Nelle prossime lezioni vedremo invece come integrare funzioni razionali che contengono termini in seno e coseno e come integrare il prodotto tra potenze di funzioni trigonometriche. Adesso ci preoccuperemo di fornire le basi sull’integrazione delle funzioni trigonometriche, in modo da poter poi affrontare tranquillamente i casi meno elementari.
Cominciamo allora subito lo studio degli integrali delle funzioni trigonometriche. Via! 🙂
Integrali delle funzioni trigonometriche: integrali desumibili dalla regole di derivazione
Riportiamo a seguire i più importanti integrali indefiniti di funzioni trigonometriche che discendono direttamente da regole di derivazione.
\[ \small \begin{align}& \int \sin x \, dx = -\cos x + c &&\text{in quanto} \quad \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=-\dfrac{d}{dx}\cos x =\sin x \\ \\ &\int \cos x \, dx = \sin x + c &&\text{in quanto} \quad \dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x \\ \\ & \int \dfrac{1}{\cos^2 x}= \tan x +c && \text{in quanto} \quad \dfrac{d}{dx}\tan x =\dfrac{d}{dx}\dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{1}{\cos^2 x} \\ \\ & \int \dfrac{1}{\sin^2 x}=-\cot x+c &&\text{in quanto} \quad \dfrac{d}{dx}(- \cot x) = \dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{\tan x} \right) = \dfrac{1}{\sin^2 x}\\ \\ & \int \tan x \, dx = -\ln | \cos x | + c &&\text{in quanto} \quad \dfrac{d}{dx} – \ln \cos (x)=-\dfrac{1}{\cos x}\cdot (-\sin x ) = \tan x \\ \\ & \int \cot x \, d x = \ln |\sin x |+c &&\text{in quanto} \quad \dfrac{d}{dx} \ln (\sin x ) = \dfrac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \dfrac{\cos x}{\sin x } = \cot x\end{align} \]
Ricordiamo che il calcolo dell’integrale indefinito è l’operazione inversa della derivazione a meno di una costante additiva \( c \in \mathbb{R} \) e che il risultato di un integrale indefinito è una famiglia di antiderivate. Così derivando una qualsiasi antiderivata o primitiva della famiglia dovremo ottenere la funzione di partenza (funzione integranda). Questo è il ragionamento fatto nello scrivere i precedenti integrali.
Gli integrali delle funzioni tangente e cotangente possono anche essere ricavati mediante integrazione per sostituzione. Di questo ci occuperemo alla fine della lezione. 😉
Integrali di potenze di funzioni trigonometriche
Passiamo ora in rassegna alcuni casi di integrali indefiniti delle potenze di funzioni trigonometriche. Per il calcolo degli integrali utilizzeremo la tecnica di integrazione per parti.
Integrale del seno al quadrato di x
Vediamo come calcolare l’integrale del seno al quadrato di \( x \):
\[ \int \sin ^ 2 x \, dx \]
Per la proprietà del prodotto tra potenze di uguale base, applicata in senso inverso, considerando come base \( \sin x \):
\[ \int \sin ^ 2 x \, dx = \int \sin x \cdot \sin x \, dx \]
Abbiamo così riscritto la funzione da integrare come un prodotto tra funzioni e possiamo procedere integrando per parti. Si ha:
\[ \begin{align}&\int \overbrace{\sin x}^{f(x)} \cdot \overbrace{\sin x}^{h(x)} \, dx= \overbrace{\sin x}^{f(x)}\cdot \overbrace{(-\cos x)}^{H(x)}-\int \overbrace{\cos x}^{f'(x)} \cdot \overbrace{(-\cos x}^{H(x)}) \, dx = \\ \\ & =-\sin x \cos x +\int \cos^2 x \, dx = (*) \end{align} \]
Nella formula di integrazione per parti ricordiamo che con \( H(x) \) intendiamo un’antiderivata o primitiva di \( h(x) \).
