L’idea alla base del metodo per risolvere gli integrali trigonometrici con sostituzioni parametriche sta nel fatto di poter riscrivere in forma algebrica un’espressione contenente funzioni trigonometriche mediante l’uso di un parametro.
Se ad esempio abbiamo l’espressione:
\[ \dfrac{\sin^2x+1}{\sin x+3} \]
ponendo \( \sin x = t \) possiamo riscrivere l’espressione nella variabile \( t \) come:
\[ \dfrac{t^2+1}{t+3} \]
Così diciamo che grazie al parametro \( t \) abbiamo trasformato l’espressione di partenza (che è trigonometrica) in un’espressione algebrica (una frazione algebrica, o espressione razionale).
L’utilità di tali sostituzioni per gli integrali è chiara: possiamo ricondurre un’integrale trigonometrico ad un integrale razionale che sappiamo calcolare.
Mentre nel caso dell’espressione considerata la sostituzione è ovvia, meno ovvio è capire quale sostituzione porre ad esempio nel caso di:
\[ \dfrac{\sin x}{\sin x + \cos x } \]
Ma in questo caso vengono in nostro aiuto le formule parametriche razionali. Di conseguenza, mostreremo che è possibile calcolare ad esempio l’integrale:
\[ \int \dfrac{\sin x }{\sin x + \cos x } \, dx \]
riconducendolo ad un integrale razionale (integrale di un rapporto tra polinomi) nella variabile (o parametro) \( t \).
Vediamo allora subito come calcolare gli integrali trigonometrici con sostituzioni parametriche. 🙂
Integrali trigonometrici per sostituzione parametrica (formule parametriche razionali)
Le formule parametriche razionali consentono di esprimere le funzioni seno e coseno in funzione della tangente. Si ha:
\[ \sin x = \frac{2\tan \dfrac{x}{2}}{1 + \tan^2\dfrac{x}{2}}; \qquad \cos x = \frac{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2\dfrac{x}{2}} \]
ovvero ponendo la sostituzione \( t=\tan \left(\dfrac{x}{2} \right) \) (valida per \( x \in ]-\pi, \: \pi[ \)):
\[ \sin x= \dfrac{2t}{t^2+1}; \qquad \cos x = \dfrac{1-t^2}{t^2+1} \]
Inoltre si ha per la tangente:
\[ \tan x = \dfrac{2t}{1-t^2} \]
Di conseguenza per calcolare l’integrale:
\[ \int \dfrac{\sin x }{\sin x + \cos x } \, dx \]
ponendo la sostituzione \( t=\tan \left(\dfrac{x}{2}\right) \) (per \( x \in ]-\pi, \pi[ \)) saremo in grado di riesprimere l’integranda nella sola variabile \( t \), in modo da poter calcolare l’integrale rispetto alla variabile \( t \) stessa.
Le formule parametriche razionali già ci dicono come riscrivere la funzione integranda nella variabile \( t \). Basterà infatti effettuare le sostituzioni \( \sin x = \dfrac{2t}{t^2+1} \) e \( \cos x = \dfrac{1-t^2}{t^2+1} \) (e eventualmente \( \tan x = \dfrac{2t}{1-t^2} \) se in generale nell’integranda compare anche \( \tan x \)) .
Ora, attenzione. Poiché stiamo di fatto utilizzando la regola dell’integrazione per sostituzione (seconda formula), dobbiamo anche riscrivere il differenziale nella nuova variabile \( t \). Per fare questo, il primo passo è ottenere un’espressione per la variabile \( x \) in funzione di \( t \). Ciò equivale a riscrivere la \( x \) come una funzione \( g(t) \).
