In questa lezione vediamo come calcolare l’integrale dell’esponenziale (integrale indefinito della funzione esponenziale), nei vari casi. Il punto di partenza è dato dall’integrale fondamentale della funzione esponenziale in base \( e \). Da qui procederemo calcolando integrali indefiniti di funzioni esponenziali con base generica e con esponente funzione di \( x \).
Vediamo allora subito come calcolare l’integrale dell’esponenziale presentando varie casistiche.
Integrale dell’esponenziale e alcune conseguenze con il metodo di integrazione per sostituzione
Ricordiamo l’integrale fondamentale dell’esponenziale (funzione esponenziale con base \( e \)):
\[ \int e^x \, dx = e^x + c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Ci domandiamo ora come integrare funzioni del tipo \( e^{ax} \), con \( a \) numero reale. In altri termini vogliamo calcolare l’integrale dell’esponenziale seguente:
\[ \int e^{ax} \, dx, \qquad a \in \mathbb{R} \]
In questo caso dobbiamo utilizzare la seconda formula di integrazione per sostituzione. L’idea è quella di operare una sostituzione che ci consenta di ricondurci all’integrale fondamentale dell’esponenziale. Poniamo allora la sostituzione:
\[ ax=u \]
dalla quale si ha per conseguenza:
\[ x=\dfrac{u}{a} \]
Riscriviamo il differenziale \( dx \) nella nuova variabile \( u \):
\[ dx = \dfrac{d}{du}\dfrac{u}{a} \, du = \dfrac{1}{a} \, du \]
Per comprendere i passaggi è importante osservare che \( a \) è una costante rispetto ad \( u \). 😉
Ora abbiamo tutti gli elementi per poter riesprimere l’integrale di partenza nella nuova variabile \( u \):
\[ \int e^{ax} \, dx=\int e^u \cdot \dfrac{1}{a} \, du = \]
A questo punto possiamo portare fuori il fattori \( \dfrac{1}{a} \), che è costante, e calcolare l’integrale fondamentale dell’esponenziale nella variabile \( u \):
\[ = \dfrac{1}{a} \int e^u \, du = \dfrac{1}{a}\cdot e^u + c = \dfrac{e^u}{a}+c= \]
Infine ponendo la sostituzione inversa \( u=ax \) concludiamo i passaggi ottenendo:
\[ = \dfrac{e^{ax}}{a}+c \]
Così in definitiva:
\[ \int e^{ax} \, dx = \dfrac{e^{ax}}{a}+c, \qquad c,\: a \in \mathbb{R} \quad (*) \]
E’ possibile ogni volta applicare la regola ottenuta nei casi in cui \( a \) sia un dato numero reale. Ad esempio, potremo calcolare molto rapidamente il seguente integrale:
\[ \int e^{3x} \, dx = \dfrac{e^{3x}}{3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Abbiamo infatti utilizzato la (*) ponendo \( a=3 \). Piuttosto che imparare la regola a memoria è comunque sempre preferibile porre ogni volta la sostituzione del caso ed eseguire i passaggi necessari. Tenete infatti in considerazione che è sempre richiesto giustificare i risultati degli integrali in sede di verifica.
Integrale dell’esponenziale con base generica
Consideriamo ora l’integrale dell’esponenziale seguente:
\[ \int a^x \, dx \]
Abbiamo già visto come risolvere l’integrale riconducendolo ad un integrale fondamentale. Vogliamo però qui mostrare come poter ragionare utilizzando il metodo di integrazione per sostituzione.
Poniamo la sostituzione:
\[ a^x = u \]
Di conseguenza:
\[ x = \log_a u \]
Per il differenziale si ha:
\[ dx = \dfrac{d}{du}\log_a u \, du = \dfrac{1}{u \ln a} \, du \]
Ricordiamo che con il simbolo \( \ln \) intendiamo il logaritmo in base \( e \) (logaritmo naturale).
Possiamo a questo punto riscrivere l’integrale di partenza nella variabile \( u \):
\[ \int a^x \, dx=\int a^{\log_a u} \cdot \dfrac{1}{u \ln a} \, du=\int \cancel{u} \cdot \dfrac{1}{\cancel{u}} \cdot \dfrac{1}{\ln a} du = \]
Osserviamo che \( \dfrac{1}{\ln a } \) è un numero è può essere portato fuori dal simboli di integrale. Proseguendo i passaggi:
\[ =\dfrac{1}{\ln a}\int1\, du=\dfrac{u}{\ln a}+c= \]
Concludiamo i passaggi ponendo la sostituzione inversa \( u=a^x \):
\[ = \dfrac{a^x}{\ln a}+c \]
Otteniamo così in conclusione:
\[ \int a^x \, dx =\dfrac{a^x}{\ln a}+c, \qquad c \in \mathbb{R}\]
Ritroviamo in questo modo con un procedimento alternativo il risultato stabilito nella lezione sugli integrali fondamentali. 😉
Così ad esempio potremo scrivere:
\[ \int 3^x \, dx = \dfrac{3^x}{\ln 3}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Ancora, piuttosto che imparare la regola di integrazione a memoria è consigliabile ripetere ogni volta i passaggi nei vari casi. 😉
Ora a conclusione della lezione vedremo un paio di casi nei quali l’esponente che compare nella funzione esponenziale da integrare è rispettivamente un polinomio di primo grado o di secondo grado.
