Proseguiamo gli esercizi sulla semplificazione delle frazioni algebriche con questa seconda parte. Gli esercizi qui proposti riguardano la semplificazione delle frazioni algebriche con prodotti.
Gli accorgimenti da utilizzare sono sempre gli stessi di quelli adottati negli esercizi della prima parte, alla quale vi rimandiamo per ulteriori approfondimenti.
Vediamo allora subito questi esercizi sulla semplificazione delle frazioni algebriche con prodotti.
Esercizio 1
\[ \dfrac{6x^2-x-2}{2x^2-5x+3} \cdot \dfrac{2x^2-7x+6}{3x^2+x-2} \]
Le frazioni algebriche hanno tutte al numeratore e al denominatore dei trinomi caratteristici del secondo tipo (coefficiente della \( x^2 \) diverso da \( 1 \)). Proviamo a scomporre ciascun trinomio utilizzando, stavolta, il metodo dei raccoglimenti parziali seguiti da un raccoglimento totale. Si tratta cioè del metodo più “classico”.
Consideriamo separatamente ciascun trinomio. Cominciamo dal numeratore della prima frazione:
\[ 6x^2-x-2 \]
Dobbiamo trovare due numeri aventi per somma \( -1 \) (il coefficiente della \( x \)) e per prodotto \( -12 \) (il prodotto tra il coefficiente della \( x^2 \) e il termine noto). Ricerchiamo i numeri tra i divisori di \( -12 \):
\[ \pm1; \quad \pm2; \quad \pm3; \quad \pm4; \quad \pm6; \quad \pm12 \]
Ricordiamo che in generale bisogna prima provare con il primo e l’ultimo numero, poi con il secondo e il penultimo, e così via. E la cosa più conveniente da fare è cercare due numeri che rispettino quanto richiesto per la somma, e poi verificare che rispettino anche la condizione sul loro prodotto.
Osserviamo che i due numeri \( -4 \) e \( 3 \) hanno per somma \( -1 \). Il loro prodotto è \( -4 \cdot 3 = -12 \) e di conseguenza questi sono proprio i due numeri cercati.
Osservando che il coefficiente del termine in \( x \) del trinomio da scomporre rappresenta la somma dei due numeri che abbiamo appena trovato, possiamo scrivere:
\[ 6x^2-x-2=6x^2+(-4+3)x-2=6x^2-4x+3x-2 =\]
A questo punto possiamo continuare con i passaggi eseguendo due raccoglimenti parziali:
\[ \begin{align} &= 6x^2+3x-4x-2=3x(2x+1)+2(-2x-1)=\\ \\ &=3x(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)(3x-2)\end{align} \]
Ed il trinomio è così scomposto. 😉
Trovare i due numeri non è complicato, ma potrebbe capitare a volte di avere una difficolta. La circostanza è particolarmente sgradita se ciò capita durante una verifica, ma niente panico. Ormai molte calcolatrici scientifiche economiche permettono di trovare i due numeri “magici” per i trinomi notevoli con somma e prodotto. 😉 Tutto sta a sapere come chiederlo loro: scomporre il trinomio caratteristico con l’aiuto di una calcolatrice scientifica.
In modo del tutto simile potremo scomporre gli altri trinomi caratteristici nell’espressione di partenza. Abbiamo così:
\[ \begin{align}&\dfrac{6x^2-x-2}{2x^2-5x+3} \cdot \dfrac{2x^2-7x+6}{3x^2+x-2} = \boxed{\dfrac{(3x-2)(2x+1)}{(2x-3)(x-1)} \cdot \dfrac{(x-2)(2x-3)}{(x+1)(3x-2)}}= \\ \\ & = \dfrac{\cancel{(3x-2)}(2x+1)}{\cancel{(2x-3)}(x-1)} \cdot \dfrac{(x-2)\cancel{(2x-3)}}{(x+1)\cancel{(3x-2)}} = \dfrac{(2x+1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\\ \\ &= \dfrac{(2x+1)(x-2)}{x^2-1}\end{align} \]
Ricordiamo che per trovare il campo di esistenza del risultato finale nelle espressioni con frazioni algebriche dobbiamo guardare l’espressione di partenza scomposta in fattori ma senza che in essa sia stata eseguita alcuna semplificazione. Dobbiamo così guardare l’espressione evidenziata nel riquadro.
