L’operazione di divisione di un polinomio per un monomio si basa sulla proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione, come vedremo fra un’istante.
Precisiamo che qui intenderemo inizialmente l’operazione nella sua generalità, cioè senza pretendere che il risultato debba essere per forza un polinomio. Mostreremo poi che l’operazione di divisione di un polinomio per un monomio può essere intesa anche in modo più restrittivo, cioè come un’operazione interna all’insieme dei polinomi. Indicheremo nel dettaglio gli accorgimenti da seguire quando l’operazione viene definita in questo modo.
Mettiamoci allora comodi e vediamo con un esempio pratico come si esegue la divisione di un polinomio per un monomio. 🙂
Regola per eseguire la divisione di un polinomio per un monomio
Supponiamo di dover dividere il polinomio \( a+b+c \) per un monomio \( m \). Indichiamo l’operazione con:
\[ (a+b+c):m \]
Per la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione, ciò equivale a dividere ciascun addendo nel dividendo per il divisore. In altre parole, dovremo dividere ciascun termine del polinomio, ordinatamente, per il monomio. Si ha:
\[ (a+b+c):m= a:m+b:m+c:m \]
In pratica, per dividere un polinomio per un monomio si divide ciascun termine del polinomio per il monomio, e si sommano tra loro tutti i quozienti via via ottenuti.
Se un dato termine del polinomio risulterà divisibile per il monomio divisore, allora il quoziente corrispondente sarà dato ancora da un monomio. Diversamente, lasceremo semplicemente indicata la divisione tra i due monomi.
Un primo esempio di divisione tra un polinomio e un monomio
Eseguiamo la divisione:
\[ (8a^2+5a-7):(4a) \]
Applichiamo la proprietà distributiva della divisione. In altre parole, seguendo la regola data dividiamo ciascun termine nel polinomio per il monomio divisore \( (4a) \). Si ha così:
\[ (8a^2+5a-7):(4a)=8a^2:(4a)+5a:(4a)-7:(4a) \]
Osserviamo che i monomi \( 8a^2 \) e \( 4a \) sono divisibili. Dividendo infatti le rispettive parti numeriche e letterali tra loro otteniamo ancora un monomio:
\[ 8a^2:(4a)=(8:4)\cdot(a^2:a)=2a^{2-1}=2a \]
Anche il secondo termine del polinomio è divisibile per il monomio divisore. Si ha:
\[ 5a:(4a)=(5:4)\cdot(a:a)=\dfrac{5}{4} \]
Il risultato ottenuto è ancora un monomio (è un numero, ma come sappiamo si tratta di un monomio le cui lettere sono tutte elevate ad esponente zero).
Ora, veniamo all’ultimo termine del polinomio, cioè \( -7 \). Osserviamo che tale termine non è divisibile per il monomio divisore. Ma vediamo molto semplicemente cosa succede in pratica:
\[ -7:(4a)= -7a^0:(4a^1)=(-7:4)\cdot(a^0:a^1)=-\dfrac{7}{4} \cdot a^{-1}=-\dfrac{7}{4a} \]
In altre parole, il quoziente tra il termine \( -7 \) del polinomio e il monomio divisore risulta essere una frazione algebrica. Infatti, abbiamo una lettera al denominatore.
Osserviamo che \( a^{-1} = \dfrac{1}{a} \) per le proprietà delle potenze con esponenti relativi.
Possiamo così scrivere in conclusione:
\[ (8a^2+5a-7):(4a)=2a+\dfrac{5}{4}-\dfrac{7}{4a} \]
Il risultato ottenuto è quindi una frazione algebrica poiché abbiamo almeno una lettera a denominatore. Siccome non abbiamo ottenuto come risultato un polinomio, concludiamo che il polinomio e il monomio di partenza non sono tra loro divisibili.
Esempio di divisione di un polinomio per un monomio con risultato un polinomio
Se ciascun termine del polinomio dividendo è divisibile per il monomio divisore, il risultato della divisione sarà ancora un polinomio e non una frazione algebrica.