Integrale di una funzione esponenziale con esponente un polinomio di primo grado
Vediamo come calcolare l’integrale indefinito di una funzione esponenziale con esponente dato da un polinomio di primo grado:
\[ \int e^{2x+7} \, dx \]
Poiché il polinomio \( 2x+7 \) è di primo grado, la sua derivata è di grado zero (ovvero, è un numero). Di conseguenza, utilizzando il solito trucco di moltiplicare e dividere l’integranda per uno stesso numero potremo ritrovare come fattore all’interno dell’integrale proprio la derivata della funzione ad esponente.
Ciò ci consentirà quindi di applicare la prima formula di integrazione per sostituzione o, se preferite, l’opportuna regola relativa agli integrali immediati generalizzati.
Osserviamo che la funzione da integrare è della forma:
\[ \int e^{f(x)} \, dx \]
e che nel nostro caso abbiamo:
\[ f(x) = 2x+7 \]
Si ha:
\[ f'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(2x+7 \right)=2 \]
Così per ricondurre l’integrale alla forma:
\[ \int e^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx \]
dovrà comparire all’interno dell’integrale un fattore \( 2 \). Per ottenere questo, prima di tutto moltiplichiamo e dividiamo l’integranda per \( 2 \):
\[ \int e^{2x+7} \cdot \dfrac{2}{2}\, dx \]
Quindi procediamo portando fuori il solo \( 2 \) a denominatore:
\[ \dfrac{1}{2} \int e^{\overbrace{2x+7}^{f(x)}} \cdot \overbrace{2}^{f'(x)} \, dx \]
Ma a questo punto ci siamo ricondotti ad una forma che compare nella tabella degli integrali immediati generalizzati, e possiamo quindi scrivere:
\[ \dfrac{1}{2} \int e^{\overbrace{2x+7}^{f(x)}} \cdot \overbrace{2}^{f'(x)} \, dx=\dfrac{1}{2}e^{2x+7} + c \]
e quindi in conclusione per l’integrale di partenza:
\[ \int e^{2x+7} \, dx= \dfrac{1}{2}e^{2x+7}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Esponente di secondo grado e fattore di primo grado nell’integranda
Consideriamo ora l’integrale:
\[ \int e^{3x^2+5} \cdot x \, dx \]
Il procedimento non differisce molto dal caso precedente. Osserviamo infatti che la derivata della funzione ad esponente è una funzione di primo grado, e già abbiamo un fattore di primo grado a moltiplicare la funzione esponenziale.
E’ allora chiaro che anche in questo caso è sufficiente moltiplicare e dividere per una certa quantità. In tal modo potremo applicare come nel precedente esempio la prima formula di integrazione per sostituzione (o equivalentemente riferirci all’opportuno integrale immediato generalizzato).
Osserviamo che per la derivata della funzione ad esponente si ha:
\[ \dfrac{d}{dx}\left(3x^2+5 \right)=6x \]
Procediamo allora moltiplicando e dividendo l’integranda per \( 6 \) in modo da ritrovare all’interno dell’integrale un fattore \( 6x \):
\[ \int e^{3x^2+5} \cdot x \cdot \dfrac{6}{6}\, dx=\dfrac{1}{6}\int e^{\overbrace{3x^2+5}^{f(x)}} \cdot \overbrace{6x}^{f'(x)} \, dx=\dfrac{1}{6}e^{3x^2+5}+c \]
Così possiamo scrivere in conclusione:
\[ \int e^{3x^2+5} \cdot x \, dx =\dfrac{1}{6}e^{3x^2+5}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
In generale potremo quindi calcolare agevolmente integrali del tipo:
\[ \int e^{p(x)} \cdot q(x) \, dx \]
ove \( p(x) \) è un polinomio di grado \( n > 0 \) e \( q(x) \) è un polinomio di grado \( n-1 \).
Nel caso in cui invece abbiamo ad esponente un polinomio di secondo grado e non è presente all’interno dell’integranda un fattore di primo grado, non è possibile calcolare l’integrale corrispondente in forma esatta. E’ questo ad esempio il caso dell’integrale:
\[ \int e^{x^2} \, dx \]
che non può essere calcolato con le tecniche “standard”.
Conclusioni
Per questa lezione sul calcolo dell’integrale dell’esponenziale (nei vari casi) è tutto. Come abbiamo visto l’idea è quella di utilizzare la tecnica di integrazione per sostituzione. E’ possibile ricavare delle regole da ricordare ma è sempre buona norma cercare di utilizzare i ragionamenti sulle sostituzioni di volta in volta.
Nella prossima lezione vedremo il calcolo dell’integrale del logaritmo (integrale indefinito della funzione logaritmo) nei vari casi. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