Come vedremo, il risultato di applicare la negazione logica (NOT) ad una proposizione è quello di ottenere la negazione della proposizione stessa (proposizione negata).
Studieremo l’operazione di negazione logica sia nel caso delle proposizioni chiuse, sia nel caso delle proposizioni aperte.
Definizione di negazione logica. Operatore o connettivo di negazione.
La negazione logica (NOT) è un’operazione che viene effettuata su una singola proposizione (operazione unaria) e fornisce come risultato la negata della proposizione. In simboli:
\[ \text{NOT}(p)=\overline{p} \]
Se una proposizione è vera (V), applicando l’operatore logico NOT, la proposizione diviene falsa (F).
Viceversa, se una proposizione è falsa (F), applicando l’operatore logico NOT alla proposizione questa diventa vera (V).
Il simbolo \( \text{NOT} \) per l’operatore logico di negazione viene anche comunemente usato nell’ambito dell’elettronica e dei linguaggi di programmazione. Se preferite l’italiano, si può usare anche la scrittura “non”. Così, potremo ad esempio scrivere:
\[ \text{non} \: p = \overline{p} \]
Il risultato della negazione logica, cioè la proposizione negata, si può indicare come appena mostrato (cioè con \( \overline{p} \) ) oppure con la simbologia \( \neg p \).
Negazione logica su proposizioni chiuse
Consideriamo la proposizione chiusa (ovviamente, falsa):
\[ p(x):\: “5 \text{ e’ uguale a 2}” \]
la negazione si ottiene in questo modo:
\[ \overline{p}(x) = “\text{non e’ vero che} \: 5 \: \text{e’ uguale a} \: 2” \]
oppure più sinteticamente:
\[ \overline{p}(x) = “5 \neq 2” \]
cioè, \( x \) è diverso da due.
Per mostrare come si comporta in generale la negazione logica si costruisce la cosiddetta tavola di verità (o tabella di verità). Essa rappresenta, in base al valore di verità della proposizione di partenza \( p \), il valore di verità della proposizione \( \text{NOT}(p)=\overline{p} \).
Tavola di verità della negazione logica di una proposizione chiusa
Quindi, se la proposizione di partenza \( p \) è vera, la proposizione negata \( \overline{p} \) è falsa. Se invece la proposizione di partenza è falsa, la proposizione negata è vera.
Nel negare correttamente una proposizione bisogna stare molto attenti. Bisogna in particolare negare il predicato attenendosi strettamente a ciò che il predicato di partenza afferma. Dobbiamo negare soltanto tale affermazione, senza commettere l’errore di negare anche altri predicati.
Ad esempio, data la seguente proposizione (vera):
\[ p:”20\: \text{e’ maggiore di 10}” \]
non possiamo negare la proposizione in questo modo:
\[ \overline{p}:”20 \text{ e’ minore di } 10″ \qquad \text{NO!} \]
Infatti, se escludiamo che \( 20 \) sia maggiore di \( 10 \), potremmo anche dire che \( 20 \) è uguale a \( 10 \), e non solo \( 20 < 10 \) 😉
Quindi, per negare la proposizione \( p \) bisogna scrivere:
\[ \overline{p}:”20 \text{ e’ minore o uguale a } 10″ \qquad \]
ottenendo, stavolta correttamente, una proposizione falsa.
Daremo una spiegazione più approfondita di come negare predicati quali “minore di” o “maggiore o uguale a” nel prossimo paragrafo, mostrando come estendere i ragionamenti fatti sulla negazione alle proposizioni aperte.
Come nota conclusiva per questo paragrafo, diciamo che la strada più sicura per negare una proposizione è quello di aggiungere un “non è vero che” alla proposizione di partenza.
Facciamo un esempio classico:
p: “La squadra di calcio del mio paese ha vinto”
Non possiamo negare la proposizione in questo modo:
\( \overline{p} \): “La squadra di calcio del mio paese ha perso” (NO!)
