Nei limiti trigonometrici per sostituzione si incontra all’inizio una forma indeterminata (ad esempio, \( \dfrac{0}{0} \)). L’idea è quella di svincolarsi dalla forma indeterminata effettuando una elaborazione algebrica dell’espressione all’interno del limite. La sostituzione dovrà essere pensata in modo tale da poter ottenere un’espressione equivalente a quella nel limite che possa essere ulteriormente sviluppata tramite le formule di addizione e sottrazione o meglio ancora tramite le formule degli archi associati. In tal modo, procedendo nei calcoli algebrici sarà possibile risolvere il limite o per sostituzione diretta e/o utilizzando i limiti notevoli del seno e del coseno.
L’idea per risolvere i limiti trigonometrici per sostituzione
Ci proponiamo di presentare il metodo risolutivo per i limiti trigonometrici per sostituzione mostrando la logica del procedimento.
Supponiamo di dover calcolare:
\[ \lim_{x \to \small { \dfrac{\pi}{2}}} \dfrac{1-\sin x}{\cot^2 x} \]
La cotangente al denominatore non deve spaventarci 🙂 E’ sufficiente ricordare che \( \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} \). Quindi il limite assegnato equivale a:
\[ \lim_{x \to \small { \dfrac{\pi}{2}}} \dfrac{1-\sin x}{\dfrac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x}} \]
Se proviamo a sostituire il valore \( \dfrac{\pi}{2} \) nell’espressione del limite, ci accorgiamo di avere la forma indeterminata \( \dfrac{0}{0} \). Serve un ripasso? Valori delle funzioni seno e coseno per gli angoli notevoli in tutti i quadranti.
Ora, osserviamo che la \( x \) tende a \( \dfrac{\pi}{2} \). Proviamo a porre la sostituzione \( t=\dfrac{\pi}{2}-x \). In questo modo, otteniamo due vantaggi. Il primo, è che per \( x \to \dfrac{\pi}{2} \) la variabile \( t \to 0 \). Infatti, poiché se \( t=\dfrac{\pi}{2}-x \) si ha che \( x = \dfrac{\pi}{2}-t \), è immediato osservare che per \( t \to 0 \) la \( x \to \dfrac{\pi}{2} \). Quindi la sostituzione è corretta.
Il secondo vantaggio che otteniamo da questa particolare sostituzione è che ad esempio il termine \( \sin x \) diventa \( \sin(\dfrac{\pi}{2}-t) \). In questo modo, il termine in \( t \) può essere sviluppato utilizzando una delle formule degli archi associati. Siamo in particolare nel caso degli angoli complementari, dal quale sappiamo che \( \sin \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)=\cos x \).
Vi domanderete ora perché il fatto che \( t \to 0 \) sia un vantaggio. Questo lo è e come, perché se sviluppando ulteriormente l’espressione del limite in \( t \) incontreremo i termini \( \sin t \) e \( \cos t \), questi diventano semplicemente \( \sin (0) = 0 \) e \( \cos (0) = 1 \). Ciò aiuterà molto, come vedremo, nel semplificare l’espressione nel limite.
Dunque, il primo trucco è: porre una sostituzione di modo che il termine assegnato alla variabile \( t \) tenda a zero.
Il secondo trucco già è chiaro: sfruttare le formule goniometriche degli archi associati (o, come vedremo, le formule di addizione e sottrazione).
Come effettuare la scelta fra le formule degli archi associati e le formule di addizione e sottrazione? Ciò dipende, ovviamente, dal valore \( x_0 \) al quale tende la \( x \). Ad esempio, se nel limite abbiamo \( x \to \dfrac{\pi}{2} \), con la sostituzione \( t=\dfrac{\pi}{2}-x \) potremo poi applicare la formula degli archi associati complementari. Se nel limite assegnato abbiamo invece ad esempio \( x \to \dfrac{\pi}{4} \), siccome tale angolo non rientra nei casi degli archi associati, dovremo utilizzare le formule di addizione e sottrazione.
