Avremo intanto sicuramente:
\[ s(f, \sigma_1) \leq s(f, \sigma_1 \: \cup \: \sigma_2) \]
Ora, poiché sappiamo che per una data decomposizione \( \sigma \) vale la relazione \( s(f,\sigma) \leq S(f, \sigma) \), possiamo scrivere:
\[ s(f, \sigma_1 \cup \sigma_2) \leq S(f, \sigma_1 \cup \sigma_2) \]
Inoltre, poiché le somme superiori risultano decrescenti all’aumentare del numero di punti \( n \) della decomposizione, si ha:
\[ S(f, \sigma_1 \cup \sigma_2 ) \leq S(f, \sigma_2) \quad \]
Ciò è evidente poiché la decomposizione \( \sigma_2 \) ha necessariamente un numero di punti minore della decomposizione \( \sigma_1 \cup \sigma_2 \).
Mettendo insieme tutte le precedenti diseguaglianze possiamo scrivere:
\[ s(f, \sigma_1) \leq s(f, \sigma_1 \: \cup \: \sigma_2)\leq S(f, \sigma_1 \cup \sigma_2)\leq S(f, \sigma_2) \quad \]
da cui segue per la proprietà transitiva:
\[ s(f, \sigma_1) \leq S(f, \sigma_2) \]
che è ciò che volevamo dimostrare.
Integrale superiore ed integrale inferiore
Osserviamo che per tutto quanto detto ogni decomposizione \( \sigma \) è caratterizzata da un differente numero di punti \( x_0, \: x_1, \: \dots, \: x_{n} \). Di conseguenza, ad ogni decomposizione \( \sigma \) corrisponde una certa quantità \( n +1\) di punti \( x_i \).
Così, se facciamo tendere \( n \) a valori sempre più grandi, otterremo corrispondentemente delle decomposizioni \( \sigma \) costituite da un numero di punti via via crescente. E visto il legame tra le somme superiori ed inferiori e le decomposizioni \( \sigma \), all’aumentare di \( n \) otterremo delle somme superiori ed inferiori costituite da un numero crescente di intervalli \( [x_i, \: x_{i+1}[ \). Ciò significa che più grande sarà \( n \), maggiore sarà il numero di rettangoli utilizzati per approssimare l’area sottesa dal grafico della funzione nell’intervallo \( [a, \: b] \).
Ed è intuitivo che più rettangoli avremo, migliore sarà l’approssimazione dell’area sottesa dal grafico nell’intervallo \( [a, \: b] \). Se facciamo allora tendere ad infinito il numero dei rettangoli utilizzati per detta approssimazione, le corrispondenti somme superiori ed inferiori saranno rispettivamente decrescenti e crescenti e potranno eventualmente tendere ad uno stesso valore che è proprio l’area cercata.
Tutto quanto detto si regge sul fatto che consideriamo decomposizioni uniformi per l’intervallo \( [a,b] \). Grazie a questa ipotesi, siamo certi che al crescere di \( n \) tutti gli intervalli che costituiscono la partizione di \( [a,b] \) diminuiranno di ampiezza. Di conseguenza tutti i rettangoli con i quali approssimiamo l’area sottesa dal grafico della funzione in \( [a,b] \) all’aumentare del loro numero diventeranno sempre più piccoli. E quindi siamo certi che al crescere di \( n \) la somma delle aree di tutti questi rettangolini si avvicinerà sempre di più all’area sottesa dal grafico della funzione nel tratto \( [a,b] \).
Sulla base di questi ragionamenti, definiamo integrale superiore della funzione \( f \) sull’intervallo \( [a,b] \) la quantità finita:
\[ I_{+} (f, [a,b])=\lim_{n \to \infty} S(f, \sigma) =\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1}M_i \cdot (x_{i+1}-x_i) \]
mentre definiamo integrale inferiore della funzione \( f \) sull’intervallo \( [a,b] \) la quantità finita:
\[ I_{-} (f, [a,b])=\lim_{n \to \infty} s(f, \sigma) =\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1}m_i \cdot (x_{i+1}-x_i) \]
Osserviamo che proprio grazie all’ipotesi di uniformità delle decomposizioni \( \sigma \) è possibile utilizzare l’algoritmo di limite come indicato.
