Una volta che avremo introdotto la nozione di proposizione nella sua generalità, sarà immediato esporre la differenza tra proposizioni chiuse e proposizioni aperte. E vedremo in particolare che le prime sono ad esempio legate allo studio di circuiti di vario tipo (elettrici, pneumatici, oleodinamici, elettronici…), mentre le seconde sono legate alla programmazione dei calcolatori e, casi per noi molto importanti, alla risoluzione di vari problemi matematici (equazioni, disequazioni, sistemi…) e alla enunciazione e dimostrazione di teoremi.
Definizione di proposizione
Una proposizione (o enunciato) è un’affermazione per la quale ha senso chiedersi se è vera o falsa.
Una proposizione è costituita almeno da un argomento e da un predicato.
Un esempio di proposizione è:
“Francesca ha 19 anni”
Questa è una proposizione poiché è possibile stabilire se è vera o falsa per criteri oggettivi, cioè non utilizzando opinioni che possono variare da persona a persona. E’ sufficiente infatti verificare l’età di Francesca. Ha 19 anni? La proposizione è vera. Ne ha 40? La proposizione è allora falsa.
Osserviamo che una proposizione può essere soltanto vera o falsa (principio del terzo escluso). Inoltre, se la proposizione è vera, diremo che il suo valore di verità è vero (o V, o \( 1 \)), mentre se è falsa diremo che il suo valore di verità è falso (o F, o 0).
Nella proposizione “Francesca ha 19 anni” abbiamo due argomenti. Un argomento è il soggetto della frase, cioè “Francesca”. L’altro argomento è “19 anni”. Chiariamo che qua non ci interessa un’analisi logica a livello linguistico. Non importa se “Francesca” è un soggetto mentre “19 anni” è un complemento.
Il predicato è dato dalla forma verbale “ha”.
Una proposizione può essere indicata mediante una lettera. Ad esempio:
p: “Francesca ha 19 anni”
Così, dicendo che p è vera diremo che è vero che Francesca ha 19 anni. Dicendo che p è falsa diremo che non è vero che Francesca ha 19 anni.
Ora, l’affermazione:
“Francesca è bella”
non è invece una proposizione. Infatti, non è possibile stabilire se Francesca è bella secondo un criterio oggettivo. Francesca può essere bella per una persona, meno bella per un’altra. Perché una frase sia una proposizione, deve essere possibile dire se è vera o falsa in modo oggettivo, asettico, senza cioè alcuna influenza di natura estetica o emotiva.
Ora, una proposizione può essere molto breve:
“Il gatto è un felino”
oppure molto lunga:
“Se non piove e nessuno mi tirerà dell’acqua allora pur non riparandomi con l’ombrello non mi bagnerò”
Nel primo caso, la proposizione si dice atomica poiché ha un solo predicato. Infatti, nella proposizione “il gatto è un felino”, l’unico predicato è la forma verbale “è”.
Nel secondo caso, la proposizione si dice molecolare poiché formata da più proposizioni atomiche collegate tra loro. Infatti, nella seconda proposizione abbiamo più predicati, corrispondenti ciascuno ad una proposizione atomica.
Nella prossima lezione, vedremo nel dettaglio come avviene questo “collegamento” tra proposizioni atomiche. Nella restante parte della lezione esamineremo invece le proposizioni chiuse e le proposizioni aperte.
Proposizioni chiuse e proposizioni aperte
La proposizione:
p:”\( 5 \) è un numero maggiore di \( 2 \)”
è una proposizione chiusa poiché gli argomenti sono ben individuati. Infatti, gli argomenti sono i numeri \( 5 \) e \( 2 \). E’ dunque possibile attribuirle immediatamente un valore di verità, cioè stabilire se è vera o falsa. In questo caso, la proposizione è vera.
La proposizione:
q:”\( x \) è maggiore di \( 2 \)”
è invece una proposizione aperta. Non possiamo infatti dire se è vera o falsa poiché l’argomento \( x \) è una variabile. Sarà necessario attribuire alla \( x \) un valore, dopodiché potremo stabilire se la proposizione è vera o falsa.
Ad esempio, ponendo \( x=10 \) la proposizione \( q \) diventa:
“\( 10 \) è maggiore di \( 2 \)”
ed è vera.
Ponendo invece \( x=1 \) la proposizione \( q \) diventa:
“\( 1 \) è maggiore di \( 2 \)”
ed è falsa.
In una proposizione aperta, possiamo avere sia argomenti definiti, sia argomenti variabili, oppure soltanto argomenti variabili. Ad esempio:
“\( x \) è maggiore di \( y \)”
In questa proposizione aperta gli argomenti sono tutti variabili. Il valore di verità della proposizione potrà essere stabilito soltanto assegnando dei numeri ad entrambe le variabili \( x \) ed \( y \), e da esse dipenderà il valore di verità della proposizione.
Ad esempio, ponendo \( x=1 \) ed \( y = 40 \), la proposizione diventa:
“\( 1 \) è maggiore di \( 40 \)”
Ora che abbiamo scelto dei valori per \( x \) ed \( y \) è possibile determinare il valore di verità della proposizione, cioè chiederci se è vera o falsa. In questo caso è, chiaramente, falsa.
Poiché tratteremo per ora soltanto problemi con una sola variabile, avremo unicamente proposizioni con uno o anche più argomenti variabili che però si riferiscono sempre ad una stessa variabile \( x \). Avremo cioè a che fare solo con proposizioni del tipo:
\( p(x): \)”\( x \) è minore di 4″
\( q(x): \)”\( x \) più il doppio di \( x \) è uguale al triplo di \( x \)”
\[ k(x): \: “x-1 = 0” \]
Come si può vedere, le proposizioni aperte si indicano con una lettera minuscola seguita dalla variabile usata per gli argomenti posta tra parentesi.
E’ dunque immediato distinguere la simbologia tra proposizioni chiuse e proposizioni aperte. Le prime si indicano infatti soltanto con una lettera minuscola, le seconde invece contengono come detto anche la variabile \( x \). Tenete comunque presente che spesso anche una proposizione aperta viene indicata soltanto con una lettera minuscola. Infatti, spesso è chiaro dal contesto se abbiamo una proposizione chiusa o aperta 😉
Questa lezione sulle proposizioni chiuse ed aperte è così conclusa. Nella prossima lezione, vedremo invece nel dettaglio come stabilire sotto quali condizioni una proposizione aperta è vera. Allo scopo, introdurremo le definizioni di insieme universo, insieme dominio e insieme di verità.
Nella lezione ancora successiva, poi, torneremo a parlare anche delle proposizioni chiuse. Infatti, studieremo le operazioni logiche su proposizioni chiuse e proposizioni aperte. Ciao a tutti! 🙂