Dobbiamo invece scrivere:
\( \overline{p} \): “La squadra di calcio del mio paese non ha vinto”
perché infatti, anche se non ha vinto, potrebbe comunque avere pareggiato 😉
Come detto, per evitare errori e andare più sul sicuro, possiamo scrivere la negata anche come:
\( \overline{p} \): “Non è vero che la squadra di calcio del mio paese ha vinto”
La strada così è più tranquilla poiché aggiungiamo una negazione stando alla larga dal predicato 😉
Negazione logica su proposizioni aperte
Estendiamo ora quanto abbiamo appreso alle proposizioni aperte. Una proposizione aperta, ricordiamo, è una proposizione \( p(x) \) il cui valore di verità dipende dalla variabile \( x \).
Ora, come abbiamo visto non possiamo stabilire a priori il valore di verità di una proposizione aperta. Se non attribuiamo alla \( x \) un valore, infatti, non possiamo dire nulla.
Sappiamo però in generale che una proposizione aperta \( p(x) \) avente dominio \( D \) ha un insieme di verità \( S \subseteq D \).
L’insieme \( S \), ricordiamo, è costituito da tutti quei valori della \( x \) per i quali la proposizione è vera.
Dunque, se sappiamo che una proposizione aperta \( p(x) \) è vera negli elementi \( x \) di \( S \), allora si avrà di conseguenza che la negata di \( p(x) \), ovvero \( \overline{p}(x) \), è falsa per tutti gli elementi \( x \) che appartengono ad \( S \).
In questo modo, abbiamo esteso la prima riga della tavola di verità della negazione per le proposizioni chiuse al caso della negazione per le proposizioni aperte 😉
Nel caso di proposizioni aperte abbiamo quindi per la negazione logica:
\[ \text{se} \: p(x) \: \text{e’ vera} \: \text{in} \: S \qquad \text{allora} \qquad \overline{p}(x) \: \text{e’ falsa} \: \text{in} \: S \]
Quindi, una volta che conosciamo l’insieme di verità \( S \) di una proposizione aperta \( p(x) \), possiamo dire che in quello stesso insieme \( S \) la proposizione \( \overline{p}(x) \) è falsa.
A questo punto potrebbe essere naturale chiedersi: dove è che \( \overline{p}(x) \) è vera? Come vedremo ora essa è vera nell’insieme complementare di \( S \) rispetto al dominio \( D \) 😉
Operazione di negazione ed insieme complementare
Sia ancora data una proposizione aperta \( p(x) \) definita nel suo dominio \( D \) e con insieme di verità \( S \subseteq D \).
Ricordiamo che per il principio del terzo escluso una proposizione può essere soltanto vera o falsa. Allora, è chiaro che se la proposizione \( p(x) \) è vera in \( S \), questa sarà falsa in tutti gli altri valori del domino che non appartengono ad \( S \). Quindi, l’insieme di verità della proposizione negata sarà il complementare di \( S \) rispetto al dominio \( D \):
\[ \text{se} \: p(x) \: \text{e’ vera} \: in \: S, \quad \overline{p}(x) \: \text{è vera } \: \text{in} \: \mathcal{C}_DS \]
Questa riflessione è molto utile per controllare la correttezza della negazione di proposizioni aperte, come mostra il seguente esempio.
Esempio
Ritorniamo a considerare la proposizione, ora però aperta:
\[ p(x): “x < 10” \]
Come possiamo effettuale l’operazione di negazione logica (NOT) su questa proposizione? Già sappiamo per le considerazioni fatte in precedenza la risposta:
\[ \overline{p}(x): “x \geq 10 \]
Per arrivare a tale risposta, possiamo ragionare utilizzando l’insieme complementare di \( S \), cioè il complementare dell’insieme di verità della proposizione. Sia ancora \( D \) il dominio della proposizione, ovvero l’insieme di tutti i valori della \( x \) per i quali ha senso chiedersi se la proposizione è vera o falsa.
