Riportiamo a seguire la tabella delle equivalenze asintotiche che derivano dai principali limiti notevoli. Qui consideriamo limiti e rispettive equivalenze asintotiche nella sola variabile \( x \). Se siete invece interessati alle tabella delle equivalenze asintotiche nella variabile f(x), è disponibile la relativa tabella.
Non è mai troppa l’importanza da dare alle equivalenze asintotiche, e una tabella delle equivalenze asintotiche come quella fornita in questa lezione è sicuramente un buon supporto. Nonostante sia comunque possibile ricavare agevolmente le equivalenze asintotiche dai limiti notevoli, averle belle pronte ci dà certamente una marcia in più.
Tabella equivalenze asintotiche (dai limiti notevoli)
Riportiamo ora la tabella delle equivalenze asintotiche ottenibili dai principali limiti notevoli nella variabile \( x \). Riportiamo ciascuna equivalenza asintotica accompagnata dal limite notevole di origine.
Limite notevole della funzione esponenziale con base a
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{a^{x}-1}{x}=\ln a \qquad \Rightarrow \qquad a^x-1 \: \sim_{x \to 0} \: x \ln a, \qquad a > 0 \]
Nel caso di base \( e \):
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad e^x-1 \: \sim_{x \to 0} \: x \]
Limite notevole della funzione logaritmica con base a
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\log_a(1+x)}{x}=\dfrac{1}{\ln a } \quad \Rightarrow \quad \log_a(1+x) \: \sim_{x \to 0} \: \dfrac{x} {\ln a};\qquad a>0, \quad a \neq 1 \]
Nel caso del logaritmo naturale (cioè il logaritmo in base \( e \)):
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1 \qquad \Rightarrow \qquad \ln(1+x) \: \sim_{x \to 0} \: x \]
Limite notevole del numero di Nepero
Dal presente limite notevole è piuttosto difficile ricavare un’equivalenza asintotica.
Limite notevole del seno
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1 \qquad \Rightarrow \qquad \sin x \: \sim_{x \to 0} \: x \]
Limite notevole del coseno
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}\qquad \Rightarrow \qquad (1-\cos x) \: \sim_{x \to 0} \: \dfrac{x^2} {2} \]
Limite notevole della tangente
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(x)}{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad \tan(x) \: \sim_{x \to 0} \: x \]
Limite notevole della potenza con differenza
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^k-1}{x}=k \qquad \Rightarrow \qquad (1+x)^k-1 \: \sim_{x \to 0} \: kx; \qquad k \in \mathbb{R} \]
Riportiamo infine le equivalenze asintotiche che discendono dai limiti notevoli di alcune funzioni trigonometriche inverse.
Limite notevole della funzione arcoseno
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\arcsin x}{x}=1 \qquad \Rightarrow \qquad \arcsin x \: \sim_{x \to 0} \: x \]
Limite notevole della funzione arcotangente
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\arctan x}{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad \arctan x \: \sim_{x \to 0} \: x \]
Ricordiamo che le equivalenze asintotiche sono probabilmente il metodo più elegante e generalmente il più rapido per risolvere gli esercizi sui limiti sfruttando i risultati dei limiti notevoli. Rimane comunque sempre valido il metodo algebrico, nonostante questo possa complicare anche molto i passaggi dello svolgimento dei limiti.
Le equivalenze asintotiche sono uno strumento potentissimo, ma devono essere usate correttamente. Lo ricordiamo ancora: è necessario prestare particolare attenzione alle ipotesi per le quali ciascuna equivalenza asintotica è valida. E dobbiamo confrontare davvero scrupolosamente tali ipotesi con il limite che stiamo risolvendo.
Ad esempio, l’equivalenza asintotica:
\[ \sin x \sim_{x \to 0} x \]
nella quale affermiamo che per \( x \to 0 \) possiamo sostituire l’infinitesimo \( \sin x \) con l’infinitesimo ad esso equivalente \( x \), può essere applicata per risolvere il seguente limite:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\boxed{\sin x}}{3x^3}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\boxed{x}}{3x^3}=+\infty \]
Lo svolgimento è corretto poiché nel limite assegnato la \( x \) tende a 0 come nell’equivalenza asintotica.
Invece i limiti:
\[ \lim_{x \to 2}\dfrac{\sin x}{3x^3}; \qquad \lim_{x \to +\infty}\dfrac{\sin x}{3x^3}; \]
non possono essere risolti con la precedente equivalenza asintotica, poiché in entrambi la \( x \) non tende a 0. Poco importa nei due casi se il termine \( \sin x \) comunque compare nell’equivalenza asintotica. Dunque, attenzione 😉
Comunque, il limite a sinistra si risolve per sostituzione diretta, il secondo per confronto tra infiniti.
Concludiamo questa lezione ricordando che un sicuro aiuto per utilizzare correttamente le equivalenze asintotiche è dato dalla buona abitudine di includere sempre nel simbolo di equivalenza asintotica la condizione per la quale essa è valida. Ad esempio, è a mio parere da evitare una scrittura del tipo:
\[ \sin x \sim x \qquad \text{NO} \]
Quindi indichiamo sempre nel simbolo di equivalenza asintotica a cosa tende la \( x \) :
\[ \sin x \sim_{\small{x \to 0}} x \]
Considerate del resto che le equivalenze asintotiche sono uguaglianze fra limiti. E, nei limiti, non ha alcun senso scrivere \( \lim f(x) = l \). Non sappiamo infatti a cosa tende la \( x \)… A mio avviso omettere la condizione sulla \( x \) nell’equivalenza asintotica è un po’ come scrivere un “limite” del genere.
Per ulteriori chiarimenti vi ricordo le lezione su equivalenze asintotiche e limiti notevoli. Buon proseguimento con Altramatica! 🙂