Infatti, se ciascun termine (o monomio) del polinomio è divisibile per il monomio divisore, ciascun quoziente tra i monomi sarà ancora un monomio. Di conseguenza il risultato sarà una somma tra monomi (interi) e, quindi, un polinomio. In altre parole, nel risultato non avremo nessuna lettera ai denominatori.
Consideriamo la divisione:
\[ (8a^4-6a^3+5a^2):(2a) \]
Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio divisore:
\[ \small (8a^4-6a^3+5a^2):(2a)=8a^4:(2a)-6a^3:(2a)+5a^2:(2a)=4a^3-3a^2+\dfrac{5}{2}a \]
Come ripasso della divisione tra monomi, vediamo come abbiamo ottenuto ogni singolo quoziente parziale:
\[ 8a^4:(2a)=(8:2)\cdot(a^4:a)=4a^{4-1}=4a^3 \]
\[ -6a^3:(2a)=(-6:2) \cdot (a^3:a)=-3 a^{3-1}=-3a^2 \]
\[ 5a^2:(2a)=(5:2)(a^2:a)=\dfrac{5}{2}a^{2-1}=\dfrac{5}{2}a \]
Tornando alla divisione assegnata, possiamo scrivere in conclusione:
\[ (8a^4-6a^3+5a^2):(2a)=4a^3-3a^2+\dfrac{5}{2}a \]
Il risultato ottenuto è un polinomio poiché non abbiamo lettere ai denominatori. Ciò è conseguenza del fatto che dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio divisore abbiamo sempre ottenuto un monomio (inteso nella sua definizione più restrittiva di monomio intero) e non una frazione algebrica.
Concludiamo dunque che il polinomio di partenza è divisibile per il monomio divisore dato.
Criterio di divisibilità tra un polinomio e un monomio
Un polinomio (dividendo) si dice divisibile per un monomio (divisore) se il risultato della divisione è un polinomio il cui prodotto con il monomio divisore restituisce il polinomio di partenza.
Condizione affinché il risultato della divisione sia un polinomio e non una frazione algebrica è che ciascun termine del polinomio sia divisibile per il monomio divisore. E poiché ciascun termine del polinomio, anche numerico, può essere visto come un monomio, cioè equivale a pretendere che ciascun monomio contenuto nel polinomio sia divisibile per il monomio divisore.
In termini pratici, se un polinomio è divisibile per un monomio, nel risultato non avremo nessuna lettera al denominatore.
Viceversa, se è un polinomio non è divisibile per un monomio, allora nel risultato avremo almeno una lettera al denominatore. Abbiamo visto un caso di questo tipo proprio nel primo esempio. 😉
Divisione tra un polinomio e un monomio come operazione interna all’insieme dei polinomi
Come anticipato all’inizio della lezione, l’operazione di divisione tra un polinomio e un monomio può essere anche intesa come operazione interna all’insieme dei polinomi. Ciò significa che l’operazione potrà essere eseguita solo se offrirà come risultato un polinomio e non una frazione algebrica.
Se il vostro insegnante adotta questa definizione, allora sappiate che potrete eseguire la divisione tra un polinomio e un monomio soltanto se il polinomio stesso è divisibile per il monomio.
Così, se il polinomio è divisibile per il monomio procederemo con il calcolo. Diversamente, lasceremo la divisione semplicemente indicata.
La conclusione è che prima di eseguire il calcolo dovremo controllare che ciascun monomio contenuto nel polinomio dividendo sia divisibile per il monomio divisore.
Esempio 1
\[ \left(5x^7-x^6+2x^5-\dfrac{4}{7}x^4+3x^3\right):x^3 \]
Poiché qui intendiamo l’operazione come interna all’insieme dei polinomi, dobbiamo controllare che ciascun monomio contenuto nel polinomio sia divisibile per il monomio divisore \( x^3 \).
Poiché abbiamo un solo tipo di lettera sia nel dividendo, sia nel divisore, basta controllare che gli esponenti di ciascuna lettera nel polinomio siano tutti maggiori o al più uguali all’esponente nella lettera del monomio divisore.
