\[ \int\sin^n(x) \cdot \cos^m(x) \, dx, \qquad n,\: m \in \mathbb{N} \]
escluso il solo caso in cui siano \( n \) e \( m \) entrambi pari.
Così tratteremo integrali quali ad esempio:
\[ \small \int \sin^3 x \cos^2 x \, dx, \quad \int \sin^2 x \cos^3 x \, dx, \quad \int \sin^7 x \cos x \, dx, \quad \int \cos^4 x \sin x \, dx \]
Ove sia \( n = 0 \) oppure \( m = 0 \) ci ritroviamo nel caso dell’integrale di una potenza di funzione trigonometrica, che già abbiamo trattato in una precedente lezione.
Nel caso in cui si abbia \( n=1 \) e \( m=1 \) ci ritroviamo a dover integrare il prodotto:
\[ \int \sin x \cdot \cos x \, dx \]
L’integrale si può risolvere per parti, in quanto effettivamente è un prodotto di due funzioni che sappiamo derivare ed integrare. Tuttavia, per le finalità di questa lezione ci concentreremo piuttosto sul metodo di sostituzione. E a partire dai ragionamenti su questo integrale arriveremo ai metodi per calcolare gli integrali con potenze di funzioni trigonometriche moltiplicate tra loro.
Il rimanente caso in cui siano entrambi \( m \) ed \( n \) pari sarà oggetto della prossima lezione. 😉
Vediamo allora subito come calcolare gli integrali con potenze di funzioni trigonometriche moltiplicate tra loro.
Integrali di potenze di funzioni trigonometriche: metodo ed esempi
Cominciamo con il mostrare il ragionamento che sta alla base del calcolo di questo tipo di integrali per poi fornire degli esempi pratici.
Integrale del prodotto seno per coseno per sostituzione e sue conseguenze
Cominciamo con l’integrale:
\[ \int \sin x \cdot \cos x \, dx \]
Osserviamo che il termine \( \cos x \, dx \) può essere visto come un differenziale. In particolare, si tratta del differenziale della funzione \( \sin x \). E poiché \( \sin x \) compare nell’espressione da integrare, possiamo dire che ci ritroviamo davanti con l’integrale di \( \sin x \) nella variabile di integrazione \( \sin x \).
In altri termini, possiamo applicare la prima formula di integrazione per sostituzione ponendo \( \sin x = t \). Infatti, nell’integrale abbiamo un fattore pari alla derivata di \( \sin x \), ovvero \( \cos x \).
Si ha:
\[ \int \sin x \cdot \cos x \, dx\stackrel{\sin x = t}{=}\int t \, d t=\dfrac{t^2}{2}+c \stackrel{t= \sin x}{=}\dfrac{\sin^2 x}{2}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Se ora abbiamo l’integrale:
\[ \int \sin^2 x \cos x \, dx \]
possiamo procedere in modo del tutto simile ponendo ancora \( \sin x = t \). In tal modo, operando la sostituzione ci riconduciamo all’integrale fondamentale della funzione potenza:
\[ \int \sin^2 x \cos x \, dx \stackrel{\sin x = t}{=} \int t^2 \, dt =\dfrac{t^3}{3}+c \stackrel{t=\sin x}{=}\dfrac{\sin^3 x}{3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
In generale avremo:
\[ \int \sin^p x \cos x \, dx = \dfrac{\sin^{p+1}x}{p+1}+c, \qquad c \in \mathbb{R} \]
Ora, ripartiamo dall’integrale:
\[ \int \sin x \cos x \, dx \]
e vediamo di rileggerlo in un altro modo. In particolare:
\[ \int \cos x \cdot \sin x \, dx \]
L’idea ora è quella di vedere il termine \( \sin x \, dx \) come il differenziale. E si tratta in particolare del differenziale della funzione \( -\cos x \) (infatti la derivata di \( \sin x \) è \( – \cos x \)). Tuttavia, nella funzione da integrare abbiamo \( \cos x \) e non \( -\cos x \). E’ allora necessario un aggiustamento di segno:
\[ \int \cos x \cdot \sin x \, dx=-\int -\cos x \cdot\sin x \, dx \]
A questo punto ci ritroviamo con l’integrale di \( -\cos x \) nella variabile \( -\cos x \) (infatti abbiamo il differenziale \( \dfrac{d}{dx}(-\cos x )\, dx = \sin x \, dx \)). Per cui possiamo procedere applicando la prima formula di integrazione per sostituzione:
\[ \small -\int -\cos x \cdot\sin x \, dx \stackrel{-\cos x = t}{=}-\int t \, dt =-\dfrac{t^2}{2}+c \:\: \stackrel{ t=-\cos x }{=} \: -\dfrac{\cos^2 x}{2}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Ragionando in questo modo possiamo calcolare l’integrale:
\[ \begin{align}& \int \cos^2 x \sin x \, dx =-\int -(-\cos x)^2 \sin x \, dx =\stackrel {-\cos x = t}{=} -\int -t^2 \, dt = \\ \\ & = \dfrac{t^3}{3}+c \:\: \stackrel{t=-\cos x }{=} -\dfrac{\cos^3x}{3}+c, \quad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
Così avremo in generale, in modo del tutto simile al caso precedente:
\[ \int \cos^p x \sin x \, dx=-\dfrac{\cos^{p+1} x}{p+1}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Un’osservazione. Per l’integrale \( \int \sin x \cos x \, dx \) abbiamo apparentemente ottenuto due risultati:
\[ \begin{align}&\int \sin x \cdot \cos x \, dx=\dfrac{\sin^2 x}{2}+c, \quad c \in \mathbb{R} \\ \\ &\int \sin x \cos x \, dx = -\int -\cos x \cdot\sin x \, dx = -\dfrac{\cos^2 x}{2}+c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
Per fortuna, non abbiamo nessuna contraddizione. I due risultati si equivalgono grazie alla relazione fondamentale della trigonometria. Ad esempio:
\[ \dfrac{\sin^2 x}{2}+c=\dfrac{1- \cos^2 x}{2}+c=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\cos^2 x}{2}+c=-\dfrac{\cos^2 x}{2}+c \]
Osserviamo che il valore numerico \( \dfrac{1}{2} \) viene “assorbito” dalla costante additiva. Infatti se la derivata di \( c \) è zero, anche la derivata di \( c+\dfrac{1}{2} \) è zero. Non a caso, \( c \) è una costante reale arbitraria.