Ora, se una proposizione è vera in \( S \), questa sarà necessariamente falsa, come sappiamo, nel complementare di \( S \) rispetto al dominio \( D \). Ovvero, sarà falsa in \( \mathcal{C}_D S \). Inoltre, applicando il concetto di partizione di un insieme, possiamo affermare con certezza che i due insiemi \( S \) e \( \mathcal{C}_D S \) sono per \( D \) una partizione 😉 Ciò come ci è noto discende direttamente dalla definizione di insieme complementare.
Alla luce di questo, siccome i due insiemi sono una partizione di \( D \), questi dovranno avere per forza intersezione pari all’insieme vuoto e la loro unione dovrà essere per forza uguale all’insieme \( D \). Serve un ripasso? Basta un click.
Ora capiamo ancora meglio che per negare \( p(x) \) dobbiamo trasformare per forza il predicato “minore di” nel predicato “maggiore o uguale a”. Infatti, se per errore dicessimo che:
\[ \overline{p}(x): “x > 10” \quad \text{NO!} \]
e indichiamo con \( E \) l’insieme di verità di \( \overline{p}(x) \), ci rendiamo subito conto che qualcosa non quadra poiché:
\[ S \cup E \neq D \]
cioè gli insiemi \( S \) e \( E \) non rappresentano una partizione per \( D \)! Infatti, manca l’elemento \( 0 \). E siccome se una proposizione è vera in \( S \), allora deve essere per forza falsa in \( \mathcal{C}_D S \), possiamo trarre soltanto una conclusione. Cioè, che l’insieme \( E \) ove crediamo che è verificata \( \overline{p}(x) \) non rappresenta il complementare di \( S \), come invece deve essere per la negazione logica, e di conseguenza l’insieme \( E \) non è l’insieme di verità di \( \overline{p}(x) \).
Quindi, in ultima istanza la negata \( \overline{p}(x): “x > 10” \quad \) è sbagliata.
D’altro canto, se dovendo negare la proposizione:
\[ q(x): “x \geq 7” \]
scrivessimo per errore:
\[ \overline{q}(x):”x \leq 7″ \]
possiamo con ragionamenti del tutto simili accorgerci di avere sbagliato, poiché i rispettivi insiemi di verità della proposizione e della sua negata non sono una partizione per il dominio \( D \).
Infatti, in tal caso intersecando i due insiemi di verità otterremmo un risultato diverso dall’insieme vuoto. In particolare, se \( S \) è l’insieme di verità della proposizione \( q(x) \), ed \( E \) è l’insieme di verità della proposizione \( \overline{q}(x) \), si ha:
\[ S \cap E = \{7\} \neq \emptyset \]
Quindi c’è chiaramente un errore. Concludiamo allora che \( E \) non è il complementare di \( S \) rispetto a \( D \). La proposizione \( q(x) \) si nega correttamente infatti come segue:
\[ \overline{q}(x)=”x < 7″ \]
Ora è agevole verificare che gli insiemi di verità di \( q(x) \) e di \( \overline{q}(x) \) hanno intersezione pari all’insieme vuoto, come deve essere 😉
Ricordiamo dunque sempre che se l’insieme di verità di una proposizione \( p(x) \) è \( S \), l’insieme di verità di una negata scritta correttamente dovrà per forza essere il complementare di \( S \) (rispetto al dominio della proposizione).
Qui termina questa lunga lezione sulla negazione logica (NOT). Non ci siamo soltanto limitati ad introdurre la negazione logica ma abbiamo anche impostato l’approccio con il quale affronteremo anche le altre operazioni logiche. Diversamente dalla negazione logica (NOT), tutte le altre operazioni logiche che vedremo hanno due argomenti. Nella prossima lezione, vedremo l’operazione di congiunzione logica (AND). Ciao a tutti! 🙂