In questa serie di esercizi vedremo anche polinomi che richiederanno di applicare più volte la regola di Ruffini per poter essere scomposti completamente.
Ad esempio, potremo scomporre un polinomio di quarto grado come prodotto di un binomio di primo grado per un polinomio di terzo grado. A sua volta, sempre con la regola di Ruffini, potremo scomporre il polinomio di terzo grado come prodotto di un binomio di primo grado per un polinomio di secondo grado, quest’ultimo eventualmente a sua volta scomponibile.
Ricordiamo che per scomporre un polinomio di secondo grado non conviene utilizzare la regola di Ruffini (anche se è possibile e corretto applicarla). E’ più conveniente utilizzare il metodo del trinomio caratteristico.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito questi esercizi sulla regola di Ruffini, come al solito svolti e commentati. 🙂
Esercizio 1
Scomporre il polinomio:
\[ x^3+2x^2-12x+8 \]
Ricerchiamo una radice del polinomio tra i divisori positivi e negativi del termine noto \( 8 \). Ricordiamo che una radice è un valore per la \( x \) che fa annullare il polinomio.
Una radice del polinomio assegnato è il valore \( x=2 \). Infatti:
\[ x^3+2x^2-12x+8 \quad \text{con} \quad x = 2 \quad \Rightarrow \quad 2^3+2 \cdot 2^2-12\cdot2 + 8= 0 \]
Costruiamo la tabella della regola di Ruffini:
Siamo partiti da un polinomio di terzo grado, che dovremo ora esprimere come prodotto di un binomio di primo grado per un polinomio di secondo grado.
Il binomio di primo grado è dato da \( x-2 \), poiché \( 2 \) è la radice del polinomio.
Il polinomio di terzo grado avrà termini ordinati per potenze decrescenti con coefficienti pari ai numeri dell’ultima riga della tabella. Lo zero a destra non è un coefficiente, ma è il resto che deve sempre essere zero. Esso non viene usato per scrivere la scomposizione.
Così, i coefficienti del polinomio di secondo grado sono:
\[ 1, \quad 4, \quad -4 \]
E il polinomio di secondo grado è quindi:
\[ x^2+4x-4 \]
Vale in conclusione la scomposizione:
\[ x^3+2x^2-12x+8=(x-2)(x^2+4x-4) \]
Osserviamo che polinomio \(x^2+4x-4 \) non può essere scomposto. Infatti, le sue radici vanno ricercate tra i divisori del termine noto, ovvero i numeri \( \pm4, \: \pm 2, \: \pm 1 \). Ma nessuno di questi valori rende nullo il polinomio.
Esercizio 2
Scomporre il polinomio:
\[ 4y^5-7y^4-17y^3+6y^2-3y+9 \]
Cominciamo a ricercare le radici tra i divisori positivi e negativi di \( 9 \) . Dopo qualche tentativo troviamo la radice \( 3 \).
Compiliamo la tabella della regola di Ruffini:
Attenzione: un coefficiente nell’ultima riga è pari a zero. Questo corrisponde al termine in \( y \), che non dovrà pertanto comparire nel polinomio di quarto grado.
Vale così la scomposizione:
\[ 4y^5-7y^4-17y^3+6y^2-3y+9=(y-3)(4y^4+5y^3-2y^2-3) \]
La scomposizione è terminata. Infatti, non è possibile ridurre ulteriormente il polinomio \( 4y^4+5y^3-2y^2-3 \).
Le sue radici vanno infatti ricercate tra i numeri \( \pm3, \: \pm1 \), cioè i divisori del termine noto, e anche fra i numeri \( \pm \dfrac{3}{4}, \: \pm \dfrac{3}{2}, \: \pm \dfrac{1}{4}, \: \pm \dfrac{1}{2} \), ovvero i rapporti tra i divisori del termine noto e i divisori del termine di grado massimo. Queste ultime frazioni costituiscono le eventuali radici razionali che vanno ricercate, lo ricordiamo, nel caso in cui il coefficiente del termine di grado massimo del polinomio sia diverso da \( 1 \).