E’ inoltre importante notare che affinché esistano gli integrali superiore ed inferiore i due limiti appena scritti devono esistere finiti.
Ora, poiché a prescindere dalla decomposizione \( \sigma \) considerata sappiamo che vale sempre e comunque la relazione:
\[ s(f, \sigma_1) \leq S(f, \sigma_2) \]
e poiché consideriamo inoltre decomposizioni uniformi, passando al limite si ha:
\[ \lim_{n \to \infty}s(f, \sigma_1) \leq \lim_{n \to \infty}S(f, \sigma_2) \]
ovvero per le precedenti definizioni:
\[ I_{-} (f, [a,b]) \leq I_{+} (f, [a,b]) \]
Di particolare interesse è il caso in cui si abbia l’uguaglianza:
\[ I_{-} (f, [a,b]) = I_{+} (f, [a,b]) \]
In tal caso la somma inferiore e la somma superiore coincidono e questo comune valore numerico rappresenta l’integrale definito della funzione \( f(x) \) su \( [a,b] \), che è il valore dell’area sottesa dal grafico della funzione su \( [a,b] \).
Definizione di integrale definito (funzione integrabile alla Riemann)
Sia data una funzione limitata \( f(x) \) definita in un intervallo chiuso e limitato \( [a,b] \). Sotto tali ipotesi la funzione si dice integrabile alla Riemann (o integrabile secondo Riemann) se e solo se i due valori relativi all’integrale inferiore di \( f(x) \) e all’integrale superiore di \( f(x) \) sullo stesso intervallo \( [a,b] \) coincidono:
\[ I_{-} (f, [a,b]) = I_{+} (f, [a,b]) \]
In tal caso diremo che esiste per \( f(x) \) l’integrale definito calcolato in \( [a,b] \), ovvero:
\[ \int_{a}^{b}f(x) \, dx =\lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)=\lim_{n \to \infty} s(f, \sigma) \]
Le funzioni che rispettano tale requisito si dicono funzioni integrabili e la relativa classe si può indicare ad esempio con:
\[ \mathcal{R}(a,b)=\{f:[a,b] \rightarrow \mathbb {R} \quad \text{t.c} \quad \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)=\lim_{n \to \infty} s(f, \sigma)\} \]
E’ importante sottolineare che l’integrale definito di una funzione sugli estremi \( a \) e \( b \), se esiste, è un numero e non una famiglia di funzioni. Questa è la fondamentale differenza tra i concetti di integrale definito e integrale indefinito.
IMPORTANTE: ovviamente anche nella definizione appena data le decomposizioni \( \sigma \) che consideriamo sono uniformi.
Osservazione (1). Nel caso in cui si vogliano considerare decomposizioni \( \sigma \) anche non uniformi, non possiamo più utilizzare l’algoritmo di limite nella definizione degli integrali superiore ad inferiore. Infatti, in tal caso il solo tendere ad \( \infty \) di \( n \) non assicura che tutti i rettangoli di base \( [x_i, x_{i+1}[ \) diventino sempre più piccoli. Per convincersene basta osservare che un qualsiasi intervallo di \( \mathbb{R} \) contiene sempre e comunque infiniti punti. E dunque per \( n \rightarrow \infty \) potrebbero “addensarsi infiniti rettangolini” soltanto in un sottointervallo di \( [a,b] \).
Nell’ipotesi di decomposizioni non necessariamente uniformi bisogna allora sostituire le definizioni di integrale superiore ed inferiore con le seguenti:
\[ I_{+} (f, [a,b])=\inf_{\sigma} S(f, \sigma), \qquad I_{-} (f, [a,b])=\sup_{\sigma} s(f, \sigma) \]
che corrispondono rispettivamente all’estremo inferiore e all’estremo superiore degli insiemi di tutte le possibili somme superiori ed inferiori al variare della decomposizione \( \sigma \) fra tutte le infinite possibili decomposizioni di \( [a,b] \).
