Vediamo come calcolare l’integrale del logaritmo (integrale indefinito della funzione logaritmo). Partiremo da una funzione logaritmica di tipo elementare, per poi vedere come comportarci per funzioni logaritmiche non elementari.
Mostreremo anzitutto come calcolare l’integrale indefinito della funzione logaritmo \( f(x)= \ln x \), ovvero l’integrale del logaritmo naturale (base \( e \)). Vedremo poi come calcolare l’integrale del logaritmo in una base qualsiasi.
Nell’ultima parte della lezione mostreremo infine come comportarci nel caso in cui l’argomento del logaritmo sia a sua volta una funzione. In questo caso utilizzeremo le tecniche di integrazione per parti e per sostituzione.
Vediamo allora subito come calcolare l’integrale del logaritmo nei vari casi. Via! 🙂
Come calcolare l’integrale del logaritmo (caso del logaritmo naturale)
Calcoliamo:
\[ \int \ln x \, dx \]
Per calcolare l’integrale del logaritmo naturale possiamo procedere per parti. E’ infatti sufficiente riscrivere l’integrale come segue:
\[ \int \ln x \cdot 1 \, dx \]
In tal modo ci ritroviamo con un prodotto tra due funzioni, come richiesto dalla tecnica di integrazione per parti. Infatti, abbiamo il prodotto della funzione \( \ln x \) per la funzione costante \( 1 \).
Ovviamente nell’applicare la formula di integrazione per parti dovremo porre \( f(x) = \ln x \) e \( h(x) = 1 \). Infatti non sappiamo integrare \( \ln x \) mentre è immediato integrare la funzione costante \( 1 \). Per gli integrali fondamentali si ha infatti \( \displaystyle \int 1 \, dx = x + c \). Così un’antiderivata della funzione costante \( h(x) = 1 \) è \( H(x)=x \).
Applicando la formula di integrazione per parti con le ipotesi indicate si ha quindi:
\[ \begin{align} &\int \overbrace{\ln x}^{f(x)} \cdot \overbrace{1}^{h(x)} \, dx = \overbrace{\ln x}^{f(x)} \cdot \overbrace{x}^{H(x)} – \int \overbrace{\dfrac{1}{x}}^{f'(x)} \cdot \overbrace{x}^{H(x)} \, dx = \\ \\ & = x \ln x – \int 1 \, dx = x \ln x – x +c , \qquad c \in \mathbb{R} \end{align} \]
e in conclusione:
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x – x +c , \quad c \in \mathbb{R} \]
NOTA: osserviamo che nel risultato non compare il simbolo di modulo nell’argomento del logaritmo. In questo caso ciò è corretto, poiché riesce inteso che la funzione di partenza (integranda) esiste soltanto nel suo dominio o campo di esistenza. E poiché il logaritmo nel risultato finale coincide esattamente con l’espressione della funzione di partenza stessa, omettiamo il simbolo di modulo nell’argomento. Infatti, l’integrale di partenza esiste soltanto nel dominio dell’integranda. Per cui non c’è il rischio che la \( x \) nel risultato finale possa assumere valori negativi, ovvero valori al di fuori del dominio dell’integranda.
Integrale del logaritmo con base generica
Vediamo come calcolare l’integrale indefinito di una funzione logaritmo con base generica:
\[ \int \log_a x \, dx \]
Il procedimento è del tutto simile al caso precedente. Basta infatti riscrivere l’integrale di partenza come:
\[ \int \log_a x \cdot 1 \, dx \]
Stavolta dovremo porre \( f(x) = \log_a x \), per cui quello che cambia rispetto al procedimento già visto è soltanto il calcolo della derivata di \( f(x) \). Ci ritroviamo infatti con la derivata fondamentale del logaritmo in base generica:
\[ \dfrac{d}{dx}f(x) = \dfrac{d}{dx}\log_a x = \dfrac{1}{x}\log_a e \]
Così abbiamo:
\[ \begin{align}& \int \log_a x \, dx = \log_a x \cdot x – \int \dfrac{1}{\cancel{x}}\log_a e \cdot \cancel{x} \, dx = \\ \\ &= \log_a x \cdot x – \log_a e \int 1 \, dx = \log_a x \cdot x – x \log_a e+c, \quad c \in \mathbb{R}\end{align} \]
e quindi:
\[ \int \log_a x \, dx= \log_a x \cdot x – x \log_a e+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Volendo possiamo riesprimere i fattori \( \log_a x \) e \( \log_a e \) utilizzando logaritmi nella sola base \( e \) tramite la formula del cambio di base:
\[ \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}; \qquad\log_a e= \dfrac{\ln e}{\ln a}=\dfrac{1}{\ln a} \]
Per cui possiamo riesprimere il precedente integrale anche come:
\[ \int \log_a x \, dx =\dfrac{x \ln x}{\ln a}-\dfrac{x}{\ln a}+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Integrale indefinito di una funzione logaritmo composta (l’argomento del logaritmo è una funzione)
Ci occupiamo ora del calcolo di un integrale indefinito di una funzione logaritmo nella quale l’argomento sia un polinomio di primo e secondo grado.