In particolare, come già ricordato, dobbiamo imporre diversi da zero tutti i denominatori presenti nell’espressione. Abbiamo così per il risultato finale il campo di esistenza:
\[ x \neq 1, \quad x \neq -1, \quad x \neq \dfrac{2}{3}, \quad x \neq \dfrac{3}{2} \]
Con ciò, intendiamo che la \( x \) non può assumere nessuno dei valori indicati. Così, tutte le condizioni scritte valgono contemporaneamente. Per meglio evidenziare questo, possiamo utilizzare l’operatore di congiunzione logica e scrivere:
\[ x \neq 1 \quad \wedge \quad x \neq -1 \quad \wedge \quad x \neq \dfrac{2}{3} \quad \wedge\quad x \neq \dfrac{3}{2} \]
Esercizio 2
\[ \dfrac{6x^2+11x-2}{4x^2-3x-1} \cdot \dfrac{5x^2-3x-2}{3x^2+7x+2} \]
L’esercizio è molto simile al precedente. Si tratta di scomporre i trinomi caratteristici e quindi effettuare le semplificazioni incrociate. Per la scomposizione di ciascun trinomio caratteristico utilizzeremo in questo esercizio il metodo di riduzione dei binomi. Ovviamente, il metodo classico o il metodo che fa uso della formula sono altrettanto validi. Procediamo:
\[ \begin{align}& \dfrac{6x^2+11x-2}{4x^2-3x-1} \cdot \dfrac{5x^2-3x-2}{3x^2+7x+2}= \\ \\ & = \dfrac{\left(\dfrac{6x}{6}+\dfrac{12}{6} \right) \left(6x-1 \right)}{\left(\dfrac{4x}{4}-\dfrac{4}{4} \right)\left(4x+1 \right)} \cdot \dfrac{\left(\dfrac{5x}{5}-\dfrac{5}{5} \right)\left(5x+2 \right)}{\left(\dfrac{3x}{3}+\dfrac{6}{3} \right)\left(3x+1 \right)}= \\ \\ &= \dfrac{\cancel{(x+2)}(6x-1)}{\cancel{(x-1)}(4x+1)}\cdot\dfrac{\cancel{(x-1)}(5x+2)}{\cancel{(x+2)}(3x+1)}= \\ \\ &= \dfrac{(6x-1)(5x+2)}{(4x+1)(3x+1)} \end{align} \]
Il risultato è valido con le condizioni di esistenza:
\[ x \neq 1 \quad \wedge \quad x \neq -2 \quad \wedge \quad x \neq -\dfrac{1}{3} \quad \wedge \quad x \neq -\dfrac{1}{4} \]
ovvero, la \( x \) non può assumere nessuno dei valori indicati.
Esercizio 3
\[ (x^2-4)\cdot \dfrac{2x+3}{x^2+2x-8} \]
Cominciamo riconoscendo nel termine \( x^2-4 \) la differenza di due quadrati:
\[ (x^2-4)\cdot \dfrac{2x+3}{x^2+2x-8}=(x-2)(x+2)\cdot\dfrac{2x+3}{x^2+2x-8}= \]
Procediamo scomponendo il trinomio caratteristico al denominatore:
\[ =\cancel{(x-2)}(x+2)\cdot \dfrac{2x+3}{(x+4)\cancel{(x-2)}}=\dfrac{(x+2)(2x+3)}{x+4} \]
Valgono le condizioni di esistenza:
\[ x \neq -4 \quad \wedge \quad x \neq 2 \]
Veniamo ora all’ultimo esercizio.
Esercizio 4
\[ (a^2-2a)\cdot\dfrac{a+1}{6-a-a^2} \]
Riportiamo il solo svolgimento, invitando come allenamento a svolgere autonomamente l’esercizio per poi confrontare il risultato ottenuto. 😉 Suggerimento: è necessario lavorare sui segni in modo opportuno.
Ecco lo svolgimento proposto:
\[ \begin{align}&(a^2-2a)\cdot\dfrac{a+1}{6-a-a^2}=a \cdot (a-2)\cdot\dfrac{a+1}{(-a+2)(a+3)}= \\ \\ & =a (a-2)\cdot \dfrac{a+1}{-1 \cdot (-a+2) \cdot (-1) \cdot (a+3) }= \\ \\ & = a\cancel{(a-2)}\cdot\dfrac{a+1}{\cancel{(a-2)}(-a-3)} = \\ \\ & = \dfrac{a(a+1)}{-a-3}=\dfrac{-a(a+1)}{a+3}, \quad \text{con} \: a \neq 2 \: \wedge \: a \neq -3 \end{align} \]
Come osservazione, una qualche attenzione ha richiesto il trinomio:
\[ 6-a-a^2 \]
ovvero, una volta ordinato:
\[ -a^2-a+6 \]
Questo non è un trinomio caratteristico del primo tipo, ovvero con coefficiente del termine di secondo grado pari a \( 1 \). Infatti, detto termine è sì unitario ma ha segno meno. Di conseguenza, dobbiamo scomporre il trinomio trattandolo come un trinomio notevole o caratteristico del secondo tipo.
Per meglio chiarire lo svolgimento riportiamo la scomposizione del trinomio caratteristico (con il metodo classico):
\[ \begin{align}& -a^2-a+6=-a^2+(-3+2)a+6=-a^2-3a+2a+6= \\ \\ & = -a^2+2a-3a+6=a(-a+2)+3(-a+2)=(-a+2)(a+3)\end{align} \]
Per questi esercizi sulla semplificazione delle frazioni algebriche con prodotti è tutto. Un saluto e buono studio! 🙂