Apparentemente siamo in un vicolo cieco poiché ci ritroviamo a dover calcolare \( \displaystyle \int \cos^2 x \, dx \). Ma possiamo riesprimere \( \cos^2 x \) grazie alla relazione fondamentale della trigonometria come \( \cos^2 x = 1 – \sin^2 x \). Per cui la precedente espressione diviene:
\[ \begin{align}(*)&=-\sin x \cos x + \int 1-\sin^2 x \, dx = \\ \\ & = -\sin x \cos x + \int 1dx – \int \sin^2 x \, dx = \\ \ & = -\sin x \cos x + x-\int \sin^2x dx \end{align} \]
Per cui ricordando che eravamo partiti da \( \displaystyle \int \sin^2 x \, dx \) possiamo scrivere:
\[ \int \sin^2 x \, dx =-\sin x \cos x + x-\int \sin^2x dx \]
ovvero, trasportando al primo membro l’integrale al secondo membro (nell’effettuare questo dobbiamo introdurre la costante additiva al secondo membro) :
\[ \int \sin^2 x \, dx + \int \sin^2 x \, dx =-\sin x \cos x + x + c \]
E’ possibile a questo punto sommare tra loro i due integrali al primo membro poiché sono due quantità tra loro uguali, al pari di due monomi simili:
\[ 2\int \sin^2 x \, dx =-\sin x \cos x + x + c \]
e quindi in conclusione:
\[ \int \sin^2 x \, dx =\dfrac{-\sin x \cos x + x}{2} + c, \qquad c \in \mathbb{R} \]
Integrale del coseno al quadrato di x
Vediamo ora come calcolare l’integrale del coseno al quadrato di \( x \):
\[ \int \cos^2 x \, dx \]
Possiamo procedere per parti in modo del tutto simile all’integrale precedente. Riportiamo a seguire i soli passaggi, poiché le considerazioni da fare sono praticamente le stesse del caso appena visto:
\[ \begin{align}&\int \cos^2 x \, dx = \int \cos x \cdot \cos x \, dx = \\ \\ & = \cos x \cdot \sin x – \int (-\sin x )\cdot \sin x \, dx = \cos x \sin x +\int \sin^2 x \, d x= \\ \\ &= \cos x \sin x + \int (1- \cos^2 x ) \, d x= \cos x \sin x+x -\int \cos^2 x \, dx \\ \\ & \Rightarrow \int \cos^2 x \, d x + \int \cos^2 x \, dx = \cos x \sin x +x +c \\ \\ &\Rightarrow 2 \int \cos^2 x \, d x= \cos x \sin x + x + c \\ \\ & \Rightarrow \int \cos^2 x \, dx = \dfrac{\cos x \sin x + x }{2}+c \end{align} \]
Per cui in conclusione:
\[ \int \cos^2 x \, dx =\dfrac{\cos x \sin x + x }{2}+c, \qquad c \in \mathbb{R} \]
Grazie ai risultati ottenuti per gli integrali del seno al quadrato e del coseno al quadrato di \( x \) possiamo calcolare gli integrali indefiniti del seno al cubo e del coseno al cubo di \( x. \)
Integrale del seno al cubo di x
Vediamo come calcolare l’integrale del seno al cubo di \( x \):
\[ \int \sin^3 x \, dx \]
L’idea è quella di ricondurre la funzione da integrare ad un prodotto di funzioni sulle quali già sappiamo lavorare. In tal modo potremo procedere per parti. Si ha per le proprietà delle potenze:
\[ \int \sin^3 x \, dx=\int \sin x \cdot \sin^2 x \, dx \]
Poiché l’espressione della derivata di \( \sin^2 x \) è più compatta rispetto all’espressione dell’integrale indefinito di \( \sin^2 x \), per applicare la formula di integrazione per parti conviene porre \( f(x) = \sin^2 x \) e \( h(x) = \sin x \). Abbiamo:
\[ \begin{align}& \int \sin x \cdot \sin^2 x \, dx = \sin^2 x \cdot (-\cos x )-\int 2 \sin x \cos x \cdot(-\cos x)\, d x = \\ \\ & = -\cos x \sin^2 x +2\int \sin x \cos ^2 x \, dx =\end{align} \]
Anche in questo caso per non ritrovarci in un vicolo cieco utilizziamo la relazione fondamentale della trigonometria. Proseguendo i passaggi:
\[ \begin{align}&=-\cos x \sin^2 x +2\int \sin x (1- \sin^2 x ) \, dx = \\ \\ & = -\cos x \sin^2 x + 2 \int \sin x -\sin ^3 x \, dx = \\ \\ & = -\cos x \sin ^2 x +2 (-\cos x )-2\int \sin^3x \, d x = \\ \\ & = -\cos x \sin ^2 x -2 \cos x -2\int \sin^3x \, d x \end{align} \]
Ricordandoci che eravamo partiti con \( \displaystyle \int \sin^3 x \, dx \) possiamo quindi scrivere:
\[ \int \sin^3 x \, dx = -\cos x \sin ^2 x -2 \cos x -2\int \sin^3x \, d x \]
e in conclusione:
\[ \int \sin^3 x \, dx = \dfrac{-\cos x \sin ^2 x }{3}- \dfrac{2}{3}\cos x +c, \qquad c \in \mathbb{R} \]
