L’obiettivo di questi esercizi sulle proposizioni aperte è quello di utilizzare le proposizioni aperte stesse per descrivere in modo simbolico alcune proprietà e risolvere dei semplici problemi. L’ultimo esercizio ad esempio mostra come è possibile risolvere con la logica e l’insiemistica un sistema di disequazioni di primo grado.
Pronti? Via! 🙂
Esercizio 1
Data la proposizione:
\[ p: “\text{x e’ un numero pari}” \]
fornire un valore della \( x \) che rende vera la proposizione e un valore della \( x \) che la rende falsa.
SOLUZIONE
Siamo in presenza di una proposizione aperta, cioè una proposizione della quale si può determinare il valore di verità soltanto attribuendo alla \( x \) un valore.
Intendiamo che la proposizione ha come dominio l’insieme dei numeri naturali.
Nel nostro caso, diremo ad esempio che \( p \) è vera se \( x=4 \) poiché \( 4 \) è pari. mentre \( p \) è falsa se \( x =3\), poiché \( 3 \) è dispari.
Mentalmente, senza nemmeno accorgercene, abbiamo trovato un valore che soddisfa \( p \) (cioè un numero pari), e un valore che rende vera la negazione di \( p \) (cioè un numero dispari). Infatti il valore \( 3 \) rende vera la proposizione:
\[ \overline{p}:”\text{non e’ vero che }x\text{ e’ pari}” \]
Esercizio 2
Scrivere il valore della \( x \) che soddisfa la seguente proposizione:
\[ q:”x \text{ t. c. } 3x = 21″ \]
SOLUZIONE
Poiché è immediato verificare che \( 3 \cdot 7 = 21 \), la proposizione è vera per \( x = 7 \).
In modo equivalente, diciamo che l’insieme di verità della proposizione è dato dall’insieme che contiene il numero \( 7 \): \( S = \{7\} \).
Osserviamo che invece l’insieme di verità della proposizione dell’esercizio precedente è dato dall’insieme di tutti i numeri pari. Quindi, è un insieme infinito.
Esercizio 3
Riscrivere in simboli la proposizione logica dell’esercizio 1 e indicarne sempre simbolicamente l’insieme di verità (il dominio è l’insieme dei numeri naturali).
SOLUZIONE
E’ necessario qui accorgersi che un numero pari è un qualsiasi numero che può essere riscritto come il doppio di un certo numero.
Ad esempio, \( 4 \) è pari è può essere riscritto come il doppio di \( 2 \). \( 6 \) è pari e può essere riscritto come il doppio di \( 3 \), e così via. Possiamo dunque riscrivere la proposizione \( p \) come:
\[ p:”x = 2 \cdot n, n \in \mathbb{N}” \]
L’insieme di verità sarà dunque:
\[ S = \{x \in \mathbb{N} \text{ t. c. } x=2 \cdot n, \: n \in \mathbb{N} \} \]
Esercizio 4
Date le due proposizioni
\[ a:\text{“4 e’ un numero primo”} \]
\[ b:\text{“24 e’ divisibile per 6”} \]
scrivere il valore di verità di \( a \), di \( b \), di \( \overline{a} \), di \( \overline{b} \), di \( a \vee b \) e di \( a \wedge b \).
SOLUZIONE
La proposizione \( a \) è falsa, poiché \( 4 \) è non è un numero primo (è divisibile infatti anche per \( 2 \)). La \( b \) è vera poiché \( 24 \) è divisibile per \( 6 \).
Le proposizioni negate sono rispettivamente:
\[ \overline{a}:\text{“4 non e’ un numero primo”} \]
\[ \overline{b}:\text{“24 non e’ divisibile per 6”} \]
e ovviamente \( \overline{a} \) è vera e \( \overline{b} \) è falsa.
Per la tavola di verità della disgiunzione logica inclusiva, abbiamo:
\[ a \vee b \qquad \text{VERA} \]
poiché almeno una delle due proposizioni è vera, mentre si ha:
\[ a \wedge b \qquad \text{falsa} \]
poiché soltanto una delle due proposizioni è vera. La congiunzione logica è infatti vera solo se entrambe le proposizioni di partenza sono vere.
Esercizio 5
Date le proposizioni:
\[ a: “x > 5” \]
\[ b: “1 < x < 10” \]
scrivere la proposizione \( \overline{a} \wedge b \) ed indicarne il valore di verità.
SOLUZIONE
Eccoci finalmente arrivati all’ultimo esercizio di questa lezione relativa agli esercizi sulle proposizioni aperte 🙂
Cominciamo con la parte più delicata, cioè negare la proposizione \( a \):
\[ \overline{a}: “x \leq 5” \]
Ricordiamo infatti che non sarebbe coretto scrivere \( x < 5 \), poiché un numero può anche non essere maggiore di \( 5 \) ma nemmeno minore di \( 5 \). Può essere infatti uguale a \( 5 \).
Così possiamo scrivere:
\( \overline{a} \wedge b : \quad “x \leq 5 \quad \text{et} \quad 1<x< 10” \)
Ricordiamo che il risultato della congiunzione logica è una proposizione che ha come insieme di verità l’intersezione degli insiemi di verità delle proposizioni di partenza.
Gli insiemi di verità delle proposizioni \( \overline{a} \) e \( b \) sono rispettivamente:
\[ S_a=\{x \text{ t. c. } x \leq 5\}; \qquad S_b=\{x \quad \text{t.c.} \quad1 <x<10\} \]
L’insieme di verità \( S \) della proposizione \( \overline{a} \wedge b \) è dato da:
\[ S = \overline{a} \wedge b = \{x \quad \text{t.c.} \quad x \in S_a \cap S_b\} \]
e quindi dai seguenti elementi, ciascuno dei quali appartiene contemporaneamente ai due insiemi di verità delle proposizioni di partenza:
\[ S = \{2,3,4,5\} \]
Qui si è dovuto prestare attenzione ai simboli di disuguaglianza: alcuni comprendono l’uguaglianza, altri no. Per questo \( 1 \) non fa parte dell’insieme di verità di \( S \) 😉
Per determinare \( S \) c’è un semplice trucco: consideriamo \( S_b \) (che è un insieme finito), e chiediamoci per ogni elemento di \( S _b\) se questo appartiene o meno anche ad \( S_a \). Gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi saranno gli elementi di \( S \). Per fare il confronto partiamo da \( S_b \) poiché è un insieme finito, mentre \( S_a \) è infinito.
NOTA: in questo esercizio grazie alla logica e all’insiemistica abbiamo così risolto il sistema di disequazioni:
\[ \begin{cases} x \leq 5 \\ \\ 1<x<10 \end{cases} \]
che può essere riscritto anche come:
\[ \begin{cases} x \leq 5 \\ \\ x<10 \\ \\ x > 1 \end{cases} \]
Abbiamo cioè trovato l’insieme delle \( x \) che verificano tutte le disequazioni messe a sistema.
Abbiamo così visto un po’ di esercizi sulle proposizioni aperte. In conclusione, possiamo dire che determinare l’insieme di verità di una proposizione aperta equivale in particolari casi a risolvere equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni o disequazioni. Questo ci fa capire l’importanza di una buona conoscenza della logica per affrontare più serenamente tutti gli argomenti che verranno dopo. Ciao a tutti! 🙂