Negli esercizi sulle espressioni logiche qui presentati il nostro compito sarà quello di determinare il valore di verità di ciascuna espressione logica.
E’ inoltre disponibile su Altramatica anche un’esercitazione su tautologie e contraddizioni. In essa troverete esercizi nei quali bisogna determinare se l’espressione logica data è una tautologia o una contraddizione. Per questo tipo di esercizi, mostreremo due possibili metodi risolutivi. Il primo è basato sulla tavola della verità, il secondo su tecniche logico-deduttive.
Esercizio 1
Determinare il valore di verità della seguente espressione logica, nell’ipotesi che le proposizioni \( a, d\) siano vere e che le proposizioni \( b,c \) siano false (proposizioni chiuse):
\[ (\overline{a} \vee b) \wedge (\overline{c} \vee d) \]
Soluzione
E’ conveniente in questo caso scrivere sotto a ciascuna proposizione il valore di verità. Poi, scriveremo sotto a ciascun operatore logico il risultato della corrispondente operazione logica, fino ad arrivare al valore di verità dell’espressione logica. Il tutto ovviamente secondo l’ordine di precedenza delle varie operazioni logiche presenti.
Per nostra comodità, indichiamo le negazioni logiche utilizzando il simbolo \( \neg \). In questo modo sarà possibile indicare il valore di verità della negazione sotto all’operatore di negazione stesso.
Iniziamo quindi scrivendo il valore di verità delle proposizioni, che è il nostro dato di partenza 🙂
\[ \begin{array}{ccccccccc}((&\neg &a &\vee &b) &\wedge (&\neg &c &\vee &d) \\ &&V&&F&&&F&&V \\ \end{array} \]
Ora, nella riga successiva, scriviamo i valori di verità delle negazioni logiche. Queste infatti sono le prime operazioni da eseguire (la negazione ha la precedenza sulle altre operazioni logiche). Scriviamo questi valori di verità nella riga successiva. In questo modo, abbiamo un ordine di tempo di tutti i passaggi fatti.
\[ \begin{array}{ccccccccc}((&\neg &a &\vee &b) &\wedge (&\neg &c &\vee &d) \\ &&V&&F&&&F&&V \\ &F&&&&&V\\ \end{array} \]
Arrivati a questo punto, scriviamo i valori di verità delle due disgiunzioni inclusive:
\[ \begin{array}{ccccccccc}((&\neg &a &\vee &b) &\wedge (&\neg &c &\vee &d) \\ &&V&&F&&&F&&V \\ &F&&&&&V\\ &&&F&&&&&V \end{array} \]
Otteniamo infine per l’espressione logica un valore di verità falso (la congiunzione logica è falsa se almeno una delle due proposizioni su cui essa opera è falsa).
\[ \begin{array}{ccccc|c|ccc}((&\neg &a &\vee &b) &\wedge &(\neg &c &\vee &d) \\ &&V&&F&&&F&&V \\ &F&&&&&V\\ &&&F&&&&&V \\ &&&&&F\end{array} \]
Esercizio 2
Determinare per \( a,d \) vere e \( b,c \) false il valore di verità della seguente espressione logica:
\[ (\neg d \wedge (b \vee d)) \vee (a \wedge \neg c) \]
Soluzione
Scriviamo il valore di verità delle proposizioni:
\[ \begin{array}{}(&\neg &d &\wedge (&b &\vee &d)) &\vee (&a &\wedge &\neg &c) \\ &&V&&F&&V&&V&&&F\end{array} \]
Valutiamo i valori di verità delle negazioni logiche e dell’espressione \( b \vee d \):
\[ \begin{array}{}(&\neg &d &\wedge (&b &\vee &d)) &\vee (&a &\wedge &\neg &c) \\ &&V&&F&&V&&V&&&F \\ &F&&&&V&&&&&V\end{array} \]
Scriviamo ora i valori di verità delle congiunzioni logiche:
\[ \begin{array}{}(&\neg &d &\wedge (&b &\vee &d)) &\vee (&a &\wedge &\neg &c) \\ &&V&&F&&V&&V&&&F \\ &F&&&&V&&&&&V \\ &&&F&&&&&&V \end{array} \]
A questo punto possiamo determinare il valore di verità dell’intera espressione logica:
\[ \begin{array}{ccccccc|c|ccc}(&\neg &d &\wedge (&b &\vee &d)) &\vee &(a &\wedge &\neg &c) \\ &&V&&F&&V&&V&&&F \\ &F&&&&V&&&&&V \\ &&&F&&&&&&V \\ &&&&&&&V\end{array} \]
