A seguire riportiamo un utile elenco dei limiti notevoli. In questo riferimento troverete i limiti notevoli più ricorrenti espressi sia nella variabile \( x \), sia in \( f(x) \). Quest’ultima forma è utile nel caso di funzioni composte.
E’ anche disponibile in Altramatica una tabella dei limiti notevoli in \( x \) e in \( f(x) \), per una ancor più rapida consultazione e completa di tutti i limiti notevoli 😉
Nel seguente elenco dei limiti notevoli, i limiti nella variabile \( x \) sono i “classici” limiti notevoli quali ad esempio:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1 \]
I limiti in \( f(x) \) sono invece del tipo:
\[ \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{\sin \left[f(x) \right]}{f(x)}=1 \]
Ricollegandoci al teorema del limite della funzione composta e al conseguente metodo dei limiti per sostituzione, ponendo la sostituzione \( t=f(x) \) ciò equivale a:
\[ \lim_{t \to \boxed{0}} \dfrac{\sin t}{t}=1; \qquad \text{posto} \: t =f(x) \quad \text{e sussistendo} \: \lim_{x \to 0}f(x)=\boxed{0} \]
A voi scegliere se adottare esplicitamente il cambio di variabile in \( t \) oppure no (si può infatti semplicemente ragionare con \( f(x) \)).
Precisiamo inoltre che nel limite:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ((fx))}{f(x)} \]
è comunque riconoscibile il limite notevole del seno se per \( x \to 0 \) anche \( f(x) \) tende a 0.
Es:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin4x}{4x}=1, \qquad\text{poiche’ per} \: x \to 0 \:\: \text{anche} \:\: 4x \to 0 \]
Infine, per un proficuo uso della seguente tabella dei limiti notevoli anche per gli esercizi più avanzati, osserviamo che nel caso ad esempio di:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{\sin(f(x))}{f(x)}}{\dfrac{\log (1+g(x))}{g(x)}} \]
sarà direttamente possibile identificare i limiti notevoli del seno e del logaritmo a numeratore e denominatore nel caso in cui se per \( x \to 0 \), anche \( f(x) \) e \( g(x) \) tendono entrambe a zero.
Es:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{\sin 2x}{2x}}{\dfrac{\ln(1+(5x))}{5x}}=\dfrac{1}{1}=1 \]
poiché effettivamente per \( x \to 0 \) anche \( 2x \to 0 \) e \( 5x \to 0 \).
Dopo queste doverose note d’uso, ecco la tabella dei principali limiti notevoli in \( x \) e in \( f(x) \).
Elenco dei principali limiti notevoli in x e in f(x)
Limite notevole della funzione esponenziale
Prima di presentare i limiti notevoli della funzione esponenziale, ricordiamo che la funzione esponenziale è:
\[ y=a^x\qquad \text{con} \: a > 1 \quad\text{ oppure} \quad 0<a<1 \]
Per essere ancora più precisi, le funzioni esponenziali con \( 0<a<1 \) e con \( a > 1 \) sono da considerarsi due differenti funzioni. Il seguente limite notevole è comunque valevole per entrambe e si parla dunque di “limite notevole della funzione esponenziale”.
Il limite notevole della funzione esponenziale è:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{a^{x}-1}{x}=\ln a; \quad \qquad \lim_{f(x) \to 0}\dfrac{a^{f(x)}-1}{f(x)}=\ln a;\qquad a > 0 \]
Nel caso di base \( e \):
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1; \qquad \lim_{f(x) \to 0}\dfrac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1 \]
Limite notevole della funzione logaritmica con base a
L’espressione del limite notevole della funzione logaritmica in base \( a \) è la seguente:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\log_a(1+x)}{x}=\dfrac{1}{\ln a }; \qquad \lim_{f(x) \to 0}\dfrac{\log_a(1+f(x))}{f(x)}=\dfrac{1}{\ln a };\quad a>0, \qquad a \neq 1 \]
Osserviamo che deve essere \( a \neq 1 \) poiché diversamente nel termine \( \dfrac{1}{\ln a} \) il denominatore si annullerebbe.
Nel caso del logaritmo naturale (cioè il logaritmo in base \( e \)):
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1; \quad \qquad \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{\ln(1+f(x))}{f(x)}=1 \]
NOTA: di solito nei libri di testo il logaritmo naturale viene indicato con il simbolo \( \log \), anche se a volte con questo stesso simbolo si intende il logaritmo in base \( 10 \). Per evitare equivoci, si può ad esempio utilizzare il simbolo \( \log_e \) (oltre al simbolo \( \ln \) qui usato).
Limite notevole del numero di Nepero
Il numero di Nepero, ossia \( e \), può essere ottenuto come risultato del limite:
\[ \lim_{x \to \pm \infty}\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^x=e; \quad \qquad \lim_{f(x) \to \pm \infty}\left(1+\dfrac{1}{f(x)} \right)^{f(x)}=e \]
E’ molto utile osservare che all’interno delle parentesi abbiamo nella somma un termine che è proprio il reciproco dell’esponente. Porre una buona attenzione su questo è di grande aiuto nello svolgimento degli esercizi.
Il limite notevole del numero di Nepero è un limite notevole fondamentale. Da esso si ricavano il limite notevole del logaritmo, il limite notevole dell’esponenziale e il limite notevole della potenza con differenza.
Limite notevole del seno
Il limite notevole del seno è uno dei limiti notevoli fondamentali. Esso mostra come per \( x \to 0 \) la funzione \( y=\sin x \) possa essere approssimata dalla funzione \( y=x \). Infatti, come si può vedere dal seguente limite notevole, per \( x \to 0 \) il rapporto delle due funzioni è pari ad \( 1 \).
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1; \quad \qquad \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{\sin (f(x))}{f(x)}=1 \]
Dal limite notevole del seno si possono ricavare i limiti notevoli del coseno e della tangente, che riportiamo a seguire.
Limite notevole del coseno
Il limite notevole del coseno è:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}; \quad \qquad \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{1-\cos(f(x))}{[f(x)]^2}=\dfrac{1}{2} \]
Limite notevole della tangente
Il limite notevole della tangente è:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(x)}{x}=1; \quad \qquad \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{\tan(f(x))}{f(x)}=1; \]
Limite notevole della potenza con differenza
Ecco l’espressione del limite notevole della potenza con differenza:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^k-1}{x}=k; \quad\qquad \lim_{f(x) \to 0}\dfrac{(1+f(x))^k-1}{f(x)}=k; \qquad k \in \mathbb{R} \]
Limite notevole della funzione arcoseno
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\arcsin x}{x}=1; \quad \qquad \lim_{f(x) \to 0}\dfrac{\arcsin (f(x))}{f(x)}=1; \]
Limite notevole della funzione arcotangente
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\arctan x}{x}=1; \quad \qquad \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{\arctan (f(x))}{f(x)}=1; \]
Il nostro elenco dei principali limiti notevoli è così terminato. Per maggiori informazioni su un corretto uso dei limiti notevoli, vi rimando alla lezione introduttiva sui limiti notevoli. In particolare, in tale lezione, sono utili le note esplicative presenti dopo la tabella dei principali limiti notevoli nella variabile \( x \). Buono studio a tutti con Altramatica, ciao! 🙂