In questa lezione vedremo come calcolare gli integrali per sostituzione, secondo un approccio molto pratico. Il nostro obiettivo sarà comprendere in modo semplice i ragionamenti alla base del metodo di integrazione per sostituzione.
L’obiettivo finale è quello di poter calcolare gli integrali per sostituzione seguendo dei procedimenti il più possibile intuitivi. Sarà poi sempre possibile consultare le lezioni teoriche dettagliate in modo da poter approfondire con maggior rigore i singoli argomenti.
Vediamo allora subito come calcolare gli integrali per sostituzione, con regole ed esempi.
Come calcolare gli integrali per sostituzione: formule di integrazione per sostituzione
Per capire come calcolare gli integrali per sostituzione ci sono di aiuto due formule:
- prima formula di integrazione per sostituzione;
- seconda formula di integrazione per sostituzione.
A ciascuna formula corrisponde un suo proprio metodo di integrazione per sostituzione. Da quanto diremo nel seguito sarà tuttavia evidente che entrambi i metodi per calcolare gli integrali per sostituzione si basano sul concetto di derivata della funzione composta.
Prima di introdurre le formule cercheremo in ogni caso di comprendere il corrispondente procedimento risolutivo. 😉 Di conseguenza parleremo innanzitutto di primo e secondo metodo di integrazione per sostituzione, introducendo le formule soltanto in una fase successiva.
Primo metodo di integrazione per sostituzione
Partiamo dalla seguente derivata:
\[ \dfrac{d}{dx} \sin x ^2 \]
Per calcolarla, dobbiamo derivare la funzione rispetto all’argomento, moltiplicando poi per la derivata dell’argomento. Così:
\[ \dfrac{d}{dx} \sin x ^2 = \cos x^2 \cdot 2x \]
Se ora vogliamo ritornare alla funzione di partenza, a meno di una costante, dovremo integrare la derivata appena ottenuta. Ciò è una conseguenza del fatto che l’integrazione indefinita è l’operazione inversa della derivazione a meno di una costante additiva. Non è difficile allora in questo caso concludere che:
\[ \int \cos x^2 \cdot 2x \, dx = \sin x^2 + c \]
Ma se volessimo arrivare a questo risultato a prescindere da una precedente operazione di derivazione? La considerazione da fare in questo caso è che il termine \( 2x \) rappresenta proprio la derivata dell’argomento della funzione \( \cos x^2 \). Di conseguenza, la funzione da integrare può essere vista come la derivata di una funzione composta.
Pertanto, una qualsiasi delle antiderivate che cerchiamo ha come argomento \( x^2 \) e deve essere tale che una volta derivata restituisca l’espressione \( \cos x^2 \cdot 2x \). E dato che l’integrale fondamentale della funzione coseno è dato dalla funzione seno, la funzione cercata non può essere che:
\[ \sin x^2 \]
Così, possiamo scrivere:
\[ \int \cos x^2 \cdot 2x \, dx = \sin x^2 +c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Ciò che sta dunque dietro al primo metodo di integrazione per sostituzione (e quindi alla prima formula di integrazione per sostituzione) è quello di vedere se possibile la funzione da integrare come la derivata di una funzione composta.
Vediamo un altro esempio:
\[ \int \dfrac{1}{\sin^2 x +1} \cdot \cos x \, dx \]
La prima cosa che ci domandiamo è: è possibile vedere la funzione da integrare come la derivata di una funzione composta? La risposta anche in questo caso è sicuramente sì.
Anzitutto, la funzione \( \dfrac{1}{\sin^2 x +1} \) può essere vista come una funzione composta avente per funzione esterna \( \dfrac{1}{x^2+1} \) e come funzione interna \( \sin x \).
Poi, il fattore \( \cos x \) rappresenta la derivata dell’argomento della funzione \( \dfrac{1}{\sin^2 x +1} \). E poiché per gli integrali fondamentali si ha:
\[ \int \dfrac{1}{x^2+1} \, dx = \arctan x +c \]
nel nostro caso possiamo concludere che:
\[ \int \dfrac{1}{\sin^2 x +1} \cdot \cos x \, dx = \arctan (\sin x) + c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Ora, nel calcolare integrali di questo tipo possiamo utilizzare un cambio di variabile. Questo è infatti l’approccio usuale, che sintetizzeremo a seguire con la prima formula di integrazione per sostituzione. Così, considerando ancora l’ultimo integrale calcolato:
\[ \int \dfrac{1}{\sin^2 x +1} \cdot \cos x \, dx \]
riconoscendo nel fattore \( \cos x \) la derivata di \( \sin x \) possiamo porre la sostituzione:
\[ \sin x = u \]
e quindi scrivere:
\[ \begin{align} & \int \dfrac{1}{\sin^2 x +1} \cdot \cos x \, dx \stackrel{\begin{align}&\sin x = u \\ \end{align} \\}{=} \left[\int \dfrac{1}{u^2+1} \, du \right]_{u=\sin x }= \\ \\ & = \left[\arctan u + c \right]_{u=\sin x}=\arctan (\sin x) +c, \quad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
Le parentesi quadre indicano che nel risultato di quanto in esse contenuto effettueremo la sostituzione indicata in pedice alle parentesi stesse. 😉
Secondo metodo di integrazione per sostituzione
Anche questo metodo si basa sul concetto di derivata della funzione composta. Ma stavolta non ci ritroviamo con una funzione che può essere subito vista come una derivata di una funzione composta.
