In particolare, per chi ben ricorda come sommare tra loro due o più monomi, praticamente la lezione può dirsi quasi conclusa. 🙂 Infatti, la somma di due polinomi consiste proprio nel sommare tra loro tutti i monomi presenti nei due polinomi. E, come sappiamo, calcoleremo le somme per i monomi simili e lasceremo indicate le somme tra monomi non simili.
Per chi invece non ricorda bene la somma tra monomi nessun problema: in questa lezione spiegheremo la regola per la somma di due polinomi in modo completo. 🙂
Pronti, cominciamo!
Somma tra polinomi (o addizione tra polinomi)
Siano dati i seguenti polinomi:
\[ 3xy+2ab; \qquad 7xy+9ab+50z-13 \]
Per calcolare la somma tra i due polinomi, scriveremo il primo polinomio, un segno + per l’operazione di addizione, e di seguito il secondo polinomio. Nel caso in cui il secondo polinomio sia negativo, ricordiamoci di scriverlo tra parentesi tonde (questo perché non si possono scrivere i segni \( + \) e \( – \) direttamente affiancati). 😉
In questo caso, basterà scrivere, semplicemente:
\[ \underbrace{3xy+2ab}_{\text{primo polinomio}}+\underbrace{7xy+9ab+50z-13}_{\text{secondo polinomio}} \]
Ora, per calcolare la somma basterà sommare tra loro tutti i monomi simili di entrambi i polinomi.
Brevemente, ricordiamo che due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale.
E’ sempre consigliabile porre un segno sotto ai termini (monomi) simili in modo da eseguire più agevolmente le addizioni. Questo, specialmente quando si ha ancora non troppa esperienza e/o in presenza di polinomi con molti termini.
Identifichiamo quindi i monomi simili:
\[ \underline{3xy}+\underline{\underline{2a}}b+\underline{7xy}+\underline{\underline{9ab}}+50z-13 \]
Ora, non ci resta che sommare i monomi simili. Le restanti somme rimarranno indicate (cioè, non si potranno calcolare):
\[ \underline{3xy}+\underline{\underline{2a}}b+\underline{7xy}+\underline{\underline{9ab}}+50z-13=10xy+11ab+50z-13 \]
Abbiamo così sommato i due polinomi dati. 😉
Somma di un dato polinomio con un polinomio avente primo termine negativo
Vediamo ora il seguente esempio. Sommiamo tra loro i seguenti polinomi:
\[ 2ab+7a^2b^2+13; \qquad -9ab+14a^2b^2-20 \]
Il secondo polinomio ha il primo termine negativo. In parole povere, la scrittura del secondo polinomio inizia con un segno meno.
La procedura da seguire è la stessa adottata nell’esempio precedente. Tuttavia, se vogliamo indicare esplicitamente l’operatore di addizione dobbiamo per forza porre il secondo polinomio fra parentesi tonde. Così, per indicare la somma tra i due polinomi scriveremo il primo polinomio, poi il simbolo di addizione, ed infine il secondo polinomio tra parentesi tonde:
\[ \underbrace{2ab+7a^2b^2+13}_{\text{primo polinomio}}+\underbrace{(-9ab+14a^2b^2-20)}_{\text{secondo polinomio}} \]
Ora, per quanto abbiamo imparato per i numeri relativi, possiamo eliminare il simbolo di addizione e le parentesi tonde, scrivendo i polinomi uno di seguito all’altro con il loro segno:
\[ 2ab+7a^2b^2+13-9ab+14a^2b^2-20 \]
Adesso, evidenziamo i monomi simili e procediamo con la somma. 🙂
\[ \underline{2ab}+\underline{\underline{7a^2b^2}}+13-\underline{9ab}+\underline{\underline{14a^2b^2}}-20=-7ab+21a^2b^2-7 \]
Abbiamo così ottenuto il risultato anche per questa somma tra polinomi. 🙂
Una volta acquisita un po’ di esperienza, sarà possibile omettere l’uso del simbolo di addizione e scrivere semplicemente i polinomi uno dopo l’altro, indicando esplicitamente tutti i segni dei termini che li compongono (compreso il primo termine). Ad esempio, siano dati i polinomi:
\[ x^3+3x+8; \qquad -4x^3+9x^2+5x+7 \]
Indicheremo la loro somma direttamente in questo modo:
\[ x^3+3x+8-4x^3+9x^2+5x+7 \]
Il che effettivamente equivale a scrivere:
\[ x^3+3x+8+(-4x^3+9x^2+5x+7) \]
e a togliere poi il simbolo di addizione tra i due polinomi e le parentesi tonde. L’idea è dunque quella di non stare a scrivere ciò che poi andrà tolto. 😉
All’inizio tuttavia è consigliabile indicare esplicitamente il simbolo dell’operazione di addizione tra polinomi e usare le parentesi tonde.. col tempo verrà automatico procedere in modo più snello.
