Come al solito, ricaveremo il risultato del cubo di un binomio a partire dalla regola generale della moltiplicazione tra due polinomi. In questo modo, ci sarà possibile ottenere una regola specifica che ci consentirà di calcolare il cubo di un binomio in modo più rapido.
Oltretutto, nel binomio i due termini che lo compongono possono essere separati tra loro da un segno più o da un segno meno, per cui dovremo distinguere due casi.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito come calcolare il cubo di un binomio visto come prodotto notevole. 😉
Calcolare il cubo di un binomio
Consideriamo il binomio:
\[ (a+b) \]
Il suo cubo è:
\[ (a+b)^3 \]
Utilizzando le proprietà delle potenze, si ha:
\[ (a+b)^3=(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b) \]
Calcoliamo il prodotto fra i tre binomi appena scritti utilizzando una delle due regole per il prodotto fra tre polinomi. Eseguiamo ad esempio la moltiplicazione fra i tre polinomi in una volta sola (utilizzando il secondo metodo descritto nella lezione linkata):
\[ \begin{align}&(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b) = \\ \\ & = a^3 +a^2b+a^2b+ab^2+a^2b+ab^2+ab^2+b^3= \\ \\ & = \boxed{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\end{align} \]
NOTA: la moltiplicazione si può eseguire più facilmente calcolando il quadrato \( (a+b)^2 \) e quindi moltiplicando il risultato per \( (a+b) \).
Abbiamo così ottenuto che, considerati due generici monomi \( a \) e \( b \), il cubo della loro somma è dato da:
\[ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \]
ovvero:
il cubo di un binomio espresso come somma fra termini è dato dal cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine e del secondo termine, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine, più il cubo del secondo termine.
Ora, consideriamo il seguente cubo di un binomio:
\[ (a-b)^3 \]
In esso abbiamo ora una differenza fra termini. Tuttavia, ricorrendo all’operazione di addizione algebrica possiamo riscrivere il binomio come segue:
\[ [a+(-b)]^3 \]
Possiamo così applicare anche in questo caso la regola appena enunciata. Otteniamo:
\[ [a+(-b)]^3=a^3+3a^2\cdot(-b)+3a\cdot(-b)^2+(-b)^3=\boxed{a^3-3a^2b+3ab^2-b^3} \]
Problemi con i segni? Propongo allora un ripasso. 😉
Possiamo così scrivere, in generale, per due monomi \( a,b \) qualsiasi:
\[ (a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \]
ovvero:
il cubo di un binomio espresso come differenza fra termini è dato dal cubo del primo termine, meno il triplo prodotto del quadrato del primo termine e del secondo termine, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine, meno il cubo del secondo termine.
NOTA: il primo termine è il minuendo, mentre il secondo termine è il sottraendo (il termine cioè che viene sottratto al primo).
Possiamo considerare in generale la seguente scrittura:
\[ \boxed{ (a \pm b)^3=a^3 \pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3 } \]
intendendo che, nel risultato, il segno dei termini contrassegnati con il simbolo \( \pm \) sarà uguale al segno che separa i due termini \( a \) e \( b \) nel cubo da calcolare.
In altre parole, i termini nel risultato contenenti il monomio \( b \) con esponenti dispari saranno negativi, tutti gli altri termini nel risultato saranno positivi. 😉
Ora, conviene utilizzare le due differenti regole per il binomio somma e il binomio differenza, oppure è meglio usare l’ultima regola generale data? A voi la scelta. 😉 Il consiglio è quello di regolarvi secondo l’approccio usato dal vostro libro e/o insegnante, e in ultima istanza di usare il metodo col quale vi sentite più sicuri.
Esempio 1
\[ (2x-4y)^3 \]
Abbiamo un binomio espresso come differenza tra termini. Per cui il risultato sarà dato dal cubo del primo termine, meno il triplo prodotto tra il quadrato del primo termine e il secondo termine, più il triplo prodotto tra il primo termine e il quadrato del secondo termine, meno il cubo del secondo termine.
Osserviamo che con questa regola intendiamo il segno meno che separa i due termini del binomio di partenza come un operatore di sottrazione. In altre parole, rileggiamo il calcolo da svolgere nel seguente modo:
\[ [+2x-(+4y)]^3 \]
Si ha quindi:
\[ \begin{align}&(2x-4y)^3=(2x)^3-3(2x)^2\cdot4y+3\cdot2x\cdot(4y)^2-(4y)^3= \\ \\ & = 8x^3-3\cdot4x^2 \cdot 4 y+3\cdot2x\cdot16y^2-64y^3 = \\ \\ & = 8x^3-48x^2y+(6\cdot 16)xy^2-64y^3= \\ \\ & = 8x^3-48x^2y+96xy^2-64y^3 \end{align} \]
In alternativa, avremmo potuto svolgere il calcolo intendendo il binomio come una somma algebrica di termini:
\[ [2x+(-4y)]^3 \]
In questo modo, ci liberiamo della regola che ci dice quale segno attribuire a ciascun termine del risultato. Saremo noi a calcolarli. 😉
Si ha:
\[ \begin{align}&[2x+(-4y)]^3= (2x)^3+3(2x)^2 \cdot (-4y)+3\cdot 2x \cdot (-4y)^2+(-4y)^3= \\ \\ & = 8x^3+12x^2\cdot(-4y)+6x\cdot 16y^2-64y^3=\\ \\ & = 8x^3-48x^2y+96xy^2-64y^3\end{align} \]
Esempio 2
\[ (2xy+3x^2)^3 \]
Qua è tutto più semplice rispetto al precedente esempio, poiché ora il binomio del quale calcolare il cubo è una somma di termini. Di conseguenza, i termini del risultato saranno tutti positivi. Si ha:
\[ \begin{align} &(2xy+3x^2)^3 = \\ \\ & = 8x^3y^3+3(2xy)^23x^2+3\cdot2xy\cdot(3x^2)^2+(3x^2)^3= \\ \\ & = 8x^3y^3+3(4x^2y^2)3x^2+6xy\cdot9x^4+27x^6= \\ \\ & = 8x^3y^3+36x^4y^2+54x^5y+27x^6\end{align} \]
NOTA: poiché uno dei due termini nel binomio di partenza conteneva un esponente, nello svolgere i calcoli abbiamo dovuto utilizzare la proprietà delle potenze di potenze.
Per quanto riguarda il calcolo del cubo di un binomio è tutto. Vi ricordo come al solito il seguente tool per il calcolo dei polinomi, con il quale potrete verificare i risultati dei vostri esercizi.
Nella prossima lezione vedremo il cubo di un trinomio. Ciao a tutti e buono studio! 🙂