Quindi, dopo esserci occupati di presentare tutti i limiti notevoli più importanti, in questa lezione impareremo come ricavarne alcuni. Una volta imparato a ricavare i limiti notevoli che discendono dai fondamentali, si ha una possibilità in più. Ovvero, se non si ricorda a memoria un limite notevole, si può almeno provare a ricavarlo. In ogni caso, è sempre bene sapere tutti i limiti notevoli a memoria, poiché alcuni sono più difficili da ricavare rispetto ad altri 😉 In particolare, per ricavare alcuni limiti notevoli sono richieste delle sostituzioni di variabile.
Limiti notevoli fondamentali
I limiti notevoli fondamentali sono quei limiti notevoli dai quali è possibile ricavare tutti gli altri. In particolare, abbiamo due limiti notevoli fondamentali. Uno è il limite notevole del seno:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \]
L’altro è il limite notevole del numero di Nepero:
\[ \lim_{x \to \pm \infty}\left( 1+\dfrac{1}{x}\right)^x = e \]
L’obiettivo di questa lezione è capire come ricavare dai limiti notevoli fondamentali gli altri limiti notevoli. Per chi è interessato alle dimostrazioni dei limiti notevoli fondamentali, è disponibile questa lezione: dimostrazioni dei limiti notevoli fondamentali.
Limiti notevoli che si ricavano dal limite notevole del seno
Cominciamo a vedere quali limiti notevoli possiamo ricavare dal limite notevole del seno. Questi procedimenti non sono particolarmente complicati in quanto richiedono soltanto di ricordarsi la relazione fondamentale della trigonometria e le regole delle operazioni fra limiti 🙂
Partiamo dunque dal limite notevole:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1 \]
Ricordiamo che si ha:
\[ \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \]
Ora, consideriamo il termine:
\[ \dfrac{\tan x}{x}=\dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{x} \]
Con un semplice aggiustamento possiamo scrivere:
\[ \dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot \dfrac{1}{x}=\boxed{\dfrac{\sin x }{x}} \cdot \dfrac{1}{\cos x} \]
Come evidenziato, abbiamo ritrovato l’espressione all’interno del limite notevole del seno. In base alla regola del limite del prodotto di funzioni, possiamo scrivere:
\[ \begin{align} &\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}=\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin x }{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} \right)= \\ \\&=\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\cos x}= 1 \cdot 1 = 1 \end{align} \]
Infatti, basta osservare che abbiamo ritrovato il limite notevole del seno e che \( \cos(0)=1 \), per cui è possibile valutare il limite \( \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\cos x} \) per sostituzione diretta (vale \( 1 \)).
Abbiamo quindi il limite notevole della tangente:
\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1} \]
Ora, ricaviamo sempre a partire dal limite notevole del seno un altro limite notevole. Poiché il limite della potenza di una funzione è pari alla potenza del limite della funzione stessa, si ha:
\[ \lim_{x \to 0}\left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^2=\left(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \right)^2 \]
E poiché sappiamo che \( \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \), abbiamo di conseguenza:
\[ \lim_{x \to 0}\left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^2=1 \]
ovvero:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x^2}=1 \qquad (*) \]
Dalla relazione fondamentale della trigonometria, sappiamo che:
\[ \sin^2x = 1 -\cos^2x \]
perciò possiamo scrivere:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x^2}=\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^2x}{x^2} \]
Ora, riconosciamo nel termine \( 1-\cos^2 x \) una differenza di due quadrati e lo possiamo scomporre come:
\[ 1-\cos^2 x=(1 – \cos x) (1 + \cos x) \]
Quindi procedendo con il limite:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^2x}{x^2}=\lim_{x \to 0}\dfrac{(1-\cos x)\cdot (1+ \cos x)}{x^2} \]
Osserviamo che abbiamo una forma indeterminata \( \dfrac{0}{0} \), tuttavia il termine \( (1+\cos x) \) ha un valore diverso da zero per \( x=0 \). Abbiamo infatti \( 1+\cos (0) =2 \). Quindi, sfruttando la regola del limite del prodotto di funzioni, conviene isolare proprio questo termine:
\[ \begin{align}&\lim_{x \to 0}\dfrac{(1-\cos x)\cdot (1+ \cos x)}{x^2}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\cdot \lim_{x \to 0}(1+\cos x)=\\ \\ &= 2 \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\end{align} \]
Ricordandoci che siamo partiti dalla relazione (*), abbiamo quindi in conclusione:
\[ 2 \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=1 \]
da cui ricaviamo il limite notevole del coseno:
\[ \boxed{\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}} \]
Limiti che si ricavano dal limite notevole del numero di Nepero
Partiamo dal limite notevole del numero di Nepero:
\[ \lim_{x \to \pm \infty}\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^x=e \]
Passiamo al logaritmo in entrambi i membri dell’uguaglianza:
\[ \lim_{x \to \pm \infty}\log_e\left[\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^x\right]=\log_e e \]
Osserviamo che per la definizione di logaritmo, \( \log_e e = 1 \). Inoltre, per le proprietà dei logaritmi, in generale si ha che \( \log(x^x)=x \log (x) \). Nel nostro caso possiamo quindi scrivere:
\[ \lim_{x \to \pm \infty}x\log_e\left(1+\dfrac{1}{x} \right)=1 \]
E’ ora necessaria una sostituzione, cioè un cambio di variabile. Poniamo \( t = \dfrac{1}{x} \), e quindi avremo \( x = \dfrac{1}{t} \). Per \( x \to \pm \infty \), si ha che \( t \to 0 \).