Il caso relativo al polinomio di primo grado è piuttosto semplice, poiché può essere ricondotto ad un integrale immediato generalizzato mediante degli aggiustamenti algebrici.
Possiamo cavarcela in modo del tutto simile anche nel caso di un polinomio di secondo grado come argomento del logaritmo. La condizione però è che sia presente all’interno dell’integrale un fattore che rappresenti la derivata dell’argomento del logaritmo o che sia in qualche modo riconducibile ad essa.
Un po’ più complicato è invece il caso di un argomento del logaritmo dato da un polinomio di secondo grado in un integrale privo di un fattore riconducibile alla derivata dell’argomento. In tale circostanza è necessario lavorare per parti, mettendo in evidenza un \( 1 \). Il lavoro in più in questo caso è dato dal fatto che ci ritroviamo a dover integrare delle funzioni razionali (rapporti tra polinomi).
Esempio 1
Calcolare l’integrale:
\[ \int \ln (3x+5) \, dx \]
Stavolta ci ritroviamo a dover integrare un logaritmo il cui argomento è a sua volta una funzione. L’integranda è così una funzione composta della forma \( f(g(x)) \), con \( f(x) = \ln x \) e \( g(x)=3x+5 \). L’argomento è un polinomio di primo grado.
Riprendiamo la regola ottenuta in precedenza per il calcolo dell’integrale indefinito della funzione \( \ln x \):
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x – x +c \]
In virtù della prima formula di integrazione per sostituzione, in analogia agli integrali immediati generalizzati, possiamo scrivere:
\[ \int \ln [f(x)] \cdot f'(x) \, dx = f(x) \cdot\ln [f(x)] – f(x) +c \]
Così poiché l’argomento della funzione da integrare è un polinomio di primo grado, la derivata dell’argomento stesso sarà un numero. Di conseguenza, possiamo far comparire la derivata dell’argomento del logaritmo all’interno dell’integrale con delle semplici manipolazioni algebriche. Infatti, è possibile portare fuori delle costanti (numeri) dal simbolo di integrale.
Riportiamo per comodità l’integrale da calcolare:
\[ \int \ln (3x+5) \, dx \]
La derivata dell’argomento del logaritmo è:
\[ \dfrac{d}{dx}(3x+5)=3 \]
Utilizziamo il solito trucco di moltiplicare e dividere la funzione da integrare per una stessa quantità. Ovviamente, la quantità sarà \( 3 \):
\[ \int \ln (3x+5) \cdot \dfrac{3}{3} \, dx \]
A questo punto portiamo fuori soltanto il \( 3 \) a denominatore:
\[ \dfrac{1}{3} \int \ln (3x+5) \cdot 3 \, dx \]
Ma a questo punto abbiamo all’interno dell’integrale la derivata dell’argomento del logaritmo. L’integrale è così immediato e possiamo scrivere:
\[ \begin{align}\dfrac{1}{3}\int \ln (3x+5) \cdot 3 \, dx&=\dfrac{1}{3} \left[(3x+5)\ln(3x+5)-(3x+5) \right]+c = \\ \\ & = \left(x+\dfrac{5}{3}\right) \ln (3x+5)-\left(x+\dfrac{5}{3}\right)+c = \\ \\ & = \left(x+\dfrac{5}{3} \right) \ln (3x+5)-x-\dfrac{5}{3}+c = \\ \\ & = \left(x+\dfrac{5}{3} \right) \ln (3x+5)-x+k,\quad k \in \mathbb{R} \end{align} \]
Ed abbiamo finito. 🙂
NOTA: il metodo qui presentato è molto agevole ma richiede ovviamente di ricordare e saper giustificare il calcolo dell’integrale indefinito \( \int \ln x \, dx \). In alternativa si può anche procedere direttamente per parti, tenendo conto che:
\[ \int \ln(3x+5) \, dx = \int \ln(3x+5) \cdot 1 \, dx \]
e ponendo \( f(x)=\ln(3x+5) \) e \( h(x)=1 \). Il procedimento è tuttavia in questo caso leggermente più complicato poiché richiede il calcolo dell’integrale di una funzione razionale (rapporto tra polinomi).