Integrale del coseno al cubo di x
Per calcolare l’integrale del coseno al cubo di \( x \) procediamo in modo del tutto simile al calcolo dell’integrale del seno al cubo di \( x \). Si ha:
\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \cdot \cos^2 x \, d x \]
E quindi:
\[ \begin{align}&\int \cos x \cdot \cos^2 x \, d x= \cos^2 x \cdot \sin x – \int 2 \cos x \cdot(-\sin x )\sin x \, d x= \\ \\ & = \cos^2 x\sin x+2\int \cos x \sin^2 x \, d x=\\ \\ & = \cos^2 x \sin x + 2 \int \cos x (1 – \ \cos^2 x ) \, dx = \\ \\ & = \cos^2 x \sin x +2\int \cos x – \cos^3 x\, dx = \\ \\ & = \cos^2 x \sin x +2\int \cos x \, d x-2 \int \cos^3 x \, dx = \\ \\ & = \cos^2 x \sin x +2 \sin x -2 \int \cos ^3 x \, dx \end{align} \]
Di conseguenza:
\[ \int \cos^3 x \, dx = \cos^2 x \sin x +2 \sin x -2 \int \cos ^3 x \, dx \]
E in conclusione:
\[ \int \cos^3 x \, dx = \dfrac{\cos^2 x \sin x}{3}+\dfrac{2}{3} \sin x +c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Concludiamo la lezione mostrando come si calcolano l’integrale della tangente di \( x \) e l’integrale della cotangente di \( x \) mediante tecniche di integrazione per sostituzione. Ciò in aggiunta a quanto visto all’inizio della lezione, ove abbiamo già riportato tali integrali giustificandoli mediante le corrispondenti regole di derivazione.
Come calcolare l’integrale della tangente di x
Vogliamo ora mostrare come calcolare l’integrale della tangente di \( x \):
\[ \int \tan x \, d x \]
Osserviamo che per la definizione di tangente si ha:
\[ \int \tan x \, d x = \int \dfrac{\sin x}{\cos x } \, d x \]
Ora, possiamo riscrivere l’integrale come:
\[ \int \dfrac{\sin x}{\cos x } \, d x=\int \dfrac{1}{\cos x} \cdot \boxed{\sin x \, dx} \]
Osserviamo che \( \sin x \, dx \) è il differenziale della funzione \( -\cos x \). Ciò significa che tale differenziale corrisponde ad un integrale nella variabile \( t=-\cos x \). Lavoriamo allora sui segni dell’integrale da calcolare in modo da avere nell’integranda proprio \( -\cos x \):
\[ \int \dfrac{1}{\cos x} \cdot {\sin x \, dx}=-\int \dfrac{1}{-\cos x} \cdot \sin x \, dx \]
Per cui per la prima formula di integrazione per sostituzione ponendo \( -\cos x = t \) possiamo scrivere:
\[ \small -\int \dfrac{1}{-\cos x} \cdot \sin x \, dx=-\int \dfrac{1}{t} \, dt = -\ln|t|+c=-\ln|-\cos x |+c=-\ln|\cos x |+c \]
Per cui abbiamo in conclusione:
\[ \int \tan x \, dx =-\ln|\cos x |+c \]
Come calcolare l’integrale della cotangente di x
In modo del tutto simile possiamo calcolare l’integrale della cotangente di \( x \):
\[ \int \cot x \, d x \]
Si ha, per la definizione di cotangente:
\[ \int \cot x \, d x = \int \dfrac{\cos x}{\sin x} \, dx \]
ovvero:
\[ \int \dfrac{1}{\sin x} \cdot \cos x\, dx \]
Ma \( \cos x \, dx \) è proprio il differenziale di un integrale nella variabile \( t= \sin x \). Per cui ponendo \( t= \sin x \) possiamo scrivere:
\[ \int \dfrac{1}{\sin x} \cdot \cos x\, dx=\int \dfrac{1}{t} \, dt = \ln|t|+c =\ln |\sin x |+c \]
E quindi in conclusione:
\[ \int \cot x \, d x =\ln |\sin x |+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
In questo caso ce la siamo cavata senza nessun aggiustamento sui segni. Il differenziale era già bello pronto. 😉
E sugli integrali delle funzioni trigonometriche c’è molto altro ancora…
Per questa prima lezione sugli integrali delle funzioni trigonometriche è tutto. Non perdetevi la prossima lezione nella quale vedremo come calcolare gli integrali indefiniti di funzioni contenenti termini in seno e coseno e riconducibili a funzioni razionali. In questo caso ci saranno di aiuto le formule parametriche razionali.
Nella lezione ancora successiva ci occuperemo poi degli integrali contenenti prodotti tra potenze di funzioni trigonometriche. E nelle lezioni ancora successive vedremo ulteriori casi. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