Integrale di un prodotto tra potenze di funzioni trigonometriche con esponenti uno pari e l’altro dispari
Ora possiamo considerare il caso più generale:
\[ \int\sin^n(x) \cdot \cos^m(x) \, dx, \qquad n,\: m \in \mathbb{N} \]
ove risulta escluso il solo caso in cui entrambi gli esponenti siano pari.
Per calcolare l’integrale l’idea è quella di ricondurci ai casi che già conosciamo:
\[ \begin{align} & 1) \quad \int \sin^p x \cos x \, dx = \dfrac{\sin^{p+1}x}{p+1}+c, \qquad c \in \mathbb{R} \\ \\ \\ &2) \quad \int \cos^p x \sin x \, dx=-\dfrac{\cos^{p+1} x}{p+1}+c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
In particolare, ricondurremo integrali del tipo \( \int\sin^n(x) \cdot \cos^m(x) \, dx \) con un esponente pari e uno dispari a somme di integrali del tipo \( 1 \) oppure \( 2 \). E operando le opportune sostituzioni, ci ridurremo semplicemente al caso di somme (algebriche) di integrali di funzioni potenza.
Esempio 1
Calcolare:
\[ \int \sin^3 x \cdot \cos^2 x \, dx \]
La prima cosa da fare in integrali di questo tipo è applicare la regola del prodotto tra potenze di uguale base alla potenza trigonometrica dispari:
\[ \sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x \]
Così per l’integrale si ha:
\[ \int \sin^3 x \cdot \cos^2 x \, dx=\int \sin^2 x \cdot \sin x \cdot \cos^2 x \, d x \]
Ora riordiniamo i fattori in modo da avere la funzione trigonometrica non elevata a potenza vicino al simbolo \( dx \):
\[ \int \sin^2 x \cdot \cos^2 x \cdot \sin x\, d x \]
Poiché la derivata di \( -\cos x \) è \( \sin x \), il termine \( \sin x \, dx \) è il differenziale della funzione \( -\cos x \). Di conseguenza, ha senso cercare di ricondurre la funzione da integrare ad una potenza di \( – \cos x \) avendo nell’integrale proprio il differenziale \( \sin x \, dx \).
Il nostro obiettivo è allora chiaro: riesprimere l’integrale nella variabile \( -\cos x \). Poiché \( \cos^2 x = (-\cos x )^2 \) effettivamente già abbiamo una potenza di \( -\cos x \) nell’integranda. Il problema è il fattore \( \sin^2 x \). Ma per la relazione fondamentale della trigonometria si ha:
\[ \sin^2 x = 1 – \cos^2 x = 1 -(-\cos x)^2 \]
Per tutto quanto detto possiamo riscrivere l’integrale di partenza come l’integrale di una potenza di \( -\cos x \):
\[ \begin{align}& \int \sin^2 x \cdot \cos^2 x \cdot \sin x\, d x=\int (1-(-\cos x)^2 )\cdot (-\cos x )^2 \cdot \sin x \, dx \end{align} \]
A questo punto applicando la prima formula di integrazione per sostituzione possiamo porre \( -\cos x = t \). Per il differenziale si ha \( \sin x \, dx = dt \) e possiamo riscrivere l’integrale come somma di integrali di funzioni potenza:
\[ \int (1-t^2)t^2 \, dt=\int t^2-t^4 \, dt =\int t^2 dt – \int t^4 \, dt=\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{t^5}{5}+c \]
e risostituendo \( t= – \cos x \) otteniamo in conclusione:
\[ \int \sin^3 x \cdot \cos^2 x \, dx=-\dfrac{\cos^3 x }{3}+\dfrac{\cos^5 x}{5}+c \]
Esempio 2
Calcolare:
\[ \int \sin^ 2 x \cos^3 x \, dx \]
L’integrale somiglia al precedente ma ora abbiamo un esponente pari per \( \sin x \) e un esponente dispari per \( \cos x \). Come nel caso precedente, l’idea è sempre quella di utilizzare le proprietà delle potenze relativamente alla funzione con potenza dispari. Si ha:
\[ \int \sin^ 2 x \cos^3 x \, dx=\int \sin^2 x \cos^2 x \cos x \, dx \]
Osserviamo che \( \cos x \, dx \) è il differenziale della funzione \( \sin x \). Utilizziamo allora la relazione fondamentale della trigonometria per riesprimere \( \cos^2 x \) in funzione di \( \sin x \):
