Conoscere questa tecnica è dunque particolarmente utile per le verifiche, quando non è ovviamente possibile usare i risolutori e magari i due numeri da trovare proprio non vengono fuori. Non è poi così complicato trovare i due numeri in realtà, ma un aiuto in più può a volte fare davvero la differenza. 😉
Per controllare invece i vostri svolgimenti dei compiti a casa, vi ricordo il tool: scomporre il trinomio caratteristico online, con passaggi.
Vediamo allora subito come scomporre un trinomio caratteristico con l’aiuto di una calcolatrice scientifica. Prenderemo qui a riferimento i seguenti modelli di calcolatrice:
- calcolatrice scientifica Niji Digit 401 funzioni;
- calcolatrice Casio FX-570ES Plus oppure Casio fx-991ES PLUS 2.
La procedura per scomporre il trinomio caratteristico con la calcolatrice è in ogni caso applicabile anche ad altri modelli di calcolatrici scientifiche. L’importante è che abbiano la funzione per risolvere le equazioni di secondo grado. 😉
Come può aiutarci una semplice calcolatrice scientifica per scomporre il trinomio caratteristico
Consideriamo un trinomio caratteristico ad esempio del secondo tipo:
\[ 2x^2-7x+6 \]
Dobbiamo ricordarci che bisogna trovare due numeri tali che:
- la loro somma sia pari al coefficiente della \( x \), ovvero \( \mathbf{-7} \);
- il loro prodotto sia pari al prodotto del coefficiente della \( x^2 \) per il termine noto, ovvero \( 2 \cdot 6 = \mathbf{12} \).
Questo è proprio il compito per il quale ci sarà di aiuto la calcolatrice.
Così, se chiamiamo \( h \) ed \( k \) i due numeri, questi dovranno soddisfare contemporaneamente le due equazioni:
\[ \begin{cases} h+k=-7 \\ \\ h \cdot k = 12 \end{cases} \]
In generale avremo:
\[ \begin{cases} h+k=s \\ \\ h \cdot k = p \end{cases} \]
ove \( s \) e \( p \) sono rispettivamente la somma e il prodotto dei due numeri cercati.
Si può dimostrare che per i nostri fini il problema equivale a risolvere la seguente equazione di secondo grado:
\[ x^2-sx+p=0 \]
L’equazione fornisce due soluzioni che sono proprio i due numeri che cerchiamo. Allora, il trucco è quello di far risolvere alla calcolatrice scientifica questa semplice equazione. 😉
Passiamo subito alla pratica. Per l’esercizio dato, ovvero scomporre il trinomio:
\[ 2x^2-7x+6 \]
dobbiamo come detto trovare due numeri che abbiano per somma \( -7 \) e per prodotto \( 12 \).
Per fare questo, dobbiamo accedere alla funzione della calcolatrice che risolve le equazioni di secondo grado. La calcolatrice ci chiederà i valori di tre coefficienti, chiamati \( a,b \) e \( c \). Inseriamo i valori:
- \( 1 \), per il coefficiente \( a \) (questo sarà sempre 1);
- l’opposto della somma e quindi \( 7 \) per il coefficiente \( b \);
- il prodotto e quindi \( 12 \) per il coefficiente \( c \).
Le soluzioni dell’equazione saranno proprio i due numeri \( h \) e \( k \) cercati. 😉 Ora vediamo la procedura specifica da seguire nella calcolatrice.
Calcolatrice scientifica niji digit 401 funzioni
Premiamo il tasto MODE, due o tre volte a seconda del modello, finché non compare la scritta EQN. Premiamo il tasto\( 1 \) o comunque il numero indicato al di sotto della scritta EQN. Ora, premiamo il tasto di navigazione destro: compare la scritta DEGREE. Premiamo 2.
Come coefficienti inseriamo:
- \( 1 \), e premiamo uguale (il primo coefficiente sarà sempre \( 1 \));
- \( 7 \), e premiamo uguale (\( 7 \) è l’opposto della somma \( -7 \));
- \( 12 \) e premiamo uguale (\( 12 \) è il prodotto).
A questo punto verrà visualizzata la prima soluzione \( x_1 \). Premendo il tasto di navigazione verso il basso sarà visualizzata la seconda soluzione \( x_2 \). E’ possibile ovviamente visualizzare \( x_1 \) o \( x_2 \) a piacere semplicemente scorrendo con il tasto di navigazione.
IMPORTANTE: per riportare la calcolatrice al funzionamento normale, premete il tasto MODE e quindi il tasto 1.
Calcolatrice scientifica casio FX-570 ES PLUS e Casio fx-991ES PLUS 2
Premere MODE e 5 per entrare nella modalità EQN (equazioni).
