Vedremo nel dettaglio come si esegue la sottrazione tra polinomi. Conoscere come sommare due o più polinomi tra loro è sicuramente un prerequisito importante per sfruttare al meglio questa lezione.
Bene, cominciamo! 🙂
Un primo esempio
Supponiamo di voler sottrarre al polinomio (minuendo):
\[ 3x^2+2x+7 \]
il seguente polinomio (sottraendo):
\[ 2x^2-9x+23 \]
Come nel caso dei numeri relativi, dovremo semplicemente sommare al primo polinomio l’opposto del secondo polinomio.
Ora, come si scrive l’opposto di un polinomio?
Si tratta solamente di invertire il segno di ciascun termine del polinomio. Così, l’opposto del polinomio \( 2x^2-9x+23 \) sarà \( -2x^2+9x-23 \).
A questo punto siamo in grado di eseguire la sottrazione tra i due polinomi dati. Nello scrivere la sottrazione, useremo il simbolo di sottrazione interponendolo tra i due polinomi, ma non solo. Il polinomio sottraendo deve essere scritto fra parentesi tonde.
Così, scriveremo la sottrazione da eseguire in questo modo:
\[ 3x^2+2x+7-(2x^2-9x+23) \]
E’ fondamentale l’uso delle parentesi. Diversamente, intenderemmo come polinomio sottraendo un polinomio differente! Questo sarà più chiaro fra un attimo. 😉
A questo punto, come per la sottrazione tra numeri relativi, procediamo sostituendo l’operatore di sottrazione con quello di addizione e scrivendo l’opposto del sottraendo. E ormai sappiamo come trovare l’opposto di un polinomio: dobbiamo invertire i segni di tutti i suoi termini. 😉 Scriviamo quindi:
\[ 3x^2+2x+7+(-2x^2+9x-23) \]
Abbiamo ora una somma algebrica, che possiamo scrivere in modo più sintetico eliminando il simbolo di addizione tra i due polinomi e togliendo le parentesi tonde:
\[ 3x^2+2x+7-2x^2+9x-23 \]
Ed eccoci. Finalmente abbiamo scritto in forma compatta la sottrazione tra polinomi da eseguire, espressa come somma algebrica tra monomi.
A questo punto possiamo procedere sommando (algebricamente) i monomi simili:
\[ \begin{align} & 3\underline{x^2}+\underline{\underline{2x}}+7-\underline{2x^2}+\underline{\underline{9x}}-23 = \\ \\ & = (3-2)x^2+(2+9)x+7-23=x^2+11x-16\end{align} \]
Abbiamo così trovato il risultato della sottrazione data. 🙂
Regola generale per la sottrazione tra polinomi
La sottrazione tra due polinomi si esegue sommando al polinomio minuendo (il primo polinomio) l’opposto del polinomio sottraendo (ovvero, l’opposto del secondo polinomio).
L’opposto di un polinomio si ottiene invertendo i segni di tutti i termini che lo compongono.
Vediamo altri esempi per meglio fissare le regole apprese.
Esempio 1
\[ (3x^2y-5xy+7)-(2x^2y+9xy-14) \]
Riconduciamoci all’operazione di addizione: cambiamo il segno di sottrazione tra i polinomi in quello di addizione, e invertiamo i segni di tutti i termini del secondo monomio, lasciando le parentesi tonde:
\[ (3x^2y-5xy+7)+(-2x^2y-9xy+14) \]
Ora possiamo eliminare il simbolo di addizione e le parentesi tonde, scrivendo così tutti i termini nell’espressione uno in fila all’altro, completi del proprio segno:
\[ 3x^2y-5xy+7-2x^2y-9xy+14 \]
Infine, sommando i termini simili otteniamo il risultato finale :
\[ x^2-14xy+21 \]
Esempio 2
\[ (3x^2-ax+2a^2)-(4x^2+2ax-a^2) \]
Vediamo di risolvere l’esercizio in maniera più veloce, dato che ormai abbiamo capito il metodo rigoroso. 😉
Per effettuare la sottrazione, è sufficiente eliminare le parentesi tonde, cambiando i segni di tutti i termini del monomio sottraendo, eliminando l’operatore di sottrazione (il simbolo “meno” tra i polinomi):
\[ 3x^2-ax+2a^2-4x^2-2ax+a^2 \]
Ovviamente, tutti i segni dei termini del monomio sottraendo dovranno essere indicati esplicitamente, ed in particolare quello del primo termine.
Proviamo ora a fare tutti i passaggi e vediamo se arriviamo comunque alla precedente espressione:
\[ \begin{align}&(3x^2-ax+2a^2)-(4x^2+2ax-a^2) \\ \\ & = 3x^2-ax+2a^2+(-4x^2-2ax+a^2) = \\ \\ & = 3x^2-ax+2a^2-4x^2-2ax+a^2\end{align} \]
Come possiamo vedere, è la stessa. 😉
Procediamo con i calcoli fino al risultato finale:
\[ \underline{3x^2}-\underline{\underline{ax}}+2a^2-\underline{4x^2}-2\underline{\underline{ax}}+a^2=-x^2-3ax+3a^2 \]
Grado del polinomio differenza
Per quanto riguarda il grado del polinomio differenza, cioè il grado del polinomio risultato della sottrazione, il discorso è lo stesso di quello della somma tra monomi. Così, il polinomio differenza sarà ancora un polinomio di grado minore o al più uguale a quello del polinomio di grado massimo tra il polinomio minuendo e il polinomio sottraendo.
Per questa lezione sulla sottrazione tra polinomi è tutto. Nella prossima lezione, vedremo il prodotto tra un monomio e un polinomio. Ciao! 🙂