Nella precedente lezione abbiamo introdotto il concetto di limite finito di una funzione per \( x \) che tende ad un valore finito. Vedremo ora un altro concetto, cioè quello di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito.
Possiamo già intuitivamente dire cosa intendiamo per limite infinito di una funzione per x che tende ad un valore finito? Direi proprio di sì. Anche in questo caso, prima di introdurre le definizioni formali, cercheremo di introdurre i concetti in modo più familiare.
Introduzione al concetto di limite infinito di una funzione per x che tende ad un valore finito
Prendiamo in esame la funzione:
\[ y= \dfrac{1}{(x-2)^2} \]
La funzione è definita in tutti i reali tranne il valore \( x_0 = 2 \). Infatti, in corrispondenza di tale valore il denominatore della frazione algebrica si annulla. Non essendo possibile la divisione per zero, per tale valore la frazione algebrica – e quindi la funzione – perde di significato.
Come però abbiamo fatto nella lezione precedente, possiamo comunque cercare di capire cosa succede per valori “prossimi” ad \( x_0 = 2 \).
Ancora una volta, per valori “prossimi” ad \( x_0 \) intendiamo tutte le \( x \) che vivono in un intorno del tipo \( ]x_0-\delta, \: x_0+\delta[ -\{x_0\} \), con \( \delta > 0 \) e scelto piccolo quanto si vuole. Anche in questo caso \( x_0 \) dovrà essere punto di accumulazione per il dominio. Quindi, tutti i punti dell’intervallo dovranno appartenere al dominio della funzione.
Vediamo dunque di costruire una tabella nella quale riportiamo i valori assunti dalla funzione \( y= \dfrac{1}{(x-2)^2} \) per valori che approssimano \( x_0 \) per difetto e per eccesso. Faremo cioè tendere la \( x \) ad \( x_0 \) partendo da valori di poco più grandi di \( x_0 \) e faremo tendere la \( x \) ad \( x_0 \) partendo da valori di poco più piccoli di \( x_0 \).
| x | f(x) | x | f(x) |
| 3 | 1 | 1 | 1 |
| 2,7 | 2,0408 | 1,3 | 2,0408 |
| 2,5 | 4 | 1,5 | 4 |
| 2,4 | 6,25 | 1,6 | 6.25 |
| 2,3 | 11,1111 | 1,7 | 11,1111 |
| 2,2 | 25 | 1,8 | 25 |
| 2,15 | 44,4444 | 1,85 | 44,4444 |
| 2,10 | 100 | 1,9 | 100 |
| 2,07 | 204,082 | 1,93 | 204,082 |
| 2,05 | 400 | 1,95 | 400 |
| 2,03 | 1111,11 | 1,97 | 1111,11 |
| 2,02 | 2500 | 1,98 | 2500 |
| 2,01 | 10000 | 1,99 | 10000 |
| 2,005 | 40000 | 1,995 | 40000 |
| 2,0005 | 4’000’000 | 1,9995 | 4’000’000 |
Come possiamo vedere, la funzione non tende ad avvicinarsi ad un valore finito, tuttavia presenta comunque un comportamento notevole. Infatti, più facciamo avvicinare la \( x \) ad \( x_0 \), tanto più la funzione assume valori sempre più grandi. Ed è interessante notare che quando siamo molto vicini ad \( x_0 \), la funzione cresce tantissimo anche per piccoli cambiamenti della \( x \).
Osserviamo dalla tabella che il comportamento della funzione è lo stesso tanto avvicinandoci ad \( x_0 \) per valori della \( x \) che la approssimano per difetto, quanto avvicinandoci ad \( x_0 \) per valori della x che la approssimano per eccesso.
Se una funzione si comporta in questo modo diciamo che essa ammette limite più infinito (e si scrive \( +\infty \)) per \( x \) che tende ad \( x_0 \). “Più infinito” non è un vero e proprio numero. E’ una quantità frutto della nostra immaginazione alla quale associamo il concetto di numero più grande di tutti. Per ogni numero che scegliamo, “più infinito” sarà comunque più grande di esso. Il simbolo \( +\infty \) indica dunque una quantità astratta infinitamente grande.
La tabella ci mostra indicativamente quello che ormai possiamo intuire basandoci sulla precedente lezione. Possiamo dire che una funzione ammette limite \( +\infty \) se, comunque scelto un intorno \( I \) di \( x_0 \) piccolo quanto si vuole, i valori della funzione in corrispondenza di detto intorno sono tali che, preso un “certo” numero \( M \), risulta che \( f(x)>M \) (con \( x \in I \)).
