La moltiplicazione di un monomio per un polinomio non rappresenterà niente di nuovo poiché, come vedremo, questa sarà eseguibile utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione algebrica, già vista per i numeri relativi.
Precisiamo che le regole che illustreremo servono sia per moltiplicare un polinomio per un monomio, sia per moltiplicare un monomio per un polinomio. Ciò non ci stupisce, infatti per la moltiplicazione abbiamo la proprietà commutativa.
Vediamo subito un esempio sulla moltiplicazione di un polinomio per un monomio. 😉
Regola sulla moltiplicazione di un polinomio per un monomio
Eseguiamo insieme la moltiplicazione:
\[ (-3a^3+2a^2b-5ab^2+b^2)\cdot(-2ab) \]
Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica. Si tratterà di sommare algebricamente tra loro i prodotti fra ciascun termine del polinomio e il monomio con il quale stiamo moltiplicando il polinomio. Si avrà così:
\[ \begin{align}&(-3a^3+2a^2b-5ab^2+b^2)\cdot(-2ab)= \\ \\ &=(-3a^3)\cdot(-2ab)+(2a^2b)\cdot(-2ab)+(-5ab^2)\cdot(-2ab)+(+b^2)\cdot(-2ab)= \end{align} \]
In altre parole, consideriamo il prodotto tra il primo termine del polinomio e il monomio, poi il prodotto tra il secondo termine del polinomio e il monomio, quindi il prodotto del terzo termine del polinomio e il monomio, e così via. Infine, sommiamo algebricamente tra loro tutti questi prodotti. Il risultato sarà il prodotto tra il polinomio e il monomio dati.
Ora, dovremo eseguire i prodotti tra i vari monomi utilizzando le regole che già conosciamo: moltiplicazione tra monomi. Si ha quindi:
\[ = +6a^4b-4a^3b^2+10a^2b^3-2ab^3 \]
Osserviamo che non abbiamo nessun monomio simile da sommare. Nessun problema. 😉 Lasceremo la somma algebrica indicata e questa sarà il risultato della moltiplicazione.
La regola per moltiplicare un polinomio per un monomio è la seguente:
per moltiplicare un polinomio per un monomio, si moltiplica ciascun termine del polinomio per il monomio e si sommano algebricamente i prodotti ottenuti.
Possiamo schematizzare la regola da seguire come segue:
Così per l’esempio in figura abbiamo:
\[ \begin{align}&(3x^2-2xy+5y^2)\cdot(-4xy)= \\ \\ & = (3x^2)\cdot(-4xy)+(-2xy)\cdot(-4xy)+(5y^2)\cdot(-4xy)=\\ \\ &-12x^3y+8x^2y^2-20xy^3 \end{align} \]
La regola è del tutto simile anche per moltiplicare un monomio per un polinomio. Ciò non sorprende, poiché la moltiplicazione ha la proprietà commutativa. Così ad esempio, potremo svolgere con le regole sin qui usate la seguente moltiplicazione:
\[ a \cdot (a^2+2ab+b^2)= a \cdot(a^2)+a\cdot(+2ab)+a \cdot(+b^2)=a^3+2a^2b+ab^2 \]
Come è possibile osservare, abbiamo moltiplicato il monomio per il primo termine del polinomio, poi il monomio stesso per il secondo termine del polinomio, quindi ancora lo stesso monomio per il terzo termine del polinomio. Infine, abbiamo sommato algebricamente i prodotti ottenuti.
Questa lezione sulla moltiplicazione di un monomio per un polinomio finisce qui. Nella prossima lezione, vedremo come moltiplicare due polinomi tra loro. Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