Si è qui scelto di optare per decomposizioni uniformi dell’intervallo \( [a,b] \) proprio per poter utilizzare nella definizioni di integrale superiore ed inferiore il più intuitivo concetto di limite. Entrambe le definizioni per l’integrale di Riemann che derivano dai due differenti approcci sono in ogni caso equivalenti.
Osservazione (2). Una precisazione di carattere tecnico. Se definiamo l’integrale superiore e l’integrale inferiore utilizzando le nozioni di estremo inferiore ed estremo superiore, la possibilità che i due integrali possano coincidere è giustificata dal fatto che le due classi:
\[ \mathcal{A}=\{S(f, \sigma) \}, \qquad \mathcal{B}=\{s(f, \sigma) \} \]
possono essere contigue e in tal caso l’integrale di \( f(x) \) su \( [a,b] \) ne rappresenta l’elemento separatore.
Utilizzando invece la nozione di limite per definire le somme superiori ed inferiori, occorre a rigore dimostrare che vi sia la possibilità che entrambe le somme superiori ed inferiori per n \( \to \infty \) tendano ad uno stesso valore. Un’evidenza di questo è data dal fatto che tutte le funzioni uniformemente continue rispettano l’uguaglianza:
\[ \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)=\lim_{n \to \infty} s(f, \sigma) \]
Per dimostrarlo, osserviamo che se \( f(x) \) è uniformemente continua, allora dato \( \epsilon > 0 \) è possibile determinare in corrispondenza di esso un \( \delta>0 \) tale che, per \( |s-t| < \delta \), con \( s, \: t \in [a,b] \), si abbia \( |f(s)-f(t)|<\epsilon \). Ora, se prendiamo \( n \) sufficientemente grande di modo che si abbia \( \dfrac{b-a}{n}<\delta \), allora si ha \( M_i-m_i <\epsilon \) per ogni \( i \). Ciò significa che se consideriamo una partizione di \( [a,b] \) formata da intervalli \( [x_i, \: x_{i+1}[ \) di ampiezza sufficientemente piccola, allora riusciamo a rendere la differenza tra l’estremo superiore e l’estremo inferiore della funzione in ciascun intervallo piccola quanto vogliamo. Di conseguenza:
\[ \small \begin{align} &0 \leq S(f, \sigma)-s(f, \sigma)= \sum_{i=0}^{n-1} (M_i-m_i) \cdot (x_{i+1}-x_{i})<\sum_{i=0}^{n-1} \epsilon \cdot (x_{i+1}-x_i)= \\ \\ & = \epsilon \sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)= \epsilon (b-a)\end{align} \]
Poiché \( \epsilon \) è una quantità arbitraria, la differenza \( S(f, \sigma)-s(f, \sigma) \) diventa piccola quanto si vuole al crescere di \( n \), come volevamo dimostrare.
Alcune riflessioni sul simbolo di integrale definito
Riflettiamo un attimo sulla simbologia che rappresenta l’integrale definito:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Il \( dx \) indica la variabile di integrazione che nel caso dell’integrale definito è una variabile muta. Il risultato dell’integrale non cambia infatti utilizzando al posto della \( x \) una qualsiasi altra lettera. Ciò perché, lo sottolineiamo ancora, il risultato di un integrale definito è un numero e non una famiglia di funzioni (caso dell’integrale indefinito).
Con un certo abuso di linguaggio, possiamo immaginare la scrittura \( f(x) dx \) come il prodotto tra l’altezza e la base di un rettangolo infinitamente piccolo. Infatti, \( dx \) può essere visto come l’ampiezza di ciascun intervallo del tipo \( [x_i, \: x_{i+1}[ \) della partizione di \( [a,b] \), intervallo però tale da essere infinitamente piccolo. E la valutazione \( f(x) \) all’interno del simbolo di integrale definito rappresenta di volta in volta l’estremo superiore della funzione su ciascun intervallo infinitamente piccolo di ampiezza \( dx \), che effettivamente coincide con l’estremo inferiore su quello stesso intervallo. E infine il simbolo \( \int \) sta per somma, indicando che vengono sommate tra loro le aree di infiniti rettangoli elementari.
Per quanto riguarda questa prima lezione sull’integrale definito secondo Riemann è tutto. Nella prossima lezione stabiliremo una condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità di una funzione. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