Cosa intendiamo per numero \( M \) “certo”? Intendiamo che il numero \( M \) non è un numero reale qualsiasi ma dovrà essere scelto sufficientemente grande, di modo che a tutte le \( x \) che appartengono all’intorno di \( x_0 \) corrispondano valori di \( f(x) \) maggiori di \( M \). E dato che l’intorno \( I \) di \( x_0 \) è definito come \( I=]x_0-\delta, \: x_0+\delta[-\{x_0\} \), è chiaro che siccome la grandezza dell’intorno dipende da \( \delta \), il numero \( M \) dovrà essere scelto proprio in funzione di \( \delta \). Tanto più piccolo sarà \( \delta \), tanto più grande dovrà essere \( M \).
Possiamo anche invertire il discorso, come del resto viene tradizionalmente fatto, dicendo che una volta fissato un numero \( M \), se la funzione ammette limite \( +\infty \) per \( x \rightarrow \; x_0 \), allora dovrà esistere per forza un \( \delta_M>0 \) tale che per tutti i valori della \( x\in]x_0-\delta_M, \: x_0+\delta_M[-\{x_0\} \) risulta che \( f(x)>M \).
Con la dicitura \( \delta_M \) si intende proprio formalizzare il legame tra \( \delta \) e \( M \). Infatti, se partiamo scegliendo un valore \( M \), affinché risulti per tutti gli \( x \)dell’intorno \( I \) che \( f(x)>M \), il valore \( \delta \) che definisce l’ampiezza dell’intorno dovrà proprio essere scelto in funzione di \( M \).
Osservando la precedente figura è immediato vedere che più grande sarà il numero M che fissiamo, più piccolo sarà l’intorno di \( x_0 \) che soddisfa la condizione \( f(x)>M \).
Possiamo a questo punto introdurre la definizione formale di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito.
Definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito
Sia \( f(x) \) una funzione definita in un dominio \( D_f \subseteq \mathbb{R} \), senza che sia necessariamente definita in \( x_0 \). Sia \( x_0 \) punto di accumulazione per il dominio \( D_f \).
Diciamo che il limite per \( x \) che tende ad \( x_0 \) della funzione è più infinito, e si scrive:
\[ \lim_{x \to x_0}{f(x)}=+\infty \]
se, comunque fissato un \( M \), è possibile trovare un corrispondente \( \delta_M > 0\) tale che, per ogni \( x \in D_f \) che soddisfa la condizione
\[ |x-x_0|<\delta_M, \quad x \neq x_0 \]
risulta:
\[ f(x)>M \]
Ora, se consideriamo la funzione \( y= -\dfrac{1}{(x-3)^2} \), vediamo che essa non è definita in \( x_0=3 \) ed assume valori sempre più piccoli scegliendo \( x \) sempre più vicine ad \( x_0 \). Il comportamento è simile a quello della funzione precedente ed è possibile prendere in prestito gran parte di quanto precedentemente detto, tuttavia stavolta i valori della funzione, pur crescendo in modulo, divengono in realtà sempre più piccoli a causa del segno meno.
In questo caso si vede quindi che scegliendo valori della \( x \) sempre più prossimi ad \( x_0 \), la funzione decresce sempre più rapidamente. E avvicinandosi sempre più ad \( x_0 \), anche per piccolissime variazioni della \( x \) la funzione decresce alquanto rapidamente.
Con considerazioni del tutto simili al precedente caso, possiamo formalizzare quanto detto come segue. Nella definizione, introdurremo la quantità meno infinito, la quale indica una quantità frutto della nostra immaginazione che può essere vista come il numero più piccolo di tutti. Tale quantità astratta si indica con il simbolo \( -\infty \).
Sia \( f(x) \) una funzione definita in un dominio \( D_f \subseteq \mathbb{R} \), senza essere necessariamente definita in \( x_0 \). Sia inoltre \( x_0 \) punto di accumulazione per \( D_f \).
Diciamo che il limite per \( x \) che tende ad \( x_0 \) della funzione è meno infinito, e si scrive:
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = – \infty \]
se, comunque scelto un numero \( M \) è possibile determinare in corrispondenza di esso un numero \( \delta_M > 0 \) tale che, per ogni \( x \in D_f \) e che verifica la condizione
\[ |x-x_0|<\delta_M, \quad x \neq x_0 \]
risulta
\[ f(x) < M \]
Nella prossima lezione vedremo come verificare questo tipo di limiti. A presto con Altramatica! : )