In questa lezione stabiliamo una condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità di una funzione. Si tratta in termini semplici di una condizione che se verificata permette di affermare che esiste l’integrale definito di una data funzione sull’intervallo \( [a,b] \) .
Nel definire la condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità di una funzione faremo uso delle definizioni viste nella precedente lezione sull’integrale definito alla Riemann. In particolare, nel formulare la condizione sull’integrabilità faremo uso delle nozioni di somma superiore e somma inferiore di una funzione \( f(x) \) rispetto ad una certa decomposizione \( \sigma \) dell’intervallo \( [a, b] \).
Vediamo allora subito la condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità di una funzione su un intervallo \( [a, b] \).
Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità di una funzione in un intervallo
Consideriamo un intervallo chiuso e limitato \( [a,b] \subset \mathbb{R} \). Una funzione \( f(x):[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) è integrabile alla Riemann sull’intervallo \( [a,b] \) se sussiste per ogni \( \epsilon > 0 \):
\[ S(f, \sigma) – s(f, \sigma)<\epsilon \qquad (*) \]
in corrispondenza di almeno una decomposizione \( \sigma \) dell’intervallo \( [a,b] \).
Tradotto in termini meno formali, il teorema stabilisce che per una funzione si ha l’integrabilità alla Riemann in \( [a,b] \) se e solo se, preso un \( \epsilon >0 \), comunque piccolo, esiste una decomposizione \( \sigma \) dell’intervallo \( [a,b] \) tale per cui la differenza tra la somma superiore e la somma inferiore rispetto a \( \sigma \) stessa risulta minore di \( \epsilon \). In altre parole, per ogni \( \epsilon >0\) è possibile trovare una decomposizione \( \sigma \) tale che la differenza tra le due somme superiore ed inferiore risulta minore di \( \epsilon \).
In conclusione, se per una funzione abbiamo l’integrabilità alla Riemann, allora la differenza tra le approssimazioni per eccesso e per difetto dell’area sottesa dal grafico della funzione in \( [a,b] \) (vedi figura) risulterà sempre piccola quanto si vuole a patto di scegliere un’opportuna decomposizione \( \sigma \) per \( [a,b] \).
Dimostrazione del teorema sulla condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità di una funzione
Cominciamo dimostrando che se una funzione è integrabile alla Riemann, allora ritroviamo la condizione (*).
Come sappiamo dalla precedente lezione, una funzione è integrabile alla Riemann se e solo se, sotto l’ipotesi di decomposizioni \( \sigma \) uniformi, sussiste l’uguaglianza tra gli integrali superiore ed inferiore:
\[ \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)=\lim_{n \to \infty}s(f,\sigma) \]
ovvero, nel caso di decomposizioni \( \sigma \) non necessariamente uniformi:
\[ \inf_{\sigma}S(f, \sigma) = \sup_{\sigma}s(f, \sigma) \]
Scegliamo di considerare il caso relativo a decomposizioni \( \sigma \) uniformi, definendo di conseguenza l’integrale superiore e l’integrale inferiore utilizzando l’algoritmo di limite. E’ comunque possibile adattare facilmente quanto segue al caso di decomposizioni non necessariamente uniformi semplicemente sostituendo le espressioni degli integrali superiori ed inferiori di conseguenza.
Ora, se fissato un certo \( \epsilon > 0 \) scegliamo per esso due opportuni valori \( n_1 \) e \( n_2 \) del numero di intervalli di due differenti partizioni di \( [a,b] \), a cui corrispondono due diverse decomposizioni \( \sigma_1 \) e \( \sigma_2 \) per \( [a,b] \) , allora risulteranno verificate le condizioni:
\[ \begin{align} & s(f, \sigma_1)>\lim_{n \to \infty}s(f, \sigma)-\epsilon \\ \\ &S(f, \sigma_2)<\lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)+\epsilon \end {align} \]
In altre parole, è possibile invertire il verso delle disuguaglianze valide per definizione \( s(f, \sigma_1)<\displaystyle \lim_{n \to \infty}s(f, \sigma) \) e \( S(f, \sigma_2)>\displaystyle \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma) \), a patto però di sommare algebricamente ai rispettivi secondi membri un’opportuna quantità, in questo caso \( \epsilon \).