Come è immediato verificare, la condizione è rispettata da tutti i termini del polinomio. Infatti, nessun termine del polinomio ha un esponente minore di \( 3 \).
Il polinomio è allora divisibile per il monomio e il risultato sarà ancora un polinomio. L’operazione è dunque interna all’insieme dei polinomi e possiamo eseguire il calcolo. Si ha:
\[ \begin{align} &\left(5x^7-x^6+2x^5-\dfrac{4}{7}x^4+3x^3\right):x^3= \\ \\ & = 5x^7:x^3-x^6:x^3+2x^5:x^3-\dfrac{4}{7}x^4:x^3+3x^3:x^3 = \\ \\ & = 5x^{7-3}-x^{6-3}+2x^{5-3}-\dfrac{4}{7}x^{4-3}+3x^{3-3} = \\ \\ & = 5x^4-x^3+2x^2-\dfrac{4}{7}x+3\end{align} \]
Il risultato ottenuto è un polinomio e non una frazione algebrica poiché non ci sono lettere ai denominatori.
Abbiamo riportato per scopi didattici tutti i passaggi, ma nella pratica eseguiamo l’operazione direttamente come segue:
\[ \left(5x^7-x^6+2x^5-\dfrac{4}{7}x^4+3x^3\right):x^3= 5x^4-x^3+2x^2-\dfrac{4}{7}x+3\]
E’ cioè bene, ove possibile, eseguire le divisioni tra i monomi a mente. Tuttavia, il consiglio è quello di regolarvi in base alla vostra esperienza e a come vi sentite più sicuri.
Esempio 2
\[ (6a^4b^4-8a^3b^3-5a^2b^2+7ab):(2ab) \]
In questo caso abbiamo due differenti tipi di lettere, sia nel polinomio, sia nel monomio divisore. Come facciamo a stabilire se ciascun termine del polinomio è divisibile per il monomio divisore?
Chi ricorda il criterio di divisibilità tra monomi già saprà la risposta. Ricordiamo in ogni caso che affinché due monomi siano divisibili tra loro dovremo avere che:
- il grado complessivo del monomio dividendo dovrà essere maggiore o uguale al grado complessivo del monomio divisore;
- tutte le lettere nel monomio dividendo dovranno avere esponente maggiore o al più uguale all’esponente della corrispondente lettera nel monomio divisore.
Così, il polinomio nell’esempio dato è divisibile per il monomio in quanto tutti i monomi contenuti nel polinomio hanno grado complessivo maggiore o al più uguale a quello del monomio divisore. Inoltre, tutte le lettere nei termini del polinomio hanno esponente maggiore o al più uguale all’esponente che ha la corrispondente lettera nel monomio divisore.
Ad esempio, il termine (monomio) \( 6a^4b^4 \) è divisibile per il monomio divisore \( 2ab \) poiché:
- il grado complessivo del monomio \( 6a^4b^4 \) è pari ad \( 8 \) (somma degli esponenti di tutte le lettere), ed è maggiore del grado complessivo del monomio divisore, che è invece pari a \( 2 \). Infatti, poiché \( 2ab=2a^1b^1 \) il grado del monomio \( 2ab \) è proprio \( 1+1=2 \);
- la lettera \( a \) compare nel polinomio con esponente \( 4 \), mentre nel monomio compare con esponente \( 1 \). Inoltre, la lettera \( b \) compare nel polinomio con esponente \( 4 \) mentre nel monomio compare con esponente \( 1 \). In entrambi i casi l’esponente della lettera nel polinomio è maggiore dell’esponente di quella stessa lettera nel monomio e quindi la condizione sugli esponenti è rispettata.
Il polinomio è dunque divisibile per il monomio. Procediamo allora con la divisione:
\[ (6a^4b^4-8a^3b^3-5a^2b^2+7ab):(2ab)=3a^3b^3-4a^2b^2-\dfrac{5}{2}ab+\dfrac{7}{2} \]
Effettivamente abbiamo ottenuto un polinomio e non una frazione algebrica, poiché non abbiamo lettere al denominatore.