Tornando al limite assegnato, ricordandoci – lo ripeto – che ponendo \( t=\dfrac{\pi}{2}-x \) si ha di conseguenza \( x=\dfrac{\pi}{2}-t \), possiamo riesprimere l’espressione del limite nella variabile \( t \) come segue:
\[ \lim_{x \to \small { \dfrac{\pi}{2}}} \dfrac{1-\sin x}{\dfrac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x}}=\lim_{t \to 0}\dfrac{1-\sin \left( \dfrac{\pi}{2}-t\right)}{\dfrac{\cos^2\left( \dfrac{\pi}{2}-t\right)}{\sin^2\left( \dfrac{\pi}{2}-t\right)}}= \]
Ora non ci resta che semplificare l’espressione utilizzando le formule degli archi associati complementari:
\[ =\lim_{t \to 0} \dfrac{1-\cos t}{\dfrac{\sin^2t}{\cos ^2 t}}= \]
Sfruttando inoltre la regola delle frazioni di frazioni:
\[ = \lim_{t \to 0}(1-\cos t)\dfrac{\cos^2t}{\sin^2t}\]
A questo punto sarebbe più che desiderabile poter esprimere tutto in funzione della sola funzione coseno. Bene, dalla relazione fondamentale della trigonometria sappiamo che:
\[ \sin^2t=1-\cos^2t; \qquad \text{poiche’:} \quad \sin ^2 t + \cos ^2 t = 1 \]
Quindi eccoci serviti:
\[ \lim_{t \to 0}(1-\cos t)\dfrac{\cos^2t}{\sin^2t}=\lim_{t \to 0}\dfrac{(1-\cos t)\cos ^2 t}{1-\cos^2 t}= \]
Andiamo avanti con i passaggi riconoscendo la differenza di quadrati \( 1-\cos^2 t \):
\[ = \lim_{t \to 0}\dfrac{(1 – \cos t) \cos ^2 t}{(1-\cos t) (1 + \cos t)}=\lim_{t \to 0}\dfrac{\cos^2 t}{1+\cos t }\stackrel{\text{sost. diretta}}{=}\dfrac{1}{2} \]
Con qualche trucco algebrico e la relazione fondamentale della trigonometria siamo quindi riusciti a calcolare il limite assegnato per semplice sostituzione diretta.
Qualora abbiate bisogno di un ripasso sulle formule di trigonometria, vi ricordo che Altramatica contiene un vasto assortimento di formule goniometriche 😉
Esercizi svolti
Esempio 1
Calcolare:
\[ \lim_{x \to \small {\dfrac{\pi}{4}}}\dfrac{\tan x – \cot x}{\sin x – \cos x} \]
Per chi conosce le derivate, l’esercizio si può risolvere molto rapidamente con il teorema di de L’Hopital. Diversamente, possiamo pazientemente cavarcela con il metodo di sostituzione 😉
Poniamo la sostituzione \( t=x – \dfrac{\pi}{4} \). In questo modo abbiamo che \( x = t + \dfrac{\pi}{4} \). Ci ritroveremo così ad applicare le formule di addizione del seno e del coseno. Inoltre, per \( x \to \dfrac{\pi}{4} \), \( t \to 0 \).
NOTA: osserviamo che anche la sostituzione \( t=\dfrac{\pi}{4}-x \) sarebbe stata del tutto corretta. In tal caso avremmo poi dovuto usare le formule di sottrazione del seno e del coseno.
Abbiamo dunque:
\[ \lim_{x \to \small {\dfrac{\pi}{4}}}\dfrac{\tan x – \cot x}{\sin x – \cos x}=\lim_{t \to 0}\dfrac{\tan \left(t+{\dfrac{\pi}{4}}\right) – \cot\left(t+{\dfrac{\pi}{4}}\right) }{\sin \left(t+{\dfrac{\pi}{4}}\right) – \cos \left(t+{\dfrac{\pi}{4}}\right)}= \]
Ora, tenendo conto che \( \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} \), si ha:
\[ =\lim_{t \to 0}\dfrac{\dfrac{\sin\left(t+\dfrac{\pi}{4} \right)}{\cos \left(t+\dfrac{\pi}{4} \right)}\: -\:\dfrac{\cos\left(t+\dfrac{\pi}{4} \right)}{\sin \left(t+\dfrac{\pi}{4} \right)} }{\sin \left( t+\dfrac{\pi}{4}\right)-\cos \left(t+\dfrac{\pi}{4} \right)}= \]
Ora applichiamo le formule di addizione del seno e del coseno:
\[ =\lim_{t \to 0}\dfrac{\dfrac{\sin t \cos \dfrac{\pi}{4}+\cos t \sin \dfrac{\pi}{4}}{\cos t \cos \dfrac{\pi}{4}-\sin t \sin \dfrac{\pi}{4}}\: -\:\dfrac{\cos\cos t \cos \dfrac{\pi}{4}-\sin t \sin \dfrac{\pi}{4}}{\sin t \cos \dfrac{\pi}{4}+\cos t \sin \dfrac{\pi}{4}} }{\sin t \cos \dfrac{\pi}{4}+\cos t \sin \dfrac{\pi}{4} – \cos t \cos \dfrac{\pi}{4} + \sin t \sin \dfrac{\pi}{4}}= \]
Ora possiamo calcolare i termini \( \cos\left(\dfrac{\pi}{4} \right) \) e \( \sin\left(\dfrac{\pi}{4} \right) \): entrambi valgono \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \).
