Un polinomio in generale non si dice completo nel suo complesso ma soltanto rispetto ad una lettera. In particolare, per stabilire se un polinomio è completo o meno è prima di tutto necessario guardare il massimo grado che abbiamo per i termini del polinomio rispetto ad una data lettera.
E’ dunque importante ricordare la definizione di grado di un monomio rispetto ad una lettera.
Precisiamo tuttavia che se in un polinomio compare una sola lettera, questo potrà eventualmente dirsi semplicemente completo, poiché è chiaro che lo è rispetto all’unica lettera esistente.
Vediamo ora in modo diretto la definizione di polinomio completo. 🙂
Polinomio completo (rispetto ad una lettera)
Sia dato un polinomio ridotto in forma normale. Sia inoltre \( d \) il massimo grado che è stato possibile individuare fra i gradi rispetto ad una fissata lettera di ciascun monomio presente nel polinomio.
Il polinomio si dice completo rispetto ad una certa lettera se quella stessa lettera compare nel polinomio con tutti gli esponenti naturali da 0 fino a \( d \). Se anche uno solo di questi esponenti è mancante, il polinomio si dirà incompleto rispetto alla lettera stessa.
Esempio 1
Il polinomio:
\[ 3x^3y+2x^2y^2+9x+8 \]
è completo rispetto alla lettera \( x \) poiché, fra tutti i gradi dei monomi presenti rispetto alla lettera \( x \), il grado massimo è \( 3 \) e nelle lettere \( x \) compaiono tutti gli esponenti da \( 0 \) a \( 3 \).
NOTA: il termine \( 8 \) può essere ovviamente espresso come \( 8x^0 \) (\( x^0=1 \)). Per questo diciamo che compaiono tutti gli esponenti da zero a \( 3 \).
Esempio 2
Consideriamo ora il seguente polinomio:
\[ 3y^3+2y+4 \]
Osserviamo che il massimo grado dei monomi rispetto alla \( y \) è \( 3 \) (corrispondente in questo caso al primo termine del polinomio).
Il polinomio risulta incompleto rispetto alla lettera \( y \). Infatti, per la \( y \) non abbiamo tutti gli esponenti naturali da \( 0 \) a \( 3 \). L’esponente \( 2 \) è mancante (in altre parole, il coefficiente del termine in \( y^2 \) è pari a zero, per cui di fatto il termine in \( y^2 \) non compare nel polinomio).
NOTA: poiché nel polinomio abbiamo un solo tipo di lettera, in questo caso potremo definire il polinomio, semplicemente, incompleto. E’ infatti ovvio a quale lettera ci riferiamo.
Esempio 3
Il polinomio:
\[ 3x^3y+4x^2y^3+7x+9 \]
è completo rispetto alla lettera \( x \) e incompleto rispetto alla lettera \( y \). Brevemente, per la \( x \) abbiamo tutti gli esponenti naturali a partire dal grado massimo con il quale compare la \( x \) nel polinomio, mentre per la \( y \) è mancante il termine in \( y^2 \).
Esempio 4
Il polinomio:
\[ 3x^3y+4x^2y^2+7xy^3+4 \]
è completo sia rispetto alla lettera \( x \), sia rispetto alla lettera \( y \). Infatti, vediamo per prima cosa che per entrambe le lettere compaiono tutti gli esponenti naturali da \( 1 \) fino al rispettivo grado massimo.
Ora, il termine \( 4 \) può essere visto sia come \( 4x^0 \), sia come \( 4y^0 \). Di conseguenza, abbiamo tutti gli esponenti naturali che soddisfano la definizione di polinomio completo rispetto ad entrambe le lettere.
La lezione sulla definizione di polinomio completo è così conclusa. 🙂 Nella prossima lezione, vedremo il concetto di polinomio ordinato.
Ciao a tutti e, come sempre, buono studio con Altramatica!