Vediamo di spiegare la definizione con degli esempi. 😉
Sia assegnato il polinomio:
\[ 3x^3y+x^2y^4+2x+1 \]
Il polinomio è ordinato secondo le potenze decrescenti rispetto alla \( x \). Infatti, il primo termine è in \( x^3 \), il secondo termine in \( x^2 \), il terzo termine in \( x \) e l’ultimo termine in \( x^0 \). Come è immediato osservare, gli esponenti delle \( x \) decrescono sempre dal termine precedente al successivo. Ovvero, l’esponente della \( x \) in un termine è sempre maggiore dell’esponente della \( x \) nel termine successivo.
Il polinomio:
\[ 3x^3+2x^2+9x+8 \]
è ordinato rispetto alla lettera \( x \) secondo le potenze decrescenti. Infatti, in modo del tutto simile al caso precedente, abbiamo che l’esponente nella lettera \( x \) di un termine è sempre maggiore dell’esponente nella lettera \( x \) del termine successivo.
Ancora, il polinomio:
\[ 3x^4y^2+3x^2y^4 \]
è ordinato secondo le potenze decrescenti rispetto alla lettera \( x \) (infatti, l’esponente della \( x \) nel primo termine è maggiore dell’esponente della \( x \) nel secondo termine).
Invece, il polinomio non è ordinato secondo le potenze decrescenti rispetto alla \( y \), ma per questa lettera lo è secondo le potenze crescenti (infatti, il primo termine ha un esponente della \( y \) minore del secondo termine).
Osserviamo che il polinomio non è completo rispetto a nessuna delle due lettere, ma ciò non ha nessuna importanza in questo caso. Le definizioni di polinomio completo e polinomio ordinato sono tra loro del tutto separate. Così, un polinomio potrà essere completo anche senza essere ordinato e viceversa.
Infine, il polinomio:
\[ 4x^5y^4+7x^7y^2+9x^2y^7 \]
non è ordinato rispetto a nessuna lettera. Si dirà così polinomio non ordinato. Infatti, né per la \( x \), né per la \( y \), gli esponenti non risultano né sempre crescenti né sempre decrescenti per tutti i termini del polinomio.
Definizioni (polinomio ordinato)
Ormai che abbiamo capito quando un polinomio è ordinato rispetto ad una data lettera, non ci resta che fornire le definizioni per fissare i concetti.
Un polinomio si dice ordinato rispetto ad una lettera secondo le potenze decrescenti se i termini del polinomio si susseguono in modo tale che ciascun termine abbia per quella lettera esponente maggiore rispetto al termine seguente.
Un polinomio si dice invece ordinato rispetto ad una lettera secondo le potenze crescenti se i termini del polinomio si susseguono in modo tale che ciascun termine abbia per quella lettera esponente minore rispetto al termine seguente.
Se non sussistono le precedenti condizioni, il polinomio risulterà non ordinato rispetto alla lettera considerata. Per ordinarlo rispetto a tale lettera, basterà cambiare l’ordine con il quale si presentano i monomi sfruttando la proprietà commutativa dell’addizione algebrica.
NOTA: solitamente i polinomi contenenti un solo tipo di lettera vengono ordinati secondo le potenze decrescenti di tale lettera.
La lezione sui polinomi ordinati termina qui. Nella prossima lezione, cominceremo a parlare delle operazioni tra polinomi e vedremo in particolare l’addizione tra polinomi.
Ciao a tutti e grazie per la lettura! 🙂