Possiamo dunque scrivere:
\[ \lim_{t \to 0}\left(\dfrac{1}{t}\log_e(1+t)\right)=1 \]
da cui ricaviamo il limite notevole del logaritmo:
\[ \boxed{\lim_{t \to 0} \dfrac{\log_e(1+t)}{t}=1} \qquad (**) \]
Ora, per ricavare altri limiti notevoli, partiamo proprio dal limite notevole del logaritmo appena trovato.
Poniamo \( t=e^x-1 \). Quindi come traduciamo \( t \to 0 \)? In questo modo: \( e^x-1 \to 0 \) per \( x \to 0 \) (infatti, \( e^0=1 \)). Quindi, possiamo riscrivere il limite di partenza (**) come:
\[(**) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\log_e(1+e^x-1)}{e^x-1}=\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{e^x-1}=1 \]
Quindi in conclusione, osservando che il reciproco dell’espressione all’interno del limite tenderà comunque a \( 1 \):
\[ \boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=1} \]
E questo è il limite notevole della funzione esponenziale con base \( e \).
Ora, sempre partendo dalle relazione (**), poniamo la sostituzione: \( t = (1+x)^\alpha-1 \), con \( \alpha \in \mathbb{R} \). Osserviamo che dire \( t \to 0 \) equivale a dire che \( (1+x)^\alpha-1 \to 0 \iff x \to 0 \).
Possiamo così riscrivere il limite nella relazione (**) come:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\log_e (1+(1+x)^\alpha-1)}{(1+x)^\alpha -1} \]
Semplifichiamo l’argomento all’interno del logaritmo, applichiamo una proprietà dei logaritmi e moltiplichiamo l’espressione all’interno del limite per \( \dfrac{x}{x} \). Si ha:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\log_e (1+(1+x)^\alpha-1)}{(1+x)^\alpha -1}=\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{\alpha \log_e(1+x)}{(1+x)^\alpha-1}\cdot\dfrac{x}{x}\right)= \]
Ora riordiniamo i fattori in modo da riconoscere all’interno dell’espressione il limite notevole del logaritmo:
\[ =\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{\alpha x}{(1+x)^\alpha-1} \cdot \dfrac{\log_e(1+x)}{x}\right) \]
Ora, sappiamo che \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\log_e(1+x)}{x}=1 \). Quindi:
\[ \lim_{x \to 0}\left(\dfrac{\alpha x}{(1+x)^\alpha-1} \cdot \dfrac{\log_e(1+x)}{x}\right)=\lim_{x \to 0}\dfrac{\alpha x}{(1+x)^\alpha-1} \]
Ricordiamoci a questo punto che eravamo partiti dalla relazione (**). Quindi il limite appena scritto deve essere uguale a \( 1 \). Si ha quindi:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\alpha x}{(1+x)^\alpha-1}=1 \]
Passando al reciproco:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^\alpha-1}{\alpha x}=1 \]
Portando fuori dal limite la costante \( \dfrac{1}{\alpha} \) e moltiplicando per \( \alpha \) ambo i membri dell’uguaglianza abbiamo infine il limite notevole della potenza con differenza:
\[ \boxed{\lim_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha} \]
Abbiamo così ricavato alcuni tra i principali limiti notevoli partendo dai due limiti fondamentali. Esistono ovviamente anche altri limiti notevoli che potete trovare nella tabella dei limiti notevoli. Se vi servono altre informazioni sui limiti, in questa sezione trovate tutto ciò di cui avete bisogno. Ciao a tutti! 🙂