Le proprietà delle operazioni logiche sono molto utili per lavorare con le espressioni logiche. In particolare, consentono di semplificare le espressioni logiche. Ciò è molto utile nella pratica. Pensate ad esempio ad un circuito elettronico.
Detta molto brevemente, un circuito elettronico funziona secondo una data espressione logica. Se costruiamo il circuito facendo riferimento ad un’espressione logica non semplificata, impiegheremmo molti più componenti del necessario. Ciò si rifletterebbe in costi, tempi di produzione ed ingombri maggiori. Questo è un chiaro esempio dell’importanza delle proprietà delle operazioni logiche.
Dalle proprietà delle operazioni tra insiemi alle proprietà delle operazioni logiche
Vogliamo mostrare come è possibile estendere gran parte delle proprietà delle operazioni tra insiemi alle operazioni logiche.
Consideriamo ad esempio l’operazione di congiunzione logica tra proposizioni chiuse:
\[ a \wedge b \]
Rivolgiamo per un attimo la nostra attenzione alla corrispondente operazione tra proposizioni aperte:
\[ a(x) \wedge b(x) \]
Ora, detti \( A \) e \( B \) gli insiemi di verità delle proposizioni \( a(x) \) e \( b(x) \), sappiamo che nel caso di proposizioni aperte, la congiunzione logica può essere riletta come un’intersezione fra gli insiemi di verità:
\[ a(x) \wedge b(x) \qquad \text{corrisponde a } \qquad A \cap B \]
Tuttavia, poiché stiamo lavorando con proposizioni chiuse, non ha in teoria senso parlare di insieme di verità .
Immaginiamo però di associare a ciascuna proposizione un particolare insieme. Tale insieme sarà l’insieme vuoto se la proposizione è falsa, l’insieme \( \{1\} \)se la proposizione è vera. Indicheremo con \( A \) e \( B \) tali insiemi, rispettivamente per la proposizione \( a \) e per la proposizione \( b \).
Così, ad esempio, se la proposizione \( a \) è vera, ad essa assoceremo l’insieme \( A=\{1\} \). Se invece è falsa, ad essa assoceremo l’insieme \( A=\emptyset \).
In tal modo, ci siamo creati degli “insiemi associati” alle proposizioni chiuse. L’idea è ora quella di rileggere la congiunzione tra le proposizioni \( a \) e \( b \) come intersezione tra gli insiemi \( A \) e \( B \) così definiti.
Vediamo che in questo modo se la proposizione \( a \wedge b \) è vera, l’insieme \( A \cap B \) è dato dall’insieme \( \{1\} \), mentre se la proposizione \( a \wedge b \) è falsa, l’insieme \( A \cap B \) è dato dall’insieme vuoto (\( \emptyset \)). Abbiamo cioè una corrispondenza tra l’operazione di congiunzione logica e l’operazione di intersezione tra insiemi, come mostra la seguente tabella:
Con un ragionamento del tutto simile si può mostrare che esiste una corrispondenza anche tra la disgiunzione logica inclusiva e l’operazione di unione tra insiemi:
Rimane soltanto da precisare che l’insieme universo sarà dato dall’insieme \( \{1\} \). In questo caso, avremo che \( \mathcal{C}_U \{1\}=\emptyset \) e \( \mathcal{C}_U \emptyset=\{1\} \). Sarà di conseguenza possibile l’analogia anche tra negazione logica e complementare di un insieme.
E’ quindi possibile estendere gran parte delle proprietà delle operazioni tra insiemi alle operazioni logiche. In più, avremo delle proprietà specifiche delle operazioni logiche (ad esempio, le proprietà dell’implicazione materiale e della coimplicazione materiale).
Proprietà delle operazioni logiche
Proprietà dell’implicazione materiale e della coimplicazione materiale:
Forma alternativa dell’implicazione materiale:
\[ a \rightarrow b = \overline{a} \vee b \]
Forma alternativa della coimplicazione materiale:
\[ a \leftrightarrow b = (\overline{a} \vee b) \wedge (a \vee \overline{b}) \]
Le seguenti proprietà derivano dalle operazioni tra insiemi, grazie alla corrispondenza tra congiunzione logica e intersezione tra insiemi, e tra disgiunzione logica inclusiva ed unione tra insiemi.
Si ha inoltre la corrispondenza tra la negazione di una proposizione e il complementare di un insieme.
Così ad esempio, la proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione di insiemi si traduce nella proprietà distributiva della disgiunzione inclusiva rispetto alla congiunzione.
Allo stesso modo, le leggi di De Morgan valevoli per gli insiemi sono state estese anche alle proposizioni logiche.
Con questa lezione sulle proprietà delle operazioni logiche concludiamo il ciclo di lezioni sulla logica di Altramatica. Se volete passare agli esercizi, nella sezione di logica di Altramatica trovate diverse esercitazioni. Buono studio a tutti! 🙂