Dalla sostituzione che abbiamo posto all’inizio, ovvero \( t=\tan \left(\dfrac{x}{2}\right) \) possiamo ricavare la \( x \):
\[ t=\tan \left(\dfrac{x}{2}\right) \quad \Rightarrow \dfrac{x}{2}=\arctan t \quad \Rightarrow x=2 \arctan t \]
Per il differenziale si ha:
\[ dx = \dfrac{d}{dt}g(t) \, dt = \dfrac{d}{dt} 2 \arctan t \, dt = \dfrac{2}{t^2+1} \, dt \]
Ora abbiamo tutto quello che ci serve per poter riscrivere l’integrale di partenza nella nuova variabile \( t \). Si ha:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{\sin x }{\sin x+ \cos x } \, dx=\int \dfrac{\dfrac{2t}{t^2+1}}{\dfrac{2t}{t^2+1}+\dfrac{1-t^2}{t^2+1}}\cdot \dfrac{2}{t^2+1} \, dt = \\ \\ & = \int \dfrac{\dfrac{2t}{t^2+1}}{\dfrac{-t^2+2t+1}{t^2+1}} \cdot \dfrac{2}{t^2+1} \, dt = \\ \\ & =\int \dfrac{2t}{t^2+1}\cdot \dfrac{t^2+1}{-t^2+2t+1} \cdot \dfrac{2}{t^2+1}\, d t= \\ \\ & = \int \dfrac{4t}{(t^2+1)(-t^2+2t+1)} \, dt\end{align} \]
Ci ritroviamo così a dover calcolare un integrale razionale. Osserviamo che il grado del polinomio a numeratore è minore del grado del polinomio a denominatore per cui dobbiamo ricorrere alle frazioni parziali. Si ha:
\[ \int \dfrac{4t}{(t^2+1)(-t^2+2t+1)} \, dt=\int \dfrac{At+B}{t^2+1} +\dfrac{Ct+D}{-t^2+2t+1} \, dt \]
Con i metodi già visti nella lezione sugli integrali di funzioni razionali otteniamo:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{4t}{(t^2+1)(-t^2+2t+1)} \, dt=\int \dfrac{t+1}{t^2+1} +\dfrac{t-1}{-t^2+2t+1} \, dt = \\ \\ & = \dfrac{1}{2}\int \dfrac{2t}{t^2+1}\, dt +\int \dfrac{1}{t^2+1}\, dt -\dfrac{1}{2}\int \dfrac{2t-2}{t^2-2t-1} \, dt = \\ \\ & = \dfrac{1}{2} \ln (t^2+1)+\arctan t -\dfrac{1}{2} \ln |t^2-2t-1|+c= \\ \\ & = \dfrac{1}{2}\ln \left|\dfrac{t^2+1}{t^2-2t-1} \right|+ \arctan t +c = \end{align} \]
Ora non resta che sostituire \( t = \tan\left(\dfrac{x}{2} \right) \) ottenendo in conclusione:
\[ =\dfrac{1}{2}\ln \left|\dfrac{\tan^2 (x/2)+1}{\tan^2(x/2)-2 \tan(x/2)-1} \right|+ \dfrac{x}{2}+c, \qquad c \in \mathbb{R} \]
Quando non usare le formule parametriche razionali
Le formule parametriche razionali nel calcolo degli integrali trigonometrici portano a sostituzioni piuttosto ingombranti. Di conseguenza, è bene controllare se l’integrale assegnato non possa essere calcolato con metodi più semplici. Nel caso precedente non avevamo altre evidenti soluzioni, ma nel seguente integrale:
\[ \int \dfrac{\sin x +\cos x}{\sin x} \, dx \]
non conviene affatto utilizzare una sostituzione parametrica. Infatti si ha:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{\sin x +\cos x}{\sin x} \, dx=\int \dfrac{\sin x }{\sin x} + \dfrac{\cos x }{\sin x} \, dx = \\ \\ & = \int 1\, dx +\int \dfrac{1}{\sin x} \cdot \cos x\, dx = x+\ln|\sin(x)|+c, \quad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
Inoltre, gli integrali trigonometrici si risolvono per sostituzione parametrica (usando le formule parametriche razionali) soltanto quando siamo in presenza di un’espressione razionale contenente funzioni trigonometriche che non sono elevate ad esponente diverso da \( 1 \).
In parole povere un integrale del tipo:
\[ \int \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x+ \sin^2 x} \, dx \]
non può essere calcolato utilizzando la sostituzione \( t=\tan\left(\dfrac{x}{2} \right) \) poiché le funzioni trigonometriche hanno esponente \( 2 \neq 1 \). In questo caso occorre porre la sostituzione:
\[ t = \tan x \]
Ovviamente sarà ancora necessario riesprimere le funzioni trigonometriche in funzione di \( t \). E stavolta non potremo utilizzare le formule parametriche razionali, ma dovremo ricavare da soli le espressioni necessarie per il passaggio dell’integrale alla nuova variabile \( t \).
