Tuttavia, vedremo che la regola specifica per calcolare rapidamente il cubo di un trinomio non è in fondo così complicata né da spiegare, né da applicare.
Presenteremo dunque nella lezione due differenti approcci per il calcolo del cubo di un trinomio, e starà comunque a voi scegliere il metodo col quale vi sentirete più sicuri. 😉
Regola per il calcolo del cubo di un trinomio (prodotto notevole)
Ricordiamo che un trinomio è un polinomio di tre termini.
Sia da calcolare il seguente cubo:
\[ (a+b+c)^3 \]
Come al solito, partiamo da monomi di una sola lettera con esponente unitario per semplificare le cose. Poi, potremo sempre vedere ciascun monomio \( a,b,c \) come un qualunque monomio costituito da più lettere con esponenti arbitrari e da una parte numerica qualsiasi.
Ancora una volta, le proprietà delle potenze ci permettono di ricondurci al caso del prodotto tra polinomi:
\[ (a+b+c)^3=(a+b+c)\cdot(a+b+c)\cdot(a+b+c) \]
Svolgiamo il prodotto calcolando il prodotto tra il primo e il secondo polinomio (o in alternativa, usando il prodotto notevole del quadrato di un trinomio), quindi moltiplicando il risultato per il terzo polinomio:
\[ \begin{align}&(a+b+c)\cdot(a+b+c)\cdot(a+b+c) = \\ \\ & = (a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2)\cdot (a+b+c)= \\ \\ & = (a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)\cdot(a+b+c) = \\ \\ & = a^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^3+b^2c+ac^2+bc^2+c^3+ \\ \\ &+2a^2b+2ab^2+2abc+2a^2c+2abc+2ac^2+2abc+2b^2c+2bc^2= \\ \\ & = \boxed{a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc}\end{align} \]
Abbiamo così in generale:
\[ \small(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc \]
ovvero:
il cubo di un trinomio è dato dalla somma dei cubi dei singoli termini del trinomio, più i tripli prodotti fra tutte le possibili coppie di termini diversi tra loro nelle quali uno solo dei due termini è elevato al quadrato, più sei volte il prodotto dei tre termini del trinomio.
I tripli prodotti da scrivere sono in tutto sei, come sei è il numero con il quale moltiplicare il prodotto \( abc \) (l’ultimo termine del risultato è, infatti, \( 6abc \)). Questo ci aiuta a ricordare ancora meglio la particolare forma del risultato.
Ora, ricordarsi un prodotto notevole di questo tipo non è impossibile, ma è certamente impegnativo.
Per cui, vediamo un metodo alternativo per calcolare il cubo di un trinomio, quantomeno utilizzando il prodotto notevole del quadrato di un trinomio.
Cubo di un trinomio utilizzando il quadrato di un trinomio
Possiamo esprimere il cubo di un trinomio:
\[ (a+b+c)^3 \]
come il prodotto del quadrato del trinomio e lo stesso trinomio:
\[ (a+b+c)^2\cdot(a+b+c) \]
Ciò vale per le proprietà delle potenze (prodotto fra potenze di uguale base, ove la base in questo caso è il trinomio). Così in conclusione:
\[ (a+b+c)^3=(a+b+c)^2\cdot(a+b+c) \]
A questo punto si tratterà di calcolare il quadrato del trinomio e poi moltiplicare il risultato per il trinomio stesso.
Abbiamo:
\[ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \]
E quindi:
\[ \begin{align} &(a+b+c)^2\cdot(a+b+c)= \\ \\ & = ( a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)\cdot (a+b+c) = \\ \\ & = a^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^3+b^2c+ac^2+bc^2+c^3+ \\ \\ & +2a^2b+2ab^2+2abc+2a^2c+2abc+2ac^2+2abc+2b^2c+2bc^2= \\ \\ & = a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3b^2c+3ac^2+3bc^2+6abc \end{align} \]
Il procedimento è generale, poiché basta considerare i termini \( a,b,c \) come monomi qualsiasi. Un generico trinomio andrà così visto come somma algebrica dei termini \( a,b,c \), e i segni di ciascun termine del risultato andranno calcolati di volta in volta.
