Come succede con l’implicazione materiale, anche usando la coimplicazione materiale costruiamo una proposizione molecolare (o proposizione complessa) il cui valore di verità dipende esclusivamente dal valore di verità delle singole proposizioni che la compongono.
Coimplicazione materiale (definizione e tavola di verità)
Date due proposizioni chiuse \( a \) e \( b \), la coimplicazione materiale costruita a partire dalle due proposizioni si indica con:
\[ a \leftrightarrow b \]
e si legge “\( a \) coimplica \( b \)” oppure “\( a \) se e solo se \( b \)”.
La proposizione \( a \leftrightarrow b \) è vera soltanto se le due proposizioni hanno lo stesso valore di verità.
In altre parole, l’operazione logica di coimplicazione \( a \leftrightarrow b \) fornisce come risultato una proposizione vera soltanto se entrambe le proposizioni \( a \) e \( b \) sono vere oppure se entrambe le proposizioni sono false.
Di conseguenza, la coimplicazione materiale è falsa nell’unica circostanza in cui una e soltanto una delle due proposizioni è falsa.
La tavola di verità di questa operazione è dunque la seguente:
Tavola di verità della coimplicazione materiale
Analogamente a quanto avviene per l’implicazione materiale, nella coimplicazione materiale l’unica cosa che conta è il valore di verità delle singole proposizioni. Il fatto che si possa ottenere un ragionamento giustificabile dal comune buon senso dipende unicamente dalla scelta delle proposizioni. Ma in ogni caso, chi comanda è sempre la tavola della verità 😉
ESEMPIO
Consideriamo le due proposizioni (chiuse):
\( a \): “Roma è la capitale della Francia”
\( b \): “Genova è una città americana”
La coimplicazione materiale:
\( a \leftrightarrow b \): “Roma è la capitale della Francia se e solo se Genova è una città americana”
è vera poiché entrambe le proposizioni sono false.
Ancora una volta, dobbiamo applicare meccanicamente la tavola della verità senza preoccuparci del significato letterale della proposizione risultato dell’operazione.
Proprietà commutativa
Osservando la tavola della verità, vediamo chiaramente che se \( a \leftrightarrow b \) è vera, anche la coimplicazione \( b \leftrightarrow a \) è vera. Lo stesso accade se \( a \leftrightarrow b \) è falsa: anche \( b \leftrightarrow a \) è falsa.
Ad esempio, la seconda riga della tavola di verità ci dice che una proposizione vera coimplica una proposizione falsa. E allo stesso tempo, la terza riga ci dice che una proposizione falsa a sua volta coimplica una proposizione vera 😉
Dunque, le coimplicazioni \( a \leftrightarrow b \) e \( b \leftrightarrow a \) si equivalgono e la coimplicazione materiale possiede la proprietà commutativa.
Relazione tra coimplicazione e implicazione materiale
La coimplicazione \( a \leftrightarrow b \) può essere vista come una doppia implicazione materiale.
La coimplicazione \( a \leftrightarrow b \) è vera, infatti, soltanto se sono vere entrambe le implicazioni materiali \( a \rightarrow b \) e \( b \rightarrow a \).
Se invece una fra le due implicazioni materiali è falsa, allora è anche falsa la coimplicazione materiale.
In particolare, il valore di verità della coimplicazione \( a \leftrightarrow b \) equivale al valore di verità della proposizione che si ottiene dalla congiunzione logica tra le implicazioni materiali \( a \rightarrow b \) e \( b \rightarrow a \).
In simboli:
\[ a \leftrightarrow b\qquad \text{equivale a} \qquad (a \rightarrow b ) \wedge (b \rightarrow a) \]
Questa relazione è verificabile confrontando tra loro le tavole di verità della implicazione materiale e della coimplicazione materiale.
Per questa lezione direi che è tutto 🙂 Nella prossima lezione, vedremo degli schemi di ragionamento da utilizzare per l’implicazione materiale. Ciao a tutti! 🙂