Ora, definita una decomposizione \( \overline{\sigma}=\sigma_1 \cup \sigma_2 \) avente chiaramente più punti di ciascuna decomposizione \( \sigma_1 \) e \( \sigma_2 \), in forza delle relazioni \( s(f, \sigma) \leq S(f, \sigma) \) e \( s(f,\sigma_1)\leq S(f, \sigma_2) \) viste nella precedente lezione, si ha:
\[ \small \lim_{n \to \infty} s(f, \sigma)-\epsilon<s(f, \sigma_1) \leq s(f, \overline{\sigma}) \leq S(f, \overline{\sigma}) \leq S(f, \sigma_2)< \lim_{n \to \infty}S(f,\sigma)+\epsilon \]
da cui segue:
\[ \begin{cases}\displaystyle \lim_{n \to \infty} s(f, \sigma)-\epsilon < s(f, \overline{\sigma}) \\ \\ \displaystyle \lim_{n \to \infty}S(f,\sigma)+\epsilon > S(f, \overline{\sigma})\end{cases} \]
ovvero:
\[ \begin{cases}\displaystyle \lim_{n \to \infty} s(f, \sigma)-\epsilon – s(f, \overline{\sigma}) <0\\ \\ \displaystyle \lim_{n \to \infty}S(f,\sigma)+\epsilon – S(f, \overline{\sigma})>0\end{cases} \]
e di conseguenza:
\[ \lim_{n \to \infty} s(f, \sigma)-\epsilon – s(f, \overline{\sigma})<\lim_{n \to \infty}S(f,\sigma)+\epsilon – S(f, \overline{\sigma}) \]
e quindi, trasportando dei termini:
\[ S(f, \overline{\sigma}) – s(f, \overline{\sigma})<\lim_{n \to \infty}S(f,\sigma)+\epsilon-\lim_{n \to \infty} s(f, \sigma)+\epsilon \]
Poiché per ipotesi la funzione \( f(x) \) è integrabile, si ha\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}S(f,\sigma)= \displaystyle\lim_{n \to \infty} s(f, \sigma) \) e la precedente diviene:
\[ S(f, \overline{\sigma}) – s(f, \overline{\sigma})<2 \epsilon \]
da cui data l’arbitrarietà di \( \epsilon \) segue la tesi. 😉
Rimane ora da dimostrare che se sussiste la condizione (*) allora la funzione è integrabile alla Riemann su \( [a,b] \). Partiamo allora proprio dalla (*). Per le ipotesi date, fissato un \( \epsilon > 0 \) esiste necessariamente una decomposizione \( \sigma_1 \) tale che:
\[ S(f, \sigma_1) – s(f, \sigma_1)<\epsilon \]
Come conseguenza delle definizioni utilizzate per introdurre l’integrale alla Riemann, si ha:
\[ \begin{cases}\displaystyle S(f, \sigma_1) > \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma) \\ \\ \displaystyle s(f, \sigma_1)<\lim_{n \to \infty}s(f, \sigma) \end{cases} \]
ovvero:
\[ \begin{cases}\displaystyle S(f, \sigma_1) – \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)>0 \\ \\ \displaystyle s(f, \sigma_1)-\lim_{n \to \infty}s(f, \sigma) <0\end{cases} \]
e quindi:
\[ S(f, \sigma_1) – \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)>s(f, \sigma_1)-\lim_{n \to \infty}s(f, \sigma) \]
ovvero ancora, trasportando opportunamente i termini:
\[ \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)-\lim_{n \to \infty}s(f, \sigma)<S(f, \sigma_1) -s(f, \sigma_1) \]
Poiché per ipotesi \( S(f, \sigma_1) – s(f, \sigma_1)<\epsilon \) e quindi \( \epsilon >S(f, \sigma_1) – s(f, \sigma_1) \) si ha:
\[ \epsilon > \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)-\lim_{n \to \infty}s(f, \sigma) \qquad (**) \]
Ma poiché \( \epsilon \) è una quantità arbitraria che può essere piccola quanto si vuole mentre la differenza \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)-\lim_{n \to \infty}s(f, \sigma) \) è un numero reale che non dipende da \( \epsilon \), affinché la (**) sia verificata deve essere necessariamente:
\[ \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)-\lim_{n \to \infty}s(f, \sigma)=0 \]
da cui:
\[ \lim_{n \to \infty} S(f, \sigma)=\lim_{n \to \infty}s(f, \sigma) \]
e quindi la tesi. 😉
Esempio di funzione non integrabile alla Riemann
Un classico esempio di funzione non integrabile secondo Riemann è dato dalla funzione di Dirichlet, ovvero una funzione definita sull’intervallo \( [a,b] \) e tale che:
\[ \chi(x) = \begin{cases}1 \quad \text{se} \quad x \in [a,b] \cap \mathbb{Q} \\ \\ 0 \quad \text{se} \quad x \in [a,b] \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \]
In pratica si tratta di una funzione che vale \( 1 \) se \( x \) è razionale e che vale \( 0 \) se \( x \) non è razionale.
Per il precedente teorema affinché una funzione sia integrabile alla Riemann deve essere, posto \( \epsilon > 0 \) e scelta un’opportuna decomposizione \( \sigma \) di \( [a,b] \):
\[ S(f, \sigma) – s(f, \sigma)<\epsilon \qquad (*)\]
Se non esiste nessuna decomposizione \( \sigma \) dell’intervallo in grado di soddisfare la relazione, allora la funzione non è integrabile alla Riemann.
Vogliamo ora dimostrare che la funzione di Dirichlet non rispetta tale condizione per nessuna decomposizione \( \sigma \) di \( [a,b] \).
Per la somma superiore si ha:
\[ \begin{align}&S(f, \sigma)=\sum_{i=0}^{ n-1} M_i \cdot (x_{i+1}-x_{i})=\\ \\ & = \sum_{i=0}^{ n-1} \overbrace{\sup_{[x_i, x_{i+1}[} \chi(x)}^{1} \cdot (x_{i+1}-x_i)=\sum_{i=0}^{ n-1}(x_{i+1}-x_i)=b-a \end{align} \]
mentre per la somma inferiore:
\[ \begin{align}&s(f, \sigma)=\sum_{i=0}^{ n-1} m_i \cdot (x_{i+1}-x_{i}) = \sum_{i=0}^{ n-1} \overbrace{\inf_{[x_i, x_{i+1}[} \chi(x)}^{0} \cdot (x_{i+1}-x_i)= 0 \end{align} \]
Di conseguenza si ha:
\[ S(f, \sigma) – s(f, \sigma)=b-a \]
e quindi la (*) per la funzione di Dirichlet diviene:
\[ b-a< \epsilon \]
relazione che evidentemente non può essere soddisfatta per un qualunque \( \epsilon>0 \). Infatti la differenza \( b-a \) è un numero non nullo. E tra l’altro \( b-a \) è indipendente dalla particolare decomposizione \( \sigma \) scelta per \( [a,b] \). Per cui la relazione non sarà verificata per nessuna decomposizione \( \sigma \). Ciò dimostra in conclusione che la funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann su un intervallo \( [a,b] \).
Per questa lezione sulla condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità alla Riemann di una funzione è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo delle classi di funzioni integrabili. 🙂