Ora, nessuno dei valori rende nullo il polinomio di quarto grado, dunque questo non è scomponibile.
Negli esercizi immediatamente a seguire vedremo invece l’applicazione ripetuta della regola di Ruffini. 😉
Esercizio 3
\[ 9-21x +x^4+7x^3+4x^2\]
Non lasciamoci ingannare. Anzitutto, ordiniamo il polinomio per le potenze decrescenti della \( x \):
\[ x^4+7x^3+4x^2-21x+9 \]
Ora sì, possiamo compilare la tabella della regola di Ruffini senza rischio di errori. Infatti, poiché il polinomio è ordinato potremo scrivere i coefficienti nella prima riga della tabella agevolmente, seguendo esattamente l’ordine in cui compaiono nel polinomio stesso.
Una radice del polinomio è data dal valore \( x=1 \). Si ha:
Possiamo così scrivere:
\[ x^4+7x^3+4x^2-21x+9=(x-1)(x^3+8x^2+12x-9) \]
Non abbiamo finito: il polinomio di terzo grado scritto nella scomposizione può essere a sua volta scomposto. Infatti, per esso troviamo la radice \( x = -3 \).
Dovremo allora impostare un’altra tabella della regola di Ruffini, scrivendo nella prima riga i coefficienti del trinomio di terzo grado. Si ha:
Così, per il trinomio di terzo grado vale la scomposizione:
\[ x^3+8x^2+12x-9=(x+3)(x^2+5x-3) \]
Ci rimane da controllare se il polinomio di secondo grado può essere scomposto. Vediamo il suo determinante (vedi spiegazioni nella prima parte):
\[ b^2-4ac = 5^2-4 \cdot (-3) \cdot 1 = 25 + 12 = 37 \geq 0 \]
Il determinante è maggiore di zero, per cui il polinomio \( x^2+5x-3 \) potrebbe essere scomponibile. Tuttavia, ricercando le radici tra i divisori di \( -3 \), cioè i numeri \( \pm 1, \: \pm 3 \), non troviamo nessun valore che annulla il polinomio. Ciò significa che il polinomio ha radici a termini irrazionali e quindi non può di fatto essere scomposto. A noi infatti interessano scomposizioni con termini interi o al più frazionari.
Se il discorso del determinante vi crea confusione niente paura: potete semplicemente ricercare le radici ogni volta senza calcolarlo. 😉 Ricordiamo però che l’uso del determinante è comodo poiché se risulta minore di zero siamo certi che il polinomio non si può scomporre e quindi non dobbiamo cercare le radici.
Mettiamo ora in ordine tutte le informazioni che abbiamo:
\[ \begin{align} &x^4+7x^3+4x^2-21x+9=(x-1)(x^3+8x^2+12x-9) = \\ \\ & = (x-1) (x+3)(x^2+5x-3)\end{align} \]
E in conclusione, ripartendo dal polinomio dato in partenza:
\[ 9-21x +x^4+7x^3+4x^2= (x-1) (x+3)(x^2+5x-3) \]
Esercizio 4
Scomporre il polinomio:
\[ x^4-2x^2-8 \]
Una radice è data dal valore \( x=2 \).
Ora, il polinomio assegnato non è completo. Pertanto, ricordiamoci di scriverlo prima di tutto nella forma:
\[ x^4+0x^3-2x^2+0x-8 \]
In altre parole, i coefficienti dei termini in \( x^3 \) e \( x \) sono nulli, ma vanno indicati esplicitamente nella prima riga della tabella di Ruffini. Non dimentichiamocene mai. 😉
Applicando la regola si ha così:
E quindi:
\[ x^4-2x^2-8=(x-2)(x^3+2x^2+2x+4) \]
Il polinomio di terzo grado può essere ancora scomposto con la regola di Ruffini.
