In modo intuitivo, possiamo dire che l’insieme universo rappresenta l'”ambiente di lavoro”. Nel corso della lezione, mostreremo che in molti casi è fondamentale precisare l’insieme universo scelto per avere una definizione univoca degli insiemi. Una data proprietà caratteristica per un insieme infatti, pur essendo definita secondo i criteri della matematica e della logica, potrebbe comunque dare differenti risultati in un universo piuttosto che in un altro.
Ed in particolare, i concetti di insieme universo ed insieme complementare sono tra loro strettamente correlati. Infatti, mostreremo che l’insieme complementare di un dato insieme viene determinato solo avendo fissato un certo insieme universo.
Insieme universo
Definiamo un insieme \( A \) con la seguente proprietà caratteristica: “\( A \) è l’insieme degli elefanti”. La proprietà caratteristica segue criteri logici oggettivi. In parole povere, ciascun elemento può essere identificato con ragionamento logico. Considero un essere vivente e mi chiedo: è un elefante? Se lo è, appartiene all’insieme, se non lo è non appartiene.
Tuttavia, cosa intendiamo per “considero un essere vivente”? O meglio, in quale luogo cerchiamo gli elefanti? E’ chiaro che restringendoci all’Italia, avremo pochi esemplari (quelli degli zoo e del circo). Invece, allargandoci fino all’Africa, avremo sicuramente molti esemplari. Dunque, nonostante la proprietà caratteristica sia ben posta, il risultato cambia in base all’insieme dal quale preleviamo gli elementi da esaminare con tale proprietà.
Ci sono dunque dei casi nei quali è importante stabilire l’insieme sul quale lavoriamo. Se consideriamo come insieme universo tutti gli animali dell’Africa, allora l’insieme degli elefanti sarà costituito da molti elementi. Se consideriamo come universo, invece, tutti gli animali dell’Italia, questo sarà costituito da pochi elementi.
Definizione di insieme universo
Definiamo come insieme universo un insieme fisso rispetto al quale scegliamo di definire gli insiemi, i quali saranno tutti sottoinsiemi propri e impropri di esso.
Nel caso degli insiemi numerici, supponiamo ad esempio di scegliere come insieme universo l’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali. Poniamo cioè:
\[ U=\mathbb{N} \]
In tal modo, l’insieme:
\[ A=\{x \quad \text{t.c.} \quad 1\leq x \leq5 \} \]
sarà costituito da cinque elementi, poiché evidentemente tanti sono i numeri interi che vanno da \( 1 \) a \( 5 \).
Diversamente, se supponiamo:
\[ U = \mathbb{Q} \]
cioè prendiamo come insieme universo l’insieme dai numeri razionali (ovvero tutti i numeri che si possono esprimere come frazioni), avremo che l’insieme \( A \) sarà costituito da infiniti elementi. Infatti, i numeri esprimibili come frazioni compresi tra \( 1 \) e \( 5 \) sono infiniti.
Per eliminare tali ambiguità, l’idea è quella di precisare nella proprietà caratteristica di un insieme l’universo che si considera. In particolare:
\[ A=\{ x \in \mathbb{N} \quad \text{t. c.} \quad 1\leq x\leq 5\} \]
Ora siamo certi che gli elementi \( A \) sono cinque, poiché con l’espressione \( x \in \mathbb{N} \) abbiamo precisato che l’insieme universo è l’insieme dei numeri naturali.
Osserviamo che fissando un insieme universo, tutti gli insiemi che definiremo saranno sempre e comunque sottoinsiemi propri e impropri dell’universo fissato. Se ad esempio scegliamo di lavorare con i numeri reali, considereremo esclusivamente insiemi che sono sottoinsiemi propri ed impropri dell’insieme \( \mathbb{R} \) dei numeri reali.
Insieme complementare
Fissiamo un insieme universo \( U \). Supponiamo di lavorare esclusivamente con insiemi che siano sottoinsiemi propri e impropri di tale insieme universo \( U \). In altre parole, definiremo soltanto insiemi \( B \) per i quali si abbia \( B \subseteq U \).
Per ogni \( B \subseteq U \), si definisce insieme complementare dell’insieme \( B \) rispetto all’insieme universo \( U \), e si indica con \( \mathcal{C_U}B \), l’insieme costituito da tutti gli elementi dell’insieme universo \( U \) che non appartengono all’insieme \( B \).
In linguaggio simbolico:
\[ \mathcal{C_U} B = \{x \quad \text{t.c.} \quad x \in U \: \text{et} \: x \notin B\} \]
Più brevemente, tale insieme si indica come il complementare di \( B \) rispetto ad \( U \).
Confrontando la definizione di insieme complementare di \( B \) rispetto a \( U \) con quella di insieme differenza, ci rendiamo conto agevolmente del fatto che:
\[ \mathcal{C_U B} = U \setminus B \]
cioè il complementare di \( B \) rispetto a \( U \) è pari alla differenza tra l’insieme \( U \) e l’insieme \( B \).
Quindi, l’operazione che consiste nel determinare l’insieme complementare di un dato insieme rispetto ad un insieme universo fissato è semplicemente un caso particolare della differenza tra insiemi.
L’insieme complementare di \( B \) rispetto a \( U \) è rappresentato graficamente nella figura seguente. La regione corrispondente a tale insieme è quella colorata.
ESEMPIO
Assegnati gli insiemi
\[ U=\{x \quad \text{t.c.} \quad x >5\} \]
e
\[ B = \{7\} \]
il complementare di \( B \) rispetto ad \( U \) è:
\[ \mathcal{C_U}B= \{x \quad \text{t.c.} \quad x > 5 \: \text{et} \: x \neq 7\} \]
cioè è dato da tutti gli elementi di \( U \) che non appartengono a \( B \).
Abbiamo così terminato la nostra trattazione relativa all’insieme universo e insieme complementare. Nella prossima lezione enunceremo le proprietà delle operazioni tra insiemi. Inoltre, presenteremo e dimostreremo le leggi di De Morgan. Ciao a tutti!