\[ =\lim_{t \to 0}\dfrac{\dfrac{\sin t \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos t \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\cos t \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sin t \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\: -\:\dfrac{\cos t \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sin t \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sin t \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos t \dfrac{\sqrt{2}}{2}} }{\sin t\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos t \dfrac{\sqrt{2}}{2} – \cos t \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \sin t \dfrac{\sqrt{2}}{2}}= \]
Ora, a numeratore dobbiamo raccogliere i termini \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) e semplificare. A denominatore si tratta di una banale somma algebrica. Abbiamo:
\[ =\lim_{t \to 0}\dfrac{\dfrac{\sin t + \cos t}{\cos t – \sin t}-\dfrac{\cos t – \sin t}{\sin t + \cos t}}{\sin t \sqrt{2}}= \]
Procediamo ora con i rimanenti passaggi algebrici:
\[ = \lim_{t \to 0}\dfrac{\dfrac{(\sin t + \cos t)^2-(\cos t – \sin t)^2}{(\cos t – \sin t)(\sin t + \cos t)}}{\sin t \sqrt{2}}= \]
\[=\lim_{t \to 0}\dfrac{\dfrac{\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t – \cos^2 t + 2 \sin t \cos t-\sin^2 t}{(\cos t- \sin t)(\sin t + \cos t)}}{\sin t \sqrt{2}}= \]
\[ =\lim_{t \to 0}\dfrac{4\cos t}{\sqrt{2}(\cos t – \sin t)(\sin t + \cos t)}\stackrel{\text{sost. diretta}}{=}\dfrac{4}{\sqrt{2}} \]
E’ possibile infine razionalizzare il risultato ottenendo in conclusione:
\[ \dfrac{4}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \]
ESEMPIO 2
Calcolare:
\[ \lim_{x \to \small{ \dfrac{\pi}{2}}}\dfrac{(2x-\pi)\cos x}{x(1-\sin x)} \]
Siamo in presenza della forma indeterminata \( \dfrac{0}{0} \).
Per risolvere l’esercizio poniamo la sostituzione
\[ t=\dfrac{\pi}{2}-x \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{\pi}{2}-t \]
Si ha che per \( x \to \dfrac{\pi}{2} \), la variabile \( t \) tende a 0.
Possiamo dunque riscrivere il precedente limite come:
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\left[ 2 \cdot \left( \dfrac{\pi}{2}-t\right)- \pi \right] \cos \left( \dfrac{\pi}{2}-t\right)}{\left( \dfrac{\pi}{2}-t\right) \left[ 1-\sin\left( \dfrac{\pi}{2}-t\right) \right]}=\lim_{t \to 0}\dfrac{-2t \cos \left( \dfrac{\pi}{2}-t\right)}{\left( \dfrac{\pi}{2}-t\right)\left[ 1-\sin\left( \dfrac{\pi}{2}-t\right) \right]}= \]
Ora possiamo procedere utilizzando le formule degli archi associati relative al caso degli angoli complementari, per il seno e il coseno:
\[ = \lim_{t \to 0}\dfrac{-2t \sin t}{\left( \dfrac{\pi}{2}-t\right)(1-\cos t)}= (*) \]
Ora possiamo procedere utilizzando le equivalenze asintotiche oppure un metodo algebrico. In entrambi i casi, sfruttiamo i limiti notevoli.
Mostriamo intanto come si conclude l’esercizio utilizzando le equivalenze asintotiche:
\[ (*)=\lim_{t \to 0}\dfrac{-2t \cdot \overbrace{\boxed{t}}^{\text{L. N. seno}}}{\left( \dfrac{\pi}{2}-t\right) \cdot\underbrace{\boxed {\dfrac{t^2}{2}}}_{\text{L.N. coseno}}} = \]
Notare che abbiamo utilizzato le equivalenze asintotiche che derivano dai limiti notevoli del seno e del coseno. Con pochi passaggi otteniamo:
\[ =\lim_{t \to 0}\dfrac{-2t^2}{\dfrac{2 \pi t^2-4t^3}{8}}=\lim_{t \to 0}\dfrac{-16t^2}{2(\pi t^2-2t^3)}=\lim_{t \to 0}\dfrac{-8}{\pi-2t}\stackrel{\text{sost. diretta}}{=}\: -\dfrac{8}{\pi} \]
In alternativa avremmo potuto svolgere l’ultima parte dell’esercizio utilizzando sempre i limiti notevoli, però utilizzando il metodo algebrico (senza cioè le equivalenze asintotiche):
\[ (*)=\lim_{t \to 0}\dfrac{\dfrac{-2 t \sin t }{\boxed{t^2}}}{\left( \dfrac{\pi}{2}-t\right) \left( \dfrac{1-\cos t}{\boxed{t^2}} \right)} = \lim_{t \to 0}\dfrac{\dfrac{-2 t }{t} \cdot \overbrace{\dfrac{\sin t}{t}}^{\text{L. N. seno}}}{\left( \dfrac{\pi}{2}-t\right) \underbrace{\left( \dfrac{1-\cos t}{t^2} \right)}}_{\text{L. N. coseno}} = -\dfrac{8}{\pi} \]
Qui termina questa lezione sui limiti trigonometrici per sostituzione. Con le linee guida offerte da questi svolgimenti dovreste ora essere in grado di destreggiarvi con un buon assortimento di limiti trigonometrici per sostituzione 😉
Dalla prossima lezione cominceremo lo studio degli asintoti.
Buono studio a tutti con Altramatica!