\[ \cos^2 x = 1 – \sin^2 x \]
Così l’integrale di partenza diviene:
\[ \int \sin^2 x (1- \sin^2 x) \cos x \, dx \]
A questo punto basta porre la sostituzione \( \sin x = t \). Infatti già abbiamo nell’integrale il corrispondente differenziale \( \cos x \, dx = dt \). Per cui:
\[ \begin{align}&\int \sin^2 x (1- \sin^2 x) \cos x \, dx \stackrel{\sin x = t}{=} \int t^2 (1-t^2) dt = \\ \\ & = \int t^2-t^4 \, dt = \int t^2 \, dt – \int t^4 \, dt = \\ \\ & = \dfrac{t^3}{3}-\dfrac{t^5}{5}+c \:\: \stackrel{t=\sin x}{=}\:\:\dfrac{\sin^3 x}{3}-\dfrac{\sin ^5 x}{5}+c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
Esempio 3
Calcolare l’integrale:
\[ \int \cos^3 x \sin^5 x \, dx \]
Abbiamo potenze entrambe dispari, per cui possiamo applicare la proprietà delle potenze indifferentemente ad una delle due. Ad esempio:
\[ \int \cos^3 x \sin^5 x \, dx=\int \sin^5 x \cos^2 x \cos x \, dx \]
Ci ritroviamo così \( \cos x \, dx \), ovvero il differenziale della funzione seno. Utilizziamo la relazione fondamentale della trigonometria sul fattore \( \cos^2 x \) ottenendo:
\[ \int \sin^5 x \cos^2 x \cos x \, dx=\int \sin^5 x (1-\sin^2 x) \cdot \cos x \, dx \]
A questo punto ponendo la sostituzione \( \sin x = t \):
\[ \int t^5 (1-t^2) \, dt = \int t^5 -t^7 \, dt = \int t^5 \, dt – \int t^7 \, dt = \dfrac{t^6}{6}-\dfrac{t^8}{8}+c= \]
Infine risostituendo \( t= \sin x \):
\[ =\dfrac{\sin^6 x}{6}-\dfrac{\sin ^8 x}{8}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
E quindi in conclusione:
\[ \int \cos^3 x \sin^5 x \, dx=\dfrac{\sin^6 x}{6}-\dfrac{\sin ^8 x}{8}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Integrali delle funzioni seno al cubo e coseno al cubo
Abbiamo già visto come calcolare gli integrali delle funzioni seno al cubo e coseno al cubo utilizzando la tecnica di integrazione per parti. A conclusione di questa lezione sugli integrali delle potenze di funzioni trigonometriche vedremo come utilizzare le tecniche di sostituzione sin qui viste per calcolare questi integrali.
Integrale di seno al cubo
Per il calcolo dell’integrale della funzione seno al cubo si ha:
\[ \begin{align}&\int \sin^3 x \, dx = \int \sin^2 x \sin x \, dx = \int (1- \cos^2 x ) \sin x \, dx = \\ \\ & = \int [1-(-\cos x)^2] \sin x \, dx\stackrel{-\cos x = t}{=} \: \int 1-t^2 \, dt = \\ \\ & = \int 1 \, dt – \int t^2 \, dt =t-\dfrac{t^3}{3}+c\: \: \stackrel{t=-\cos x}{=} \:\:-\cos x+\dfrac{\cos ^3 x}{3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
Il risultato ottenuto si dimostra essere equivalente a quello relativo alla tecnica di integrazione per parti.
Integrale di coseno al cubo
Per il calcolo dell’integrale della funzione coseno al cubo si ha:
\[ \begin{align}&\int \cos^3 x \, dx = \int \cos^2 x \cdot \cos x \, dx= \int (1- \sin^2 x) \cos x \, dx = \\ \\ & \stackrel{\sin x = t}{=}\int 1-t^2 \, dt = t-\dfrac{t^3}{3}+c \: \stackrel{t=\sin x}{=} \: \sin x -\dfrac{\sin^3 x}{3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
Anche in questo caso il risultato ottenuto è equivalente a quello ricavato con la tecnica di integrazione per parti.
Qui si conclude questa lezione sugli integrali con potenze di funzioni trigonometriche. Nella prossima lezione ci occuperemo del caso particolare dell’integrazione di un prodotto tra potenze trigonometriche aventi entrambe esponente pari. Ci saranno in questo caso di aiuto le formule di duplicazione. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