Esercizio 3
Determinare il valore di verità della seguente espressione logica, assegnati i valori di verità \( a, d \) vere e \( b,c \) false:
\[ (a \wedge \neg b \wedge \neg c) \vee b \wedge (\neg c \rightarrow \neg a) \]
SOLUZIONE
Come negli altri esercizi, il primo passo è scrivere il valore di verità delle proposizioni:
\[ \begin{array}(&a &\wedge &\neg &b &\wedge &\neg &c) &\vee &b &\wedge (&\neg &c &\rightarrow &\neg &a) \\ &V&&&F&&&F&&F&&&F&&&V \\ \end{array} \]
Occupiamoci ora delle negazioni, che ricordiamoci vengono per prime nell’ordine di precedenza delle espressioni logiche:
\[ \begin{array}(&a &\wedge &\neg &b &\wedge &\neg &c) &\vee &b &\wedge (&\neg &c &\rightarrow &\neg &a) \\ &V&&&F&&&F&&F&&&F&&&V \\ &&&V&&&V&&&&&V&&&F\end{array} \]
E’ ora la volta delle congiunzioni logiche e dell’implicazione materiale:
\[ \begin{array}(&a &\wedge &\neg &b &\wedge &\neg &c) &\vee &b &\wedge (&\neg &c &\rightarrow &\neg &a) \\ &V&&&F&&&F&&F&&&F&&&V \\ &&&V&&&V&&&&&V&&&F \\ &&V&&&V &&&&&&&&F\end{array} \]
L’implicazione materiale risulta falsa poiché la sua premessa è vera ma la conseguenza è falsa.
Le due congiunzioni logiche a sinistra sono vere poiché i termini \( a, \neg b, \neg c \) sono tutti veri. In particolare, osserviamo che nell’espressione:
\[ (a \wedge \neg b \wedge \neg c) \]
non c’è un ordine di precedenza da seguire. E’ indifferente eseguire prima \( a \wedge \neg b \) e poi fare la congiunzione logica del risultato con \( \neg c \) oppure partire da \( \neg b \wedge \neg c \) e poi fare la congiunzione logica del risultato con \( a \). Osserviamo anzi che un’espressione di questo tipo può essere valutata in un colpo solo poiché entrambe le congiunzione logiche saranno vere solo se tutti i termini \( a, \neg b, \neg c \) sono veri. E’ un po’ come avere in un conduttore elettrico tre interruttori in serie, cioè in fila l’uno dopo l’altro. Passerà la corrente nel conduttore solo se tutti e tre gli interruttori sono nella posizione ON 😉
Ora ci manca solo da valutare la congiunzione logica a destra. Questa sarà falsa poiché la proposizione \( b \) è falsa ed è pure falsa l’espressione \( \neg c \rightarrow \neg a \). Scriviamo inoltre il valore di verità delle tre congiunzioni logiche a sinistra sotto la prima parentesi. Quindi abbiamo:
\[ \begin{array}{}(&a &\wedge &\neg &b &\wedge &\neg &c) &\vee &b &\wedge (&\neg &c &\rightarrow &\neg &a) \\ &V&&&F&&&F&&F&&&F&&&V \\ &&&V&&&V&&&&&V&&&F \\ &&V&&&V &&&&&&&&F \\ V&&&&&&&&&&F\end{array} \]
Possiamo finalmente determinare il valore di verità dell’intera espressione logica, la quale risulta vera:
\[ \begin{array}{ccccccccccccccc}(&a &\wedge &\neg &b &\wedge &\neg &c) &\vee &b &\wedge (&\neg &c &\rightarrow &\neg &a) \\ &V&&&F&&&F&&F&&&F&&&V \\ &&&V&&&V&&&&&V&&&F \\ &&V&&&V &&&&&&&&F \\ V&&&&&&&&&&F \\ &&&&&&&&V \end{array} \]
Esercizio 6
Costruire la tavola di verità dell’espressione logica:
\[ (a \vee \neg b) \rightarrow (c \wedge b) \]
SOLUZIONE
Avendo tre proposizioni, sono necessarie \( 2^3 \) righe per la tabella (più una riga in testa per indicare i vari termini dell’espressione logica). Quanto alle colonne, conviene riportare una colonna per ciascuna proposizione e per ciascuna operazione logica parziale. Infine avremo ovviamente una colonna per il risultato finale, cioè il valore di verità dell’espressione logica data.
Qui terminano gli esercizi sulle espressioni logiche (livello base – medio). Per chi desidera allenarsi ulteriormente, sono anche disponibili degli esercizi sulle espressioni logiche di livello avanzato. Ciao a tutti! 🙂