Grado del polinomio risultato della somma fra polinomi
Il grado del polinomio somma (il risultato della somma fra polinomi) sarà minore o al più uguale al maggiore fra i gradi dei polinomi che abbiamo sommato.
Il grado del polinomio somma potrà essere anche minore del massimo grado dei polinomi addendi poiché potrà capitare che tutti i termini di grado più alto nell’effettuare la somma si cancellino tra loro. 😉
La somma di due o più polinomi non darà mai, invece, un risultato di grado maggiore rispetto a quello dei polinomi addendi. Ciò è diretta conseguenza delle regole valevoli per la somma tra polinomi.
Vediamo ora un esempio con somma tra più di due polinomi. Niente paura: i concetti sono gli stessi fin qui usati. 😉
Addizione di tre o più polinomi
Calcolare la somma tra i seguenti polinomi:
\[ 3a^2-7ab+b^2; \qquad 9a^2-3ab+4b^2; \qquad -3a^3-2ab+2b^2 \]
Indichiamo la loro somma usando i simboli di addizione e le parentesi, ove necessarie:
\[ \underbrace{3a^2-7ab+b^2}_{\text{primo polinomio}} +\underbrace{9a^2-3ab+4b^2}_{\text{secondo polinomio}} +(\underbrace{ -3a^3-2ab+2b^2}_{\text{terzo polinomio}}) \]
A questo punto, eliminiamo il simbolo di addizione tra il secondo e il terzo monomio e togliamo pure le parentesi tonde:
\[ 3a^2-7ab+b^2+9a^2-3ab+4b^2-3a^3-2ab+2b^2 \]
Ora sottolineiamo i monomi simili:
\[ \underline{3a^2}-\underline{\underline{7ab}}+\underline{\underline{\underline{b^2}}}+\underline{9a^2}-\underline{\underline{3ab}}+4\underline{\underline{\underline{b^2}}}-3a^3-\underline{\underline{2ab}}+2\underline{\underline{\underline{b^2}}} \]
Procediamo sommando tra loro tutti i termini simili:
\[ \begin{align}&\underline{3a^2}-\underline{\underline{7ab}}+\underline{\underline{\underline{b^2}}}+\underline{9a^2}-\underline{\underline{3ab}}+4\underline{\underline{\underline{b^2}}}-3a^3-\underline{\underline{2ab}}+2\underline{\underline{\underline{b^2}}} = \\ \\ &= 12a^2-12ab+7b^2-3a^3 \end{align} \]
E siamo così arrivati al risultato. Volendo possiamo ordinare il polinomio che abbiamo ottenuto rispetto alla lettera \( a \), per potenze in ordine decrescente:
\[ -3a^3+12a^2-12ab+7b^2 \]
Questo ultimo passaggio non è fondamentale ma è bene farlo per un discorso estetico.
Concludiamo qui la lezione sulla somma tra polinomi (addizione). Nella prossima lezione, vedremo la differenza tra polinomi (sottrazione). Ciao a tutti e buono studio! 🙂