Esempio
Calcolare:
\[ (2x+7xy+9z)^3 \]
Sfruttiamo le proprietà delle potenze in modo da poter riscrivere l’espressione data come segue:
\[ (2x+7xy+9z)^2 \cdot (2x+7xy+9z) \]
Calcoliamo a parte il quadrato del trinomio:
\[ (2x+7xy+9z)^2=4x^2+49x^2y^2+81z^2+28x^2y+36xz+126xyz \]
Ora moltiplichiamo il risultato ottenuto per il trinomio:
\[ \small \begin{align}&(4x^2+49x^2y^2+81z^2+28x^2y+36xz+126xyz)\cdot (2x+7xy+9z)= \\ \\ & = 8x^3+28x^3y+36x^2z+98x^3y^2+343x^3y^3+441x^2y^2z+162xz^2+ \\ \\ & +567xyz^2+729z^3+56x^3y+196x^3y^2+252x^2yz+72x^2z+252x^2yz+324xz^2 + \\ \\ & +252x^2yz+882x^2y^2z+1134xyz^2= \\ \\ & = 8x^3+(28+56)x^3y+(36+72)x^2z+(98+196)x^3y^2+343x^3y^3+(441+882)x^2y^2z+ \\ \\ &+(162+324)xz^2+(567+1134)xyz^2+729z^3+(252 \cdot 3)x^2yz= \\ \\ & =8x^3+84x^3y+108x^2z+294x^3y^2+343x^3y^3+\\ \\ &+1323x^2y^2z+486xz^2+1701xyz^2+729z^3+756x^2yz \end{align} \]
Procedimento concettualmente semplice ma lungo vero? Proviamo allora a vedere come si presenta il calcolo utilizzando la regola del prodotto notevole. 🙂
Ricordiamo intanto questo: nel risultato avremo la somma dei cubi dei termini nel trinomio, più sei tripli prodotti formati da tutte le possibili coppie dei termini del trinomio, nelle quali soltanto un termine è elevato al quadrato, più sei volte il prodotto dei tre termini.
Riscriviamo il testo di partenza:
\[ (2x+7xy+9z)^3 \]
Scriviamo la somma dei cubi dei tre termini:
\[ \boxed{8x^3+ 343x^3y^3+729z^3}\]
Ora, scriviamo i sei tripli prodotti sommati tra loro. Non scriviamoli però tutti insieme, ma piuttosto scriviamoli separati per ciascuna coppia di termini del trinomio. Ricordiamoci di elevare al quadrato il primo termine della coppia in un prodotto, il secondo termine della coppia nell’altro prodotto:
\[ 3(2x)^27xy+3(2x)(7xy)^2 = \boxed{84x^3y+294x^3y^2} \]
\[ 3 (2x)^29z+3(2x)(9z)^2=\boxed{108x^2z+486xz^2} \]
\[ 3(7xy)^2(9z)+3(7xy)(9z)^2 =\boxed{1323x^2y^2z+1701xyz^2} \]
Infine, ci rimane da calcolare il sestuplo (sei volte) del prodotto fra i tre termini del polinomio:
\[ 6\cdot(2x\cdot7xy\cdot9z)=\boxed{756x^2yz} \]
E siamo arrivati. 🙂 Per scrivere il risultato finale non ci resta che sommare tra loro tutte le espressioni che abbiamo posto nei riquadri. Si ha così:
\[ \begin{align}&(2x+7xy+9z)^3= \\ \\ & =8x^3+ 343x^3y^3+729z^3+84x^3y+294x^3y^2+108x^2z+486xz^2+ \\ \\ & +1323x^2y^2z+1701xyz^2+756x^2yz \end{align} \]
Il risultato è lo stesso di quello ottenuto eseguendo i prodotti. In fondo, non è forse più facile ricordarsi la regola del prodotto notevole? 😉
Per questa lezione sul cubo di un trinomio è tutto. Ed è tutto anche per quanto riguarda i prodotti notevoli. Nella prossima lezione, vedremo la divisione tra un polinomio e un monomio.
Ciao a tutti! 🙂