Esempio 3
\[ (2x^4y^5+3x^3y^2):(x^3y^4) \]
Il primo termine del polinomio è divisibile per il monomio, poiché le sue lettere hanno tutte esponente maggiore di quello delle corrispondenti lettere del monomio. Inoltre, anche la condizione relativa ai gradi complessivi dei monomi è rispettata.
Tuttavia, il secondo termine del polinomio non è divisibile per il monomio. Infatti, pur non avendo problemi per la lettera \( x \), la lettera \( y \) ha in questo termine esponente \( 2 \), mentre nel monomio ha esponente \( 4 \).
Quindi, il polinomio non è divisibile per il monomio.
Poiché qua intendiamo l’operazione come interna all’insieme dei polinomi, non possiamo calcolare la divisione in quanto otterremmo una frazione algebrica. Allora, lasciamo semplicemente indicata la divisione, magari usando il simbolo di fratto:
\[ (2x^4y^5+3x^3y^2):(x^3y^4)=\dfrac{2x^4y^5+3x^3y^2}{x^3y^4 } \]
Esempio 4
\[ (2x^2+3x):(2z) \]
Ora abbiamo nel monomio divisore una lettera che non compare nel polinomio dividendo. Come ci regoliamo?
Siamo nel caso in cui una lettera del monomio ha esponente maggiore della corrispondente lettera nel polinomio. Ma si potrebbe obiettare, nel polinomio la lettera \( z \) non è presente. Ormai il trucco è chiaro.. la lettera \( z \) c’è ma con esponente zero.
Così, mentre nel monomio divisore la lettera \( z \) ha esponente \( 1 \), in ciascun termine del polinomio la lettera \( z \) figura con esponente \( 0 \), e quindi per quanto detto concludiamo che il polinomio non è divisibile per il monomio. 😉
Grado del risultato della divisione
Se un polinomio di grado complessivo \( g_1 \) è divisibile per un monomio di grado complessivo \( g_2 \), il risultato sarà un polinomio il cui grado è pari a \( g_1-g_2 \).
Ad esempio, nella seguente divisione:
\[ (a^3b^2+5ab):(ab)=a^2b+5 \]
osserviamo che il polinomio \( a^3b^2+5ab \) è di grado \( 5 \) (il massimo fra i gradi complessivi di ciascun termine che lo compone), mentre il monomio è di grado \( 2 \). Effettivamente, il grado del polinomio risultato della divisione (polinomio quoziente) è pari a \( 5-2=3 \).
In caso di dubbi, osserviamo che il grado del termine \( a^3b^2 \) è pari alla somma degli esponenti ovvero \( 5 \). Il grado del termine \( 5ab \) è pari a \( 2 \) (infatti, \( 5ab=5a^1b^1 \) e la somma degli esponenti è uguale a \( 2 \)). Così, il grado del polinomio è il massimo tra i gradi dei suoi termini e cioè proprio \( \boxed{5} \).
Il grado del monomio divisore è invece pari a \( \boxed{2} \) (ancora, \( ab=a^1b^1 \) e la somma degli esponenti è \( 2 \)).
Così, il polinomio quoziente ha grado \( 5-2=3 \). Infatti, la somma degli esponenti del termine di grado massimo nel polinomio quoziente, cioè \( a^2b \), è proprio \( 2+1=3 \).
Qui finisce questa lunga lezione sulla divisione tra un polinomio e un monomio. Vi ricordo che con il tool calcolo dei polinomi online potrete anche verificare i risultati dei vostri esercizi sulle divisioni tra un polinomio e un monomio. Abbiate soltanto l’accortezza di usare il simbolo \( / \) e non \( : \) per indicare la divisione. 😉
IMPORTANTE: per gli studenti della scuola media, le lezioni di algebra di Altramatica terminano qui. 🙂
Nella prossima lezione vedremo la divisione tra polinomi. Ciao a tutti e buono studio con Altramatica!