In questa lezione ci proponiamo di mettere insieme tutto quanto fin qui appreso sugli integrali delle funzioni razionali calcolando degli integrali con divisione e fratti semplici. Si tratta più propriamente di integrali che si calcolano utilizzando sia la divisione tra polinomi, sia la decomposizione in fratti semplici.
Per “integrali con divisione e fratti semplici” intendiamo quindi integrali indefiniti del rapporto tra polinomi ove il numeratore è di grado maggiore del denominatore. E integrali nei quali, una volta eseguita la divisione tra i polinomi, ci ritroviamo a dover calcolare un integrale che richiede l’uso del metodo dei fratti semplici.
Vediamo subito degli esempi sugli integrali che richiedono sia la divisione tra polinomi, sia il metodo dei fratti semplici. Via! 🙂
Integrali con divisione tra polinomi e metodo dei fratti semplici
Calcolare:
\[ \int \dfrac{6x^3+13x^2-x-7}{2x^2+x-3} \, dx \]
Poiché il grado del numeratore è non inferiore al grado del denominatore eseguiamo la divisione tra i polinomi. Abbiamo \( A(x)=6x^3+13x^2-x-7 \) e \( B(x)=2x^2+x-3 \). Eseguiamo la divisione \( A(x):B(x) \) come segue:
Otteniamo quoziente \( Q(x)=3x+5 \) e resto \( R(x)= 3x+8\). Utilizziamo la formula degli integrali con la divisione tra polinomi:
\[ \int \dfrac{A(x)}{B(x)} \, dx = \int Q(x) \, dx + \int \dfrac{R(x)}{B(x)} \, dx \]
Possiamo scrivere:
\[ \begin{align}\int \dfrac{6x^3+13x^2-x-7}{2x^2+x-3} \, dx&=\int 3x+5 \, dx + \int \dfrac{3x+8}{2x^2+x-3} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{3}{2}x^2+5x+\int \dfrac{3x+8}{2x^2+x-3} \, dx \end{align} \]
Ora dobbiamo calcolare l’integrale:
\[ \int \dfrac{3x+8}{2x^2+x-3}\, dx \]
Il polinomio \( 2x^2+x-3 \) può essere scomposto in fattori (è un trinomio caratteristico). Per cui non ci ritroviamo in questo caso con un integrale con delta negativo. Otteniamo:
\[ 2x^2+x-3=(x-1)(2x+3) \]
Si ha quindi:
\[ \int \dfrac{3x+8}{2x^2+x-3}\, dx=\int \dfrac{3x+8}{(x-1)(2x+3)} \, dx \]
Utilizziamo a questo punto il metodo dei fratti semplici:
\[ \int \dfrac{3x+8}{(x-1)(2x+3)} \, dx = \int \dfrac{A}{x-1} \, dx + \int \dfrac{B}{2x+3} \, dx \]
Per ricavare le incognite \( A, \: B \) scriviamo intanto l’uguaglianza:
\[ \dfrac{3x+8}{(x-1)(2x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{2x+3} \]
Mettiamo i termini a secondo membro a denominatore comune:
\[ \dfrac{3x+8}{(x-1)(2x+3)}=\dfrac{A(2x+3)+B(x-1)}{(x-1)(2x+3)} \]
Dato che denominatori sono uguali possiamo uguagliare i soli numeratori:
\[ 3x+8=A(2x+3)+B(x-1) \]
Ora possiamo in alternativa utilizzare il principio di identità dei polinomi oppure sostituire nell’uguaglianza appena scritta i valori della \( x \) che annullano rispettivamente i fattori \( 2x+3 \) e \( x-1 \), ricavando di volta in volta \( A \) e \( B \). Proviamo con il secondo metodo:
\[ 2x+3= 0 \quad \Rightarrow \quad x=-\dfrac{3}{2} \]
Così:
\[ \begin{align}&3x+8=A(2x+3)+B(x-1) \quad \text{con} \quad x = -\dfrac{3}{2} \\ \\ & \Rightarrow \quad 3\cdot \left(-\dfrac{3}{2} \right)+8=A \cdot 0+B\cdot\left(-\dfrac{3}{2}-1 \right) \\ \\ & \Rightarrow -\dfrac{9}{2}+8=-\dfrac{5}{2}B \\ \\ &\Rightarrow \dfrac{7}{2}=-\dfrac{5}{2}B \quad \Rightarrow \quad B=-\dfrac{7}{2}\cdot\dfrac{2}{5}=-\dfrac{7}{5}\end{align} \]
Da cui otteniamo:
\[ B=-\dfrac{7}{5} \]
Ora riprendiamo la precedente uguaglianza sostituendo stavolta il valore della \( x \) che annulla il rimanente fattore \( x-1 \), ovvero il valore \( x=1 \):
\[ \begin{align}&3x+8=A(2x+3)+B(x-1) \quad \text{con} \quad x = 1 \\ \\ & \Rightarrow \quad 3\cdot 1+8=A \cdot (2\cdot1 + 3)+B\cdot0 \\ \\ & \Rightarrow 11=5A \quad \Rightarrow \quad A = \dfrac{11}{5}\end{align} \]
Così per la decomposizione in fattori parziali della frazione di partenza possiamo scrivere:
\[ \begin{align}\dfrac{3x+8}{(x-1)(2x+3)}&=\dfrac{\frac{11}{5}}{x-1}+\dfrac{-\frac{7}{5}}{2x+3}= \\ \\ & = \dfrac{11}{5(x-1)}-\dfrac{7}{5(2x+3)} \end{align} \]
Così per l’integrale rimasto da calcolare si ha:
\[ \begin{align}\int \dfrac{3x+8}{2x^2+x-3}\, dx&=\int \dfrac{11}{5(x-1)} \, dx – \int\dfrac{7}{5(2x+3)} \, dx = \\ \\ & = \dfrac{11}{5}\int \dfrac{1}{x-1} \, dx -\dfrac{7}{5}\int \dfrac{1}{2x+3} \, dx= \\ \\ & = \dfrac{11}{5}\ln |x-1|-\dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2}{2x+3} \, dx+c= \\ \\ & = \dfrac{11}{5}\ln |x-1|-\dfrac{7}{10}\ln|2x+3|+c \end{align} \]
E a questo punto tornando indietro di qualche passaggio per l’integrale di partenza possiamo scrivere:
\[ \small \begin{align}\int \dfrac{6x^3+13x^2-x-7}{2x^2+x-3} \, dx= \dfrac{3}{2}x^2+5x+\dfrac{11}{5}\ln |x-1|-\dfrac{7}{10}\ln|2x+3|+c, \quad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
ed abbiamo concluso. 🙂 Osserviamo soltanto che il risultato può essere semplificato utilizzando le proprietà dei logaritmi e dei radicali.
Per questa lezione sugli integrali da calcolare con la divisione e il metodo dei fratti semplici è tutto. Nella lezione successiva ci occuperemo degli integrali di funzioni irrazionali. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