Esempio 2
Calcolare:
\[ \int x \ln (x^2) \, dx \]
Qui conviene osservare che la derivata dell’argomento del logaritmo è \( 2x \) ed abbiamo nell’integranda un fattore che somiglia molto a tale derivata. Moltiplichiamo e dividiamo l’integranda per \( 2 \). Inoltre, portiamo fuori dall’integrale un’opportuna costante e riordiniamo per comodità i fattori. Si ha:
\[ \int \dfrac{2}{2} \cdot x \ln(x^2) \, dx =\dfrac{1}{2} \int\ln(x^2) \cdot 2x \, dx \]
Utilizzando la regola dell’esempio precedente possiamo risolvere in via immediata l’integrale. Infatti con la manipolazione algebrica fatta ora compare un fattore esattamente uguale alla derivata dell’argomento del logaritmo. Si ha:
\[ \dfrac{1}{2} \int\ln(x^2) \cdot 2x \, dx=\dfrac{1}{2}\left[x^2 \ln (x^2)-x^2 \right]+c \]
e quindi in definitiva:
\[ \int x \ln (x^2) \, dx= \dfrac{1}{2}\left[x^2 \ln (x^2)-x^2 \right]+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
Volendo tuttavia applicare esplicitamente per maggior chiarezza la prima formula di integrazione per sostituzione, una volta arrivati a scrivere l’integrale:
\[ \dfrac{1}{2} \int\ln(x^2) \cdot 2x \, dx \]
possiamo porre la sostituzione \( x^2 = u \) riconoscendo inoltre nella quantità \( 2x \, dx \) il differenziale nella nuova variabile \( du \). Si ha così:
\[ \dfrac{1}{2} \int\ln(x^2) \cdot 2x \, dx \stackrel {\begin{align} &x^2=u \\ &2x \cdot dx = du \\ \end{align} }{=} \dfrac{1}{2} \int \ln u \, du =\dfrac{1}{2}\left(u \ln u – u \right)+c= \]
Infine ponendo la sostituzione inversa \( u = x^2 \) concludiamo i passaggi ritrovando il risultato ottenuto in precedenza:
\[ =\dfrac{1}{2}\left[x^2 \ln (x^2)- x^2 \right]+c, \qquad c \in \mathbb{R} \]
Esempio 3
Consideriamo il calcolo dell’integrale:
\[ \int \log(7-x^2) \, dx \]
NOTA: precisiamo che con il simbolo \( \log \) intendiamo comunque in questo esercizio il logaritmo naturale.