La sostituzione \( t=\tan x \) viene adottata in generale in presenza di un’espressione razionale contenente funzioni trigonometriche elevate tutte ad un esponente pari.
Esempio
Calcolare:
\[ \int \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x+ \sin^2 x} \, dx \]
Poniamo la sostituzione:
\[ t = \tan x \quad \Rightarrow \quad x= \arctan t \]
valida per \( t \in ]-\pi/2, \: \pi/2[ \), ovvero in un intervallo ove la funzione tangente è invertibile.
Per il differenziale:
\[ dx= \dfrac{d}{dt} \arctan t \, dt =\dfrac{1}{t^2+1} \, dt \]
Per riesprimere la funzione integranda nella nuova variabile \( t \) basta ricordare le seguenti identità dell’arcotangente:
\[ \sin \arctan x =\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}; \qquad \cos \arctan x = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \]
Ora possiamo riscrivere l’integrale nella nuova variabile \( t \):
\[ \begin{align}&\int \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x+ \sin^2 x} \, dx=\int \dfrac{\left(\sin \arctan t \right)^2}{\left(\cos \arctan t \right)^2+\left( \sin \arctan t\right)^2}\cdot \dfrac{1}{t^2+1} \, dt= \\ \\ & = \int \dfrac{\dfrac{t^2}{1+t^2}}{\dfrac{1}{{1+t^2}}+\dfrac{t^2}{1+t^2}}\cdot \dfrac{1}{t^2+1} \, dt= \\ \\ & = \int \dfrac{t^2}{1+t^2} \cdot \dfrac{1+t^2}{1+t^2} \cdot \dfrac{1}{t^2+1} \, dt = \\ \\ & = \int \dfrac{t^2}{(t^2+1)^2} \,dt = \int \dfrac{1}{t^2+1} \, dt -\int \dfrac{1}{\left(t^2+1 \right)^2} \, dt = \\ \\ &= \arctan t – \dfrac{\arctan t}{2}-\dfrac{t}{2(t^2+1)}+c = \dfrac{\arctan t}{2}-\dfrac{t}{2(t^2+1)}+c= \end{align} \]
E quindi risostituendo \( t=\tan x \) si ha in conclusione:
\[ =\dfrac{x}{2}-\dfrac{\tan x}{2(\tan^2x+1)}+c \]
OSSERVAZIONE. Per risolvere l’integrale presente nei precedenti passaggi:
\[ \int \dfrac{1}{\left(t^2+1 \right)^2} \, dt \]
si effettua la sostituzione \( t = \tan k \). Si ha:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{1}{\left(t^2+1 \right)^2} \, dt\stackrel{t=\tan k}{=}\int \dfrac{1}{(\tan^2 k +1)^2} \cdot \overbrace{\dfrac{1}{\cos^2 k} \, dk}^{dt=\frac{d}{dk} \tan k \, dk}= \\ \\ & = \int \dfrac{1}{\left( \dfrac{\sin^2 k}{\cos^2k }+1\right)^2} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 k} \, dk = \int \dfrac{1}{\left(\dfrac{\sin^2 k + \cos^2 k}{\cos^2 k} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 k} \, dk \stackrel= \\ \\ & = \int \dfrac{1}{\dfrac{\cos^2 k}{\cos^4 k}} \, dk = \int \cos^2 k \, dk\end{align} \]
Per quanto sappiamo sull’integrale del coseno quadro:
\[ \int \cos^2 k \, dk= \dfrac{\sin k \cos k}{2}+\dfrac{k}{2}+c= \]
Ora poiché avevamo posto \( t=\tan k \) si ha \( k = \arctan t \) e quindi possiamo riscrivere la precedente in funzione di \( t \):
\[ =\dfrac{\sin \arctan t \cdot \cos \arctan t}{2}+\dfrac{\arctan t}{2}+c = \]
ovvero, per le già viste identità dell’arcotangente:
\[ =\dfrac{t}{2(t^2+1)}+\dfrac{\arctan t}{2}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Per questa lezione sugli integrali trigonometrici con sostituzioni parametriche è tutto. Vi consigliamo di non perdervi la prossima lezione sugli integrali delle potenze di funzioni trigonometriche. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