In questa lezione vedremo come effettuare la verifica di un limite finito per \( x \) che tende ad un valore finito. Ci proponiamo cioè di verificare il risultato di un limite che, per \( x \to x_0 \), ha come risultato un valore finito, cioè un numero.
Per comprendere questa lezione, è ovviamente necessario conoscere la definizione di limite finito per \( x \) che tende ad un valore finito. Questo è ciò di cui ci siamo occupati nella precedente lezione.
Verifica del limite finito di una funzione per x che tende ad un valore finito
Non sappiamo ancora come effettuare il calcolo dei limiti. La tecnica utilizzata nella scorsa lezione, che consiste nel calcolare i valori della funzione in punti vicini ad \( x_0 \) e nel riportare i risultati in una tabella non è un vero e proprio calcolo del limite. Il metodo è infatti empirico e non fornisce la certezza che quello sia proprio il limite della funzione. Abbiamo semplicemente “valutato” il limite, ma non lo abbiamo calcolato in maniera rigorosa. Gli strumenti per il calcolo dei limiti saranno illustrati più avanti.
Possiamo tuttavia utilizzare la definizione di limite in nostro possesso come strumento di verifica. In particolare, siamo già in grado di verificare se un valore assegnato rappresenta o meno il limite di una funzione in un punto.
In cosa consiste una verifica di un limite? Assegnato il valore del limite di una funzione, e noto il valore \( x_0 \) al quale tende la \( x \), si tratta semplicemente di verificare che, esplicitando la \( x \) dalla disequazione:
\[ |f(x)-l|<\epsilon \]
si ottenga tra le soluzioni almeno un intervallo che sia un intorno di \( x_0 \), cioè un intorno della forma:
\[ I = ]x_0-\delta_\epsilon, \: x_0+\delta_\epsilon[ \: – \{x_0\} \]
\( \delta_\epsilon \) sarà una funzione di \( \epsilon \).
Osserviamo che naturalmente la disequazione \( |f(x)-l|<\epsilon \) è proprio quella contenuta nella definizione formale di limite che avevamo dato poco fa.
Un esempio renderà chiara la procedura 😉
Esempio (verifica di un limite)
Verificare che:
\[ \lim_{x \to 1}{\dfrac{x^2-1}{x-1}}=2 \]
Alleniamoci con la lettura della notazione di limite. L’esercizio ci chiede di verificare se il limite per \( x \) che tende a \( x_0 = 1 \) della funzione \( \dfrac{x^2-1}{x-1} \) è veramente uguale a 2.
Affinché ciò sia vero, dovrà essere necessariamente che, risolvendo la disequazione con valore assoluto:
\[ |f(x)-l|<\epsilon \]
e cioè nel nostro caso:
\[ \left| \dfrac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\epsilon \]
risulti che fra le soluzioni ottenute vi sia almeno un intervallo che sia un intorno di \( x_0 = 1 \).
Osserviamo che gli estremi degli intervalli soluzioni della disequazione saranno funzione di \( \epsilon \). Nel risolvere la disequazione, dobbiamo semplicemente fare finta che \( \epsilon \) sia un numero e portarcelo dietro nei calcoli. Dobbiamo vedere come incognita soltanto la \( x \).
Risolviamo dunque rispetto ad \( x \) la disequazione con valore assoluto:
\[ \left| \dfrac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\epsilon \]
Cominciamo lavorando con il termine dentro al modulo. Facciamo il denominatore comune:
\[ \left| \dfrac{x^2-1-2x+2}{x-1}\right|<\epsilon \]
quindi:
\[ \left| \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}\right|<\epsilon \]
ossia:
\[ \left| \dfrac{(x-1)(x-1)}{x-1}\right|<\epsilon \]
Con l’ipotesi \( (x-1)\neq0 \) e quindi \( x\neq 1 \) possiamo eliminare il denominatore e scrivere:
\[ |x-1|<\epsilon \]
Ci ritroviamo così a dover risolvere rispetto ad \( x \) una disequazione con valore assoluto, una tipologia di esercizio che già conosciamo e che sappiamo svolgere.
In particolare, l’equazione data è elementare ed è di risoluzione rapida:
\[ |x-1|<\epsilon \Rightarrow -\epsilon<x-1<\epsilon \]
E quindi:
\[ 1-\epsilon<x<1+\epsilon \]
Osserviamo attentamente l’intervallo, che possiamo riscrivere anche così:
\[ ]1-\epsilon, \: 1 + \epsilon[ \]
Come possiamo vedere, abbiamo ottenuto un intervallo del tipo \( ]x_0-\delta_\epsilon, \: x_0+\delta_\epsilon[ \), cioè un intorno di \( x_0=1 \), proprio ciò che volevamo! 🙂
Nota: nella soluzione ottenuta, va naturalmente escluso \( x_0 \), poiché per tale valore la funzione non è definita.
Riassumendo, imponendo la condizione su \( f(x) \) dettata dalla definizione di limite, abbiamo ottenuto un intorno di \( x_0 \) in cui tale condizione è verificata, intorno del punto \( 1 \) definito dal valore \( \delta_\epsilon = \epsilon \).
Nella prossima lezione, introdurremo il concetto di limite infinito di una funzione per x che tende ad un valore finito ; )
Buono studio a tutti con Altramatica!