Per eseguire il prodotto fra tre polinomi possiamo procedere in due differenti modi:
- eseguire il prodotto tra i primi due polinomi, quindi moltiplicare il risultato per il terzo polinomio. In tal modo, riconduciamo il problema a moltiplicazioni tra due polinomi;
- eseguire direttamente il prodotto fra i tre polinomi, utilizzando un’estensione della regola per il prodotto tra due polinomi.
Vediamo con degli esempi pratici entrambi i metodi. 😉
Moltiplicare tre polinomi tra loro riconducendosi al caso del prodotto tra due polinomi
Questo è il metodo più semplice ed è quello che personalmente mi sento di consigliarvi. 🙂 Sicuramente, è la strada migliore per chi è all’inizio con le moltiplicazioni tra polinomi.
Consideriamo la moltiplicazione:
\[ (ab+x)\cdot(2ab-x)\cdot(x-1) \]
L’idea è quella di moltiplicare in primo luogo i primi due polinomi. Poi, si procederà ad effettuare la moltiplicazione tra il risultato ottenuto ed il terzo polinomio.
In tal modo, riconduciamo la moltiplicazione fra tre polinomi a due moltiplicazioni tra due polinomi, che già sappiamo fare. 🙂
Avremo quindi:
\[ \begin{align}&(ab+x)\cdot(2ab-x)\cdot(x-1)= \\ \\ & = (2a^2b^2-abx+2abx-x^2)(x-1)= \\ \\ & = 2a^2b^2x-2a^2b^2-\underline{abx^2}+\underline{\underline{abx}}+\underline{2abx^2}-\underline{\underline{2abx}}-x^3+x^2= \\ \\ & = 2a^2b^2x-2a^2b^2+abx^2-abx-x^3+x^2\end{align} \]
E siamo così giunti al risultato finale. 🙂
Moltiplicare tre polinomi tra loro Estendendo la regola della moltiplicazione tra due polinomi
Questo metodo è più indicato per chi già ha una buona esperienza sul calcolo letterale. A mio parere è comunque preferibile il primo metodo, perché è il più sicuro. 😉
Consideriamo ancora il prodotto:
\[ (ab+x)\cdot(2ab-x)\cdot(x-1) \]
L’idea è quella di estendere la regola per la moltiplicazione tra due polinomi. In particolare, calcoleremo sempre dei prodotti tra termini dei polinomi per poi sommarli, ma stavolta ciascun prodotto sarà costituito da tre termini.
In pratica, lavoreremo con i primi due polinomi come nel caso del prodotto tra due polinomi, ma considerando in aggiunta anche il terzo polinomio. 😉
Così, il primo prodotto si otterrà moltiplicando il primo termine del primo polinomio per il primo termine del secondo polinomio e anche per il primo termine del terzo polinomio.
Il secondo prodotto si otterrà moltiplicando sempre il primo termine del primo polinomio per il secondo termine del secondo polinomio e sempre per il primo termine del terzo polinomio.
Esauriti tutti i termini del secondo polinomio, si ripeterà la procedura con la sola differenza di utilizzare il secondo termine del primo polinomio, in modo del tutto simile al calcolo del prodotto tra due polinomi.
In generale si procederà allo stesso modo ripetendo la procedura con l’eventuale terzo termine del primo polinomio e così via.
Finiti tutti i termini del primo polinomio, si ripeteranno ancora tutte le procedure sin qui eseguite con la differenza di usare il secondo termine del terzo polinomio.
Si passerà poi in generale all’eventuale terzo termine del terzo polinomio e così via, fino ad esaurire anche tutti i termini del terzo polinomio.
Vediamo ora i singoli passaggi.
\[ \begin{align} &(ab+x)\cdot(2ab-x)\cdot(x-1)= \\ \\ & = ab \cdot 2ab \cdot x + ab \cdot (-x) \cdot x + x \cdot 2ab \cdot x + x \cdot (-x) \cdot x + \\ \\ & +ab \cdot 2ab \cdot (-1) + ab \cdot (-x) \cdot (-1) + x \cdot 2ab \cdot (-1) + x \cdot (-x) \cdot (-1) = \\ \\ & = 2a^2b^2x – \underline{abx^2}+\underline{2abx^2}-x^3-2a^2b^2+\underline{\underline{abx}}-\underline{\underline{2abx}}+x^2=\\ \\ & = 2a^2b^2x+abx^2-x^3-2a^2b^2-abx+x^2 \end{align} \]
Abbiamo così calcolato il prodotto dei tre polinomi assegnati.
E’ immediato verificare che il risultato è lo stesso di quello ottenuto con il metodo precedente. 😉 I termini si presentano in un ordine differente ma sono gli stessi.
Come già detto, il primo metodo presentato per la moltiplicazione fra tre polinomi è quello preferibile. Tuttavia, il secondo metodo è particolarmente utile quando si devono moltiplicare tra loro due polinomi e un monomio. In tal caso non conviene fare due distinte moltiplicazioni.
Consideriamo ad esempio la moltiplicazione:
\[ 4x \cdot (x+y-1)\cdot(2x+3) \]
In pratica, seguiremo la procedura per moltiplicare due polinomi tra loro (\( x+y-1 \) e \( 2x+3 \)) moltiplicando però, durante il calcolo di ciascun prodotto fra termini, anche per il termine \( 4x \). Si ha:
\[ \small\begin{align} & = 4x \cdot (x+y-1)\cdot(2x+3) = \\ \\ & = 4x \cdot x \cdot 2x + 4x \cdot x \cdot 3 + 4x \cdot y \cdot 2x + 4x \cdot y \cdot 3 + 4x \cdot (-1) \cdot 2x + 4x \cdot (-1) \cdot 3 = \\ \\ & =8x^3+\underline{12x^2}+8x^2y+12xy-\underline{8x^2}-12x= \\ \\ & = 8x^3+4x^2+8x^2y+12xy-12x\end{align} \]
Qui si conclude la lezione sul calcolo del prodotto fra tre o più polinomi. Come sempre, vi ricordiamo il pratico tool risolutore di polinomi, con il quale potrete verificare i vostri esercizi. 😉
Nella prossima lezione vedremo i prodotti notevoli.
Ciao a tutti e buono studio con Altramatica! 🙂