Consideriamo l’integrale:
\[ \int \dfrac{1}{e^x+1} \, dx \]
Ragionando come fatto finora, possiamo vedere la funzione da integrare come una funzione composta avente come funzione esterna \( \dfrac{1}{x+1} \) e come funzione interna \( e^x \). Tuttavia, non possiamo procedere con il primo metodo di integrazione per sostituzione in quanto non abbiamo un fattore uguale alla derivata dell’argomento.
Ci domandiamo allora se è possibile riscrivere la funzione da integrare (integranda) come la derivata di una funzione composta, ovvero come una funzione composta moltiplicata per la derivata del suo stesso argomento.
L’idea è quella di comporre la funzione integranda con una funzione a nostra scelta (che dovrà essere però, come vedremo, invertibile). A lato pratico, ciò consiste nel porre una sostituzione quale ad esempio \( x = \log u \), introducendo inoltre un fattore uguale alla derivata della funzione \( x = \log u \). Procedendo in questo modo passiamo all’integrale:
\[ \int \dfrac{1}{e^{\log u} + 1} \cdot \dfrac{d}{du}\log u \, du \]
A questo punto ci ritroviamo effettivamente con un integrale di una funzione composta moltiplicata per la derivata del suo argomento.
Osserviamo che abbiamo utilizzato una differente lettera (la \( u \)) poiché l’integrale appena scritto è differente dall’integrale di partenza.
Ora, dalle proprietà delle funzioni composte sappiamo che se componiamo una funzione con la sua inversa otteniamo la funzione identità. Così ad esempio, se \( f(x) = e^x \) e \( g(x) = \log x \) si ha:
\[ f(g(x)) = e^{\log x} = x \]
Se allora componiamo l’integranda nella variabile \( u \) con la funzione \( u = e^x \), che è l’inversa della funzione \( x = \log u \), otterremo per forza l’integranda di partenza. E infatti abbiamo:
\[ \begin{align}&\dfrac{1}{e^{\log u} + 1}\quad \text{con} \quad u=e^x \\ \\ & \Rightarrow\dfrac{1}{e^{\log e^x}+1}= \dfrac{1}{e^x+1} \end{align} \]
Inoltre si può dimostrare che \( \dfrac{d}{du}\log u \, du=dx \).
Così effettuando la sostituzione \( u=e^x \) nell’integrale nella variabile \( u \) ci ritroviamo con l’integrale di partenza nella variabile \( x \):
\[ \int \dfrac{1}{e^{\log u} + 1} \cdot \dfrac{d}{du}\log u \, du \stackrel{u=e^x \\}{=} \int \dfrac{1}{e^x+1} \, dx \]
Ovviamente tornare all’espressione dell’integrale di partenza non è affatto utile. Ma quanto appena visto ci suggerisce un’idea. Invece di operare tale sostituzione nell’integrale in \( u \) ancora da calcolare possiamo piuttosto convenientemente calcolare l’integrale nella variabile \( u \) per poi effettuare la sostituzione nell’espressione della famiglia di antiderivate. Così in pratica quello che intendiamo fare è calcolare l’integrale indefinito nella variabile \( u \) per poi ritornare alla variabile \( x \) mediante la sostituzione inversa. E il risultato finale che otterremo sarà proprio la famiglia di antiderivate della funzione di partenza.
Il vantaggio sta nel fatto che l’integrale nella variabile \( u \), diverso da quello di partenza, potrà essere più facile da calcolare. E ciò dipende proprio dalla sostituzione che si effettua all’inizio, ovvero dalla funzione invertibile con la quale componiamo l’integranda di partenza.
