I radicali composti sono