Completiamo le tabelle sui limiti notevoli ed equivalenze asintotiche con la tabella sulle equivalenze asintotiche in f(x). La tabella presenta in particolare le equivalenze asintotiche in f(x) che si ottengono a partire dai limiti notevoli in forma “generalizzata”, cioè espressi in \( f(x) \).
La regola per ottenere le equivalenze asintotiche in f(x) è piuttosto semplice ed è la stessa che si utilizza per ricavare le equivalenze asintotiche nella variabile \( x \). Tuttavia, la tabella risulterà comunque utile come riferimento rapido.
Le equivalenze asintotiche in f(x) che presentiamo derivano dai limiti notevoli in \( f(x) \) che abbiamo già esaminato e che riportiamo nuovamente accanto alle rispettive equivalenze asintotiche.
Per l’uso delle equivalenze asintotiche in f(x) per risolvere i limiti, rimandiamo alla lezione specifica. Questo argomento viene trattato dal paragrafo “limiti notevoli ed equivalenze asintotiche in f(x)” in poi.
Tabella equivalenze asintotiche in f(x) – dai limiti notevoli in f(x)
Riportiamo ora la tabella delle equivalenze asintotiche ottenibili dai principali limiti notevoli espresse in \( f(x) \). Ciascuna equivalenza asintotica è accompagnata dal limite notevole di origine.
Ricordiamo che è anche disponibile una tabella sulle equivalenze asintotiche nella variabile \( x \).
Limite notevole della funzione esponenziale con base a
\[ \lim_{f(x) \to 0}\dfrac{a^{f(x)}-1}{f(x)}=\ln a \qquad \Rightarrow \qquad a^{f(x)}-1 \: \sim_{f(x) \to 0} \: f(x) \ln a, \qquad a > 0 \]
Nel caso di base \( e \):
\[ \lim_{f(x) \to 0}\dfrac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1\qquad \Rightarrow \qquad e^{f(x)}-1 \: \sim_{f(x) \to 0} \: f(x) \]
Limite notevole della funzione logaritmica con base a
\[\small{ \lim_{f(x) \to 0}\dfrac{\log_a(1+f(x))}{f(x)}=\dfrac{1}{\ln a } \quad \Rightarrow \quad \log_a(1+f(x)) \: \sim_{f(x)\to 0} \: \dfrac{f(x)} {\ln a};\qquad a>0, \quad a \neq 1 }\]
Nel caso del logaritmo naturale (cioè il logaritmo in base \( e \)):
\[ \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{\ln(1+f(x))}{f(x)}=1 \qquad \Rightarrow \qquad \ln(1+f(x)) \: \sim_{f(x) \to 0} \: f(x) \]
Limite notevole del numero di Nepero
Dal presente limite notevole è piuttosto difficile ricavare un’equivalenza asintotica.
Limite notevole del seno
\[ \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{\sin f(x)}{f(x)}=1 \qquad \Rightarrow \qquad \sin f(x) \: \sim_{f(x) \to 0} \: f(x) \]
Limite notevole del coseno
\[ \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{1-\cos f(x)}{[f(x)]^2}=\dfrac{1}{2}\qquad \Rightarrow \qquad (1-\cos f(x)) \: \sim_{f(x) \to 0} \: \dfrac{[f(x)]^2} {2} \]
Limite notevole della tangente
\[ \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{\tan(f(x))}{f(x)}=1\qquad \Rightarrow \qquad \tan(f(x)) \: \sim_{f(x) \to 0} \: f(x) \]
Limite notevole della potenza con differenza
\[ \small{\lim_{f(x) \to 0}\dfrac{(1+f(x))^k-1}{f(x)}=k \qquad \Rightarrow \qquad (1+f(x))^k-1 \: \sim_{f(x) \to 0} \: k \cdot f(x) \qquad k \in \mathbb{R}} \]
Riportiamo infine le equivalenze asintotiche che discendono dai limiti notevoli di alcune funzioni trigonometriche inverse.
Limite notevole della funzione arcoseno
\[ \lim_{f(x) \to 0}\dfrac{\arcsin f(x)}{f(x)}=1 \qquad \Rightarrow \qquad \arcsin f(x) \: \sim_{f(x) \to 0} \: f(x) \]
Limite notevole della funzione arcotangente
\[ \lim_{f(x) \to 0} \dfrac{\arctan f(x)}{f(x)}=1\qquad \Rightarrow \qquad \arctan f(x) \: \sim_{f(x) \to 0} \: f(x) \]
Le equivalenze asintotiche, ricordiamolo ancora una volta, sono uno strumento potentissimo, ma devono essere usate correttamente. E’ necessario prestare particolare attenzione alle ipotesi per le quali ciascuna equivalenza asintotica è valida.