Quindi nel nostro caso, una volta effettuata inizialmente la sostituzione \( x = \log u \) si procede calcolando il corrispondente integrale:
\[ \begin{align}&\int \dfrac{1}{e^{\log u} + 1} \cdot \dfrac{d}{du}\log u \, du=\int \dfrac{1}{u+1}\cdot \dfrac{1}{u} \, du = \\ \\ & = \int \dfrac{1+u-u}{u(u+1)} \, du = \int \dfrac{1+u}{u(u+1)} \, du – \int \dfrac{u}{u(u+1)} \, du = \\ \\ & = \int \dfrac{1}{u}\, du – \int \dfrac{1}{u+1} \, du = \ln |u|-\ln|u+1|+c=\end{align} \]
A questo punto, non rimane che comporre un’antiderivata nella variabile \( u \) con la funzione \( u = e^x \), il che equivale in pratica ad effettuare semplicemente la sostituzione \( u=e^x \) nell’espressione appena ottenuta. Abbiamo quindi concludendo i passaggi:
\[ =\ln e^x-\ln(e^x+1)+c=x-\ln(e^x+1)+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
E in definitiva per l’integrale di partenza:
\[ \int \dfrac{1}{e^x+1} \, dx = x-\ln(e^x+1)+c, \quad c \in \mathbb{R}\]
Prima e seconda formula di integrazione per sostituzione (calcolare gli integrali per sostituzione)
A questo punto possiamo riassumere tramite due formule i ragionamenti sinora fatti ottenendo due formule di integrazione per sostituzione. Ciascuna formula corrisponde rispettivamente al primo e al secondo metodo di integrazione per sostituzione.
Prima formula di integrazione per sostituzione
\[ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \left[\int f(u) \, du \right]_{u=g(x)} \]
Seconda formula di integrazione per sostituzione
\[ \int f(x) dx \stackrel{\begin{align}&x=g(u) \\ &dx = g'(u) \, du\\ \end{align} }{=} \left[\int f(g(u)) \cdot g'(u) \, du \right]_{u=g^{-1}(x))} \]
Come già sottolineato in precedenza, la scelta tra una formula e l’altra dipende dalla forma che ha la funzione da integrare. Così ad esempio per calcolare l’integrale:
\[ \int \dfrac{\sin (\log x)}{x} \, dx \]
osservando che si ha:
\[ \int \dfrac{\sin (\log x)}{x} \, dx = \int \sin \overbrace{\log x}^{f(x)} \cdot \overbrace{\dfrac{1}{x}}^{f'(x)} \,dx = \]
utilizzeremo la prima formula di integrazione per sostituzione ottenendo:
\[ = -\cos \log x + c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Invece per il calcolo dell’integrale
\[ \int \log x \, dx \]
utilizzeremo la seconda formula di integrazione per sostituzione ponendo \( x = e^ u \) ottenendo:
\[ \int \log x \, dx = \int \log e^ u \cdot \dfrac{d}{du}e^u \, du=\int u \cdot e^u \, du = \]
Procedendo per parti:
\[ = u \cdot e^u – \int 1 \cdot e^u \, du = u\cdot e^ u – e^u +c = e^u(u-1) + c = \]
e infine ponendo la sostituzione inversa \( u = \log x \):
\[ =e^{\log x} (\log x – 1)+c = x(\log x -1)+c \]
E quindi per l’integrale di partenza:
\[ \int \log x \, dx=x(\log x -1)+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Casi particolari della prima formula di integrazione per sostituzione
Consideriamo l’integrale, risolvibile con la prima formula di integrazione per sostituzione:
\[ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx \]
Nel caso in cui sia \( f(x)=x \), ovvero la funzione esterna sia la funzione identità, abbiamo semplicemente:
\[ \int g(x) \cdot g'(x) \,dx \]
e quindi applicando la prima formula di integrazione per sostituzione possiamo in generale integrare funzioni del tipo \( f(x) \cdot f'(x) \) come segue:
\[ \int f(x) \cdot f'(x) \, dx = \left[\int u \, du \right]_{u=f(x)} \]
Così ad esempio per l’integrale:
\[ \int \sin x \cos x \, dx \]
si ha:
\[ \small \int \sin x \cos x \, dx = \left[\int u \, du \right]_{u = \sin x}=\left[\dfrac{u^2}{2}+c \right]_{u=\sin x} = \dfrac{\sin^2 x}{2}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Altri casi particolari sono riassunti nella tabella sugli integrali immediati generalizzati. Osserviamo comunque che l’unica formula che è veramente necessario ricordare è la prima formula di integrazione per sostituzione. Tutti i casi riportati in tabella discendono infatti direttamente da essa e sono intesi solamente come riferimento rapido. 😉
Conclusioni
Per quanto riguarda questa guida su come calcolare gli integrali per sostituzione è tutto. Su Altramatica sono inoltre disponibili lezioni più dettagliate che consentono di approfondire tutto quanto sin qui visto, tra le quali ricordiamo:
- metodo di integrazione per sostituzione;
- integrali per sostituzione e differenziale;
- integrali immediati generalizzati.
Buono studio con Altramatica! 🙂