L’argomento del logaritmo è un polinomio di secondo grado. Inoltre, non c’è traccia di nessun fattore che possa essere ricondotto alla derivata dell’argomento del logaritmo. Dobbiamo quindi procedere per parti, riscrivendo l’integrale come:
\[ \int \log(7-x^2) \, dx=\int \log(7-x^2) \cdot 1 \, dx \]
Poniamo \( f(x)=\log(7-x^2) \) e \( h(x)=1 \). Si ha:
\[ \begin{align}&\int \overbrace{\log(7-x^2)}^{f(x)} \cdot \overbrace{1}^{h(x)} \, dx=\overbrace{\log(7-x^2)}^{f(x)} \cdot \overbrace{x}^{H(x)} – \int \overbrace{\dfrac{1}{7-x^2} \cdot (-2x)}^{f'(x)} \cdot \overbrace{x}^{H(x)} \, dx= \\ \\ & = \log(7-x^2)\cdot x+2\int\dfrac{x^2}{7-x^2} \, dx= (@) \end{align} \]
Ci ritroviamo con un integrale razionale (integrale di un rapporto tra polinomi) che possiamo calcolare aiutandoci con la divisione tra polinomi. Si ha:
e quindi:
\[ \dfrac{x^2}{7-x^2}=-1+\dfrac{7}{-x^2+7} \]
per cui proseguendo i passaggi relativamente all’integrale:
\[ \begin{align}(@) &= \log(7-x^2)\cdot x + 2 \int \left[-1 + \dfrac{7}{-x^2+7} \right] \, dx = \\ \\ & = \log(7-x^2) \cdot x -2 \int 1 \, dx +2 \int \dfrac{7}{7-x^2} \, dx=(\$)\end{align} \]
Per il calcolo dell’integrale:
\[ 2 \int \dfrac{7}{7-x^2} \, dx \]
dobbiamo ricorrere alle frazioni parziali, scomponendo il polinomio a denominatore della frazione all’interno dell’integrale utilizzando termini irrazionali. Si ha:
\[ \dfrac{7}{7-x^2}=\dfrac{7}{(\sqrt{7}-x)(\sqrt{7}+x)} \]
Inoltre:
\[ \begin{align}\dfrac{7}{(\sqrt{7}-x)(\sqrt{7}+x)}&=\dfrac{A}{\sqrt{7}-x}+\dfrac{B}{\sqrt{7}+x}= \\ \\ & = \dfrac{A(\sqrt{7}+x)+B(\sqrt{7}-x)}{(\sqrt{7}-x)(\sqrt{7}+x)}= \\ \\ & = \dfrac{(A-B)x+\sqrt{7}A+\sqrt{7}B}{(\sqrt{7}-x)(\sqrt{7}+x)} \end{align} \]
da cui confrontando i numeratori con il principio di identità dei polinomi otteniamo:
\[ \begin{cases} A-B = 0 \\ \\ \sqrt{7}A + \sqrt{7}B=7\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}A = \dfrac{\sqrt{7}}{2} \\ \\ B = \dfrac{\sqrt{7}}{2} \end{cases} \]
di conseguenza:
\[ \dfrac{7}{7-x^2}=\dfrac{\sqrt{7}}{2(\sqrt{7}-x)}+\dfrac{\sqrt{7}}{2(\sqrt{7}+x)} \]
E quindi:
\[ \begin{align}2 \int \dfrac{7}{7-x^2} \, dx &=2 \int \dfrac{\sqrt{7}}{2(\sqrt{7}-x)}+\dfrac{\sqrt{7}}{2(\sqrt{7}+x)} \, dx= \\ \\ & = \sqrt{7} \left[\int \dfrac{1}{\sqrt{7}-x} \, dx+\int \dfrac{1}{\sqrt{7}+x} \, dx \right] =\\ \\ & = \sqrt{7} \left[-\int \dfrac{-1}{\sqrt{7}-x} \, dx+\int \dfrac{1}{\sqrt{7}+x} \, dx \right] = \\ \\ & = \sqrt{7} \left[-\ln|\sqrt{7}-x| +\ln|\sqrt{7}+x|\right] +c = \\ \\ & = \sqrt{7} \ln \left|\dfrac{\sqrt{7}+x}{\sqrt{7}-x} \right|+c\end{align} \]
Così riprendendo i precedenti passaggi possiamo scrivere:
\[ ($)= \log(7-x^2) \cdot x -2 x+ \sqrt{7} \ln \left|\dfrac{\sqrt{7}+x}{\sqrt{7}-x} \right|+c \]
e in conclusione:
\[ \small \int \log(7-x^2) \, dx=\log(7-x^2) \cdot x -2 x+ \sqrt{7} \ln \left|\dfrac{\sqrt{7}+x}{\sqrt{7}-x} \right|+c, \quad c \in \mathbb{R} \]
NOTA: osserviamo che per i logaritmi che non corrispondono alla funzione di partenza (funzione integranda) abbiamo dovuto utilizzare nei rispettivi argomenti il simbolo di modulo.
Conclusioni
Abbiamo visto come calcolare l’integrale del logaritmo sia per quanto riguarda il caso della funzione elementare, sia nel caso di funzioni logaritmiche aventi come argomento delle funzioni polinomiali. In questa seconda circostanza abbiamo mostrato come cavarcela utilizzando le due formule di integrazione per sostituzione.
Per quanto riguarda questa lezione sull’integrale del logaritmo nei vari casi è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo dell’integrale della secante. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