Verrà visualizzato il seguente menù:
Selezionare nel menù equazione di secondo grado (tasto 3). A questo punto, la calcolatrice mostra la schermata per l’inserimento dei coefficienti:
Ora, inseriamo i coefficienti seguenti:
- \( 1 \), e premiamo uguale (il primo coefficiente sarà sempre \( 1 \));
- \( 7 \), e premiamo uguale (\( 7 \) è l’opposto della somma \( -7 \));
- \( 12 \) e premiamo uguale (\( 12 \) è il prodotto).
A questo punto verrà visualizzata la prima soluzione \( x_1 \).
Premendo il tasto uguale verrà visualizzata la seconda soluzione \( x_2 \).
Premendo ripetutamente il tasto uguale sarà possibile scorrere tra la schermata di inserimento dei coefficienti e le schermate di visualizzazione delle due soluzioni calcolate.
Le procedure esposte potrebbero differire dal vostro particolare modello. Inoltre, le procedure si applicano in molti casi anche a calcolatrici di differente modello e/o marca. In caso di dubbi, fate per favore riferimento al manuale delle istruzioni.
IMPORTANTE: per riportare la calcolatrice al funzionamento normale, premete il tasto MODE e quindi il tasto 1 (sia per la NIJI digit, sia per la CASIO).
scomponiamo il polinomio con i due numeri trovati
Le soluzioni che otteniamo in entrambi i casi sono:
\[ x_1 = -3; \qquad x_2 = -4 \]
Questi sono proprio i due numeri da utilizzare per la scomposizione del trinomio caratteristico.
Scomponiamo il trinomio utilizzando ad esempio il metodo classico:
\[ \begin{align}&2x^2-7x+6=2x^2\mathbf{-3}x\mathbf{-4}x+6=2x^2-4x-3x+6= \\ \\ & = 2x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(2x-3)\end{align} \]
Abbiamo per comodità evidenziato in grassetto i due numeri ottenuti con la calcolatrice.
Siamo così pervenuti alla scomposizione cercata. 😉
Per la verifica, basterà moltiplicare tra loro i fattori ottenuti per verificare la correttezza della scomposizione. Nel nostro caso:
\[ (x-2)(2x-3)=2x^2-3x-4x+6=2x^2-7x+6 \]
e quindi ci siamo. 😉
E’ bene fare sempre questa verifica. Potrebbe ad esempio capitare di inserire in modo errato i coefficienti. Ricordiamoci sempre che il coefficiente \( b \) deve essere l’opposto della somma.
Ora, riassumiamo nel modo più breve possibile tutto quanto detto, così da avere una regola che sia facile da ricordare.
Per trovare i due numeri relativi alla somma e al prodotto di un trinomio caratteristico con la calcolatrice scientifica, basterà ricordarsi la seguente sequenza:
\[ \large 1, \quad -\text{somma}, \quad \text{prodotto} \]
che rappresenta i coefficienti dell’equazione di secondo grado che la calcolatrice dovrà risolvere. Le soluzioni \( x_1 \) e \( x_2 \) dell’equazione saranno i due numeri \( h \) e \( k \) tali che \( h+k=\text{somma} \) e \( h \cdot k = \text{prodotto} \).
E perché non porre direttamente uguale a zero il trinomio da scomporre e risolvere l’equazione così ottenuta?
Riprendiamo il trinomio caratteristico che abbiamo scomposto:
\[ 2x^2-7x+6 \]
L’obiezione che si potrebbe fare al metodo presentato è che possiamo direttamente trovare le soluzioni dell’equazione:
\[ 2x^2-7x+6=0 \]
e scomporre il trinomio come:
\[ a (x-x_1)(x-x_2) \]
ove \( x_1 \) e \( x_2 \) sono le soluzioni dell’equazione ed \( a \) è il coefficiente della \( x^2 \). Teoricamente, l’obiezione è corretta.
Nella pratica, risolvendo tale equazione la calcolatrice fornisce le soluzioni:
\[ x_1 = 2; \qquad x_2 = 1.5 \]
Scomodo no? Non è difficile riconoscere però a onore del vero nel numero decimale \( 1.5 \) la frazione \( \dfrac{3}{2} \), e tra l’altro è anche possibile premere il tasto della funzione frazioni per visualizzare direttamente la frazione stessa. Tuttavia, proviamo a scrivere la scomposizione:
\[ 2x^2-7x+6=2(x-2)\left(x-\dfrac{3}{2}\right) \]
La scomposizione è corretta ma non si presenta nel migliore dei modi. Dobbiamo così rendere interi i coefficienti dei binomi:
\[ 2(x-2)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)=2(x-2)\left(\dfrac{2x-3}{2} \right)=(x-2)(2x-3) \]
Il metodo precedente, invece, ci ha fornito direttamente dei numeri interi. E grazie ad essi abbiamo potuto scomporre il trinomio caratteristico con il metodo di scomposizione ad esso dedicato.
Qui termina questa lezione su come scomporre il trinomio caratteristico con una calcolatrice scientifica. Nel salutarvi vi ricordo il pratico tool: trinomio caratteristico online, con passaggi.
Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