Le equivalenze asintotiche sono strettamente correlate al concetto di limite, anzi, sono proprio uguaglianze fra limiti. L’idea è quella di poter sostituire una funzione presente nell’espressione del limite da risolvere con una funzione “più semplice”. In altre parole, una funzione che permetta di semplificare l’espressione argomento del limite, in modo da poter calcolare il limite dell’espressione in modo agevole, magari anche per semplice sostituzione diretta.
I risultati che otterremo in questa lezione sono sintetizzati nella tabella delle equivalenze asintotiche, nella quale sono ricavate le equivalenze asintotiche ottenibili dai principali limiti notevoli (continuando a leggere questa lezione capirete presto di cosa stiamo parlando). 🙂
Dai limiti notevoli alle equivalenze asintotiche
Consideriamo il limite notevole del seno:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1 \]
Cosa ci dice questa relazione? Finora ci siamo limitati a ricavarne una sola informazione, cioè che il risultato del limite è un numero finito. Vediamo ora di andare oltre 😉
Applichiamo alla precedente espressione il teorema del limite del rapporto di funzioni:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\lim_{x \to 0}\sin x}{\lim_{x \to 0}x} \]
E quindi ovviamente:
\[ \dfrac{\lim_{x \to 0}\sin x}{\lim_{x \to 0}x}=1 \]
Da quanto abbiamo visto sul confronto tra infinitesimi, possiamo dire una cosa molto importante. Osserviamo anzitutto che le funzioni \( y=\sin x \) e \( y=x \) sono infinitesime per \( x \to 0 \). Esse infatti sono entrambe continue in \( x_0=0 \) e per sostituzione diretta vediamo facilmente che entrambe tendono a zero per \( x \to 0 \). Inoltre, dato che il risultato del limite dei rapporti delle funzioni è un numero finito, possiamo affermare che le funzioni \( y=\sin x \) e \( y=x \) hanno lo stesso ordine di infinitesimo.
Ora, in tal caso succede qualcosa in più. Non solo le due funzioni infinitesime hanno il limite del loro rapporto pari ad un numero finito, ma tale limite è esattamente uguale a \( 1 \).
E siccome in generale se il rapporto tra due numeri è 1 allora i due numeri sono tra loro uguali, possiamo certamente scrivere:
\[ \lim_{x \to 0}\sin x = \lim_{x \to 0} x \]
In tal caso, le due funzioni si dicono per definizione asintoticamente equivalenti per \( x \to 0 \):
\[ \lim_{x \to 0}\sin x = \lim_{x \to 0}x \quad \Rightarrow \quad \sin x \: \sim_{x \to 0} \: x \]
Ora, consideriamo il limite notevole del coseno:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2} \]
Anche in questo caso possiamo dire che le funzioni sono infinitesime dello stesso ordine, poiché il limite del loro rapporto è un numero finito. Tuttavia, non possiamo parlare di equivalenza asintotica tra i termini \( (1-\cos x) \) e \( x^2 \), poiché il limite dei rapporti è sì finito, ma diverso da 1.
Possiamo comunque ricavare un’utile equivalenza asintotica anche da tale limite. Osserviamo infatti che analogamente a prima si ha:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{\lim_{x \to 0}(1-\cos x)}{\lim_{x \to 0}x^2} \]
e quindi:
\[ \dfrac{\lim_{x \to 0}(1-\cos x)}{\lim_{x \to 0}x^2}=\dfrac{1}{2} \]
da cui deriva con un semplice passaggio algebrico che:
\[ \lim_{x \to 0}(1-\cos x)=\dfrac{1}{2}\cdot\lim_{x \to 0}x^2 \]
ovvero (portando il termine costante dentro al simbolo di limite):
\[ \lim_{x \to 0}(1-\cos x)=\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{2}\cdot x^2 \]
Osserviamo che abbiamo finalmente ottenuto, anche in questo caso, un’equivalenza asintotica:
\[ \lim_{x \to 0}(1-\cos x)=\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{2}\cdot x^2 \quad \Rightarrow \quad 1- \cos x \: \sim_{x \to 0} \: \dfrac{x^2}{2} \]
Per tutti quei limiti notevoli espressi come limite del rapporto tra funzioni, la regola per ricavare una equivalenza asintotica da un limite notevole è molto semplice. E’ sufficiente uguagliare il numeratore del limite notevole al risultato del limite notevole stesso moltiplicato per il denominatore del limite notevole:
\[ \text{numeratore limite notevole} \: \sim_{x \to x_0} \text{risultato limite notevole} \: \cdot \: \text{denominatore} \]
Nel caso dei due limiti notevoli visti, si ha rispettivamente infatti:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}= 1 \quad \Rightarrow \quad \sin x \: \sim_{x \to 0}\: 1 \cdot x \]
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 1- \cos x \: \sim_{x \to 0} \: \dfrac{1}{2} \: \cdot \: x^2 \]
Dunque, ricavare equivalenze asintotiche dalla maggior parte dei limiti notevoli è un procedimento immediato 😉 Ho però voluto introdurre questa semplice regola partendo dalla sua dimostrazione, come utile occasione per poter ragionare su varie nozioni sin qui apprese.
