Le formule parametriche razionali risultano in certi casi molto comode perché consentono di trasformare espressioni contenenti due funzioni trigonometriche (coseno e seno) in espressioni contenenti una sola funzione trigonometrica (tangente). Ciò è molto utile nella risoluzione di alcuni tipi di equazioni e disequazioni goniometriche.
Inoltre, le formule parametriche razionali risultano particolarmente versatili in quanto non ci richiedono di dover scegliere il segno. Da questo punto di vista funzionano meglio delle formule ottenibili dalla relazione fondamentale della trigonometria.
Consideriamo ad esempio l’espressione:
\[ senx + cosx +3\]
Se vogliamo trasformarla di modo che in essa compaia una sola funzione trigonometrica (ad esempio, solo \( sen x \)), potremo certamente usare la relazione fondamentale della trigonometria:
\[ senx = \pm \sqrt{1-cos^2x} \]
Tuttavia, come possiamo vedere ci ritroviamo con un segno da dover scegliere. Dunque, l’espressione sarà diversa a seconda del quadrante nel quale si trova l’angolo assegnato.
Invece, con le formule parametriche razionali l’espressione data può essere riscritta in una forma contenente solo la funzione tangente e valida in tutti i quadranti. L’unica differenza è una condizione di esistenza da porre, come vedremo fra un attimo 🙂
Formule parametriche razionali e relativa condizione di esistenza
Le formule parametriche razionali per il seno e per il coseno hanno rispettivamente espressione:
\[ sen \alpha = \frac{2tg \dfrac{\alpha}{2}}{1 + tg^2\dfrac{\alpha}{2}} \]
\[ cos \alpha = \frac{1-tg^2\dfrac{\alpha}{2}}{1+tg^2\dfrac{\alpha}{2}} \]
Entrambe le espressioni sono valide solo per:
\[ \frac{\alpha}{2} \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \]
Ciò infatti corrisponde alla condizione:
\[ cos \frac{\alpha}{2} \neq 0 \]
poiché per la definizione di tangente abbiamo che \( tg \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{sen \dfrac{\alpha}{2}}{cos \dfrac{\alpha}{2}} \), e chiaramente il denominatore di questa espressione non può essere nullo 😉
Dimostrazione delle formule
Abbiamo visto in precedenza la seconda e la terza formula di bisezione della tangente.
Posto \( tg \dfrac{\alpha}{2} = t \), possiamo mettere tali formule a sistema come segue:
\[ \begin{cases}t = \dfrac{1-cos\alpha}{sen\alpha} \\ \\ t = \dfrac{sen\alpha}{1+cos\alpha}\end{cases} \]
Risolviamo il sistema rispetto alle incognite \( sen\alpha \) e \( cos\alpha \).
Possiamo risolvere il sistema utilizzando il metodo di sostituzione.
\[ \begin{cases} & t \cdot sen \alpha = 1 – cos \alpha \\ \\ & t \cdot (1 + cos \alpha) = sen \alpha \end{cases} \]
\[ \begin{cases} sen \alpha = \dfrac{1-cos \alpha}{t} \\ \\ t ( 1 + cos \alpha) = \dfrac{1-cos\alpha}{t}\end{cases} \]
Ricaviamo \( cos \alpha \) dalla seconda equazione a sistema:
\[ \begin{align}& t ( 1 + cos \alpha) = \dfrac{1-cos\alpha}{t} \\ \\ & t+tcos\alpha = \dfrac{1-cos\alpha}{t} \\ \\ & t+tcos\alpha – \dfrac{1+cos\alpha}{t}=0 \\ \\ & \frac{t^2+t^2cos\alpha-1+cos\alpha}{t}=0 \\ \\ & t^2+cos\alpha(t^2+1)-1=0 \qquad (t \neq 0) \\ \\ & cos\alpha(t^2+1)=1-t^2 \\ \\ & cos\alpha = \dfrac{1-t^2}{t^2+1}\end{align} \]
Sostituiamo l’espressione per \( cos\alpha \) appena ottenuta nella prima equazione del sistema. Otteniamo:
\[ \begin{align} sen \alpha = \dfrac{1-\dfrac{1-t^2}{t^2+1}}{t}= \dfrac{\dfrac{t^2+1-1+t^2}{t^2+1}}{t}= \dfrac{2t^2}{t^2+1} \cdot \dfrac{1}{t}= \dfrac{2t}{t^2+1}\end{align} \]
Abbiamo così ottenuto le espressioni di \( sen\alpha \) e \( cos\alpha \) in funzione di \( t \). Sostituendo alla \( t \) il termine \( tg \dfrac{\alpha}{2} \) si ottengono proprio le formule parametriche razionali 😉
La condizione \( t \neq 0 \) che abbiamo dovuto imporre nel risolvere il sistema ci porta ancora alle condizioni di esistenza che già conosciamo, cioè \( \dfrac{\alpha}{2} \neq \dfrac{\pi}{2} + k \pi \).
Queste formule vengono utilizzate per risolvere le equazioni goniometriche lineari in seno e coseno.
Nella prossima lezione, che vi consiglio di non perdere, tratteremo le formule di Werner 🙂 Buono studio a tutti con Altramatica!