Una sua radice è data infatti da \( x=-2 \).
Scriviamo i suoi coefficienti nella prima riga di una nuova tabella. Abbiamo:
Attenzione. Il coefficiente del termine in \( x \) nel polinomio di secondo grado dovrà essere uguale a zero (infatti, abbiamo uno zero nell’ultima riga della tabella).
Il polinomio di secondo grado si scrive quindi come:
\[ x^2+0 \cdot x + 2 =x^2+2 \]
Per il polinomio di terzo grado si ha dunque la scomposizione:
\[ x^3+2x^2+2x+4=(x+2)(x^2+2) \]
Osserviamo che il polinomio \( x^2+2 \) non può essere di certo scomposto. Infatti, questo è somma di termini sempre positivi. Il termine noto è positivo, e il termine \( x^2 \) sarà positivo per ogni \( x \). Di conseguenza, non esisterà per certo alcun valore della \( x \) in grado di annullare il polinomio. 😉
Mettendo quindi insieme tutte le informazioni che abbiamo, possiamo scrivere:
\[ x^4-2x^2-8=(x-2)(x^3+2x^2+2x+4)=(x-2)(x+2)(x^2+2) \]
E quindi in conclusione:
\[ x^4-2x^2-8=(x-2)(x+2)(x^2+2) \]
Svolgimento alternativo per l’esercizio 4
Per scomporre il polinomio:
\[ x^4-2x^2-8 \]
possiamo anche utilizzare al posto della regola di Ruffini un altro metodo. In particolare, la tecnica di scomposizione relativa al trinomio caratteristico per sostituzione.
Si tratta di porre ad esempio:
\[x^2=z\]
In questo modo potremo riscrivere il polinomio assegnato nella variabile \( z \).
Per comodità, osserviamo che grazie alle potenze di potenze si ha:
\[ x^4-2x^2-8=(x^2)^2-2x^2-8 \]
Così, sostituendo a tutti i termini \( x^2 \) la lettera \( z \):
\[ z^2-2z-8 \]
E questo è il polinomio di partenza espresso nella nuova variabile \( z \). 😉
Ora abbiamo un polinomio di secondo grado che possiamo provare a scomporre con la regola del trinomio caratteristico.
Si tratta di cercare due numeri la cui somma sia \( -2 \) e il cui prodotto sia \( -8 \). I numeri cercati sono \( -4 \) e \( +2 \). Così vale la scomposizione:
\[ z^2-2z-8=(z-4)(z+2) \]
Ora non ci resta che esprimere tutto di nuovo nella variabile \( x \). Poiché avevamo posto \( x^2=z \), sarà anche ovviamente \( z=x^2 \). Sostituiamo allora nei fattori a ciascuna lettera \( z \) il termine \( x^2 \). Potremo così uguagliare i fattori espressi nella variabile \( x \) al polinomio di partenza. Abbiamo pertanto:
\[ x^4-2x^2-8=(x^2-4)(x^2+2) \]
Come già abbiamo osservato nel precedente svolgimento, il fattore \( x^2+2 \) non è ulteriormente scomponibile. Invece, il fattore \( x^2-4 \) è una differenza tra due quadrati e si ha:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Così avremo in conclusione:
\[ x^4-2x^2-8=(x-2)(x+2)(x^2+2) \]
Il risultato appena scritto è lo stesso di quello ottenuto con la regola di Ruffini. 🙂
Qui termina questa serie di esercizi sulla regola di Ruffini. Per verificare i risultati dei vostri esercizi, vi ricordo il tool di scomposizione dei polinomi e soprattutto il tool dedicato alla scomposizione con la regola di Ruffini, con passaggi.
In caso di dubbi sugli esercizi, è disponibile una trattazione teorica della regola di Ruffini, nonché la prima parte degli esercizi svolti, nella quale sono presenti richiami teorici ed esercizi completamente guidati.
Ciao a tutti e buono studio! 🙂