Vi ricordo inoltre che è pure disponibile su Altramatica una tabella contenente le equivalenze asintotiche 😉
Esempi
Vediamo ora alcuni esercizi in modo da evidenziare l’utilità delle equivalenze asintotiche nella risoluzione dei limiti 🙂
E’ molto utile prima di procedere con gli esercizi osservare che se:
\[ f(x) \sim_{x \to x_0} g(x) \]
allora si ha anche che:
\[ (f(x))^2 \sim_{x \to x_0} (g(x))^2 \]
e questo vale in generale per ogni esponente reale.
Esempio 1
Calcolare:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{\sin^2 x} \]
Osserviamo che nel numeratore dell’espressione abbiamo il numeratore del limite notevole del coseno. Nel denominatore dell’espressione abbiamo invece il numeratore elevato al quadrato del limite notevole del seno.
Dovremo dunque usare le seguenti equivalenze asintotiche:
\[ 1- \cos x \: \sim_{x \to 0} \: \dfrac{x^2}{2} \]
per il limite notevole del coseno, e
\[ \sin x \: \sim_{x \to 0} \: x \]
per i limite notevole del seno. Da quest’ultima relazione si deduce pure che:
\[ \sin^2 x \: \sim_{x \to 0} \: x^2 \]
Possiamo a questo punto sostituire le funzioni nell’espressione di partenza con le funzioni ad esse asintoticamente equivalenti:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{\sin^2 x}=\lim_{x \to x_0}\dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{x^2}=\lim_{x \to x_0} \dfrac{x^2}{2}\cdot \dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{2} \]
Abbiamo dunque risolto l’esercizio con un metodo più agile di quello algebrico. Utilizzando ad esempio il metodo di dividere numeratore e denominatore per una stessa quantità, avremmo dovuto svolgere l’esercizio come segue:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{\sin^2 x}=\lim_{x \to x_0}\dfrac{\dfrac{1-\cos x }{x^2}}{\dfrac{\sin ^2 x}{x^2}}=\dfrac{1}{2} \]
In esercizi così semplici il vantaggio non è particolarmente evidente, ma nel caso di esercizi più complessi le equivalenze si rivelano uno strumento molto importante.
Esempio 2
Calcolare:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{e^x-1} \]
Le equivalenze asintotiche da usare derivano dal limite notevole del coseno e dal limite notevole della funzione esponenziale con base \( e \) e sono le seguenti:
\[ \begin{align} 1-\cos x \: \sim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{2} \\ \\ e^x-1 \: \sim _{x \to 0} \:x\end{align} \]
Pertanto:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{e^x-1}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2}{2}\cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0}x=0 \]
Come possiamo vedere lo svolgimento è stato molto rapido.
Vediamo come sarebbe stato lo svolgimento dell’esercizio utilizzando invece un metodo algebrico.
ESEMPIO 3 (il precedente esercizio svolto con un metodo algebrico)
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{e^x-1} \]
Scegliamo di dividere numeratore e denominatore per il termine \( x^2 \):
\[ \begin{align}& \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{e^x-1}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}{\dfrac{e^x-1}{x^2}}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}{\dfrac{e^x-1}{x}\cdot \dfrac{1}{x}}= \\ \\ &= \dfrac{\lim_{x \to 0}\dfrac{1- \cos x}{x^2} }{\lim_{x \to 0}\dfrac{e^x-1}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}}= \end{align} \]
Ora, la funzione \( y=\dfrac{1}{x} \) ammette per x che tende a 0 limiti destro e sinistro differenti, per cui bisogna valutare per l’esercizio i limiti destro e sinistro e verificarne l’eventuale uguaglianza.
\[ \dfrac{\lim_{x \to 0^-}\dfrac{1- \cos x}{x^2} }{\lim_{x \to 0^-}\dfrac{e^x-1}{x} \cdot \lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}}=\left( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 \cdot (-\infty)} \right)=0 \]
\[ \dfrac{\lim_{x \to 0^+}\dfrac{1- \cos x}{x^2} }{\lim_{x \to 0^+}\dfrac{e^x-1}{x} \cdot \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}}=\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 \cdot (+\infty)} \right)=0 \]
Ora i limiti destro e sinistro coincidono per cui in definitiva possiamo scrivere:
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{e^x-1}=0 \]
Come possiamo vedere, le equivalenze asintotiche permettono di risolvere gli esercizi molto agevolmente. L’importante è saperle usare correttamente. Ricordarsi sempre che ciascuna equivalenza asintotica vale soltanto nell’ipotesi che la \( x \) tenda ad uno specifico \( x_0 \). Per non sbagliare, è importante specificare sempre per quale condizione vale l’equivalenza asintotica, cioè a quale valore \( x_0 \) deve tendere la \( x \).
Nella prossima lezione introdurremo il concetto di limite della funzione composta.
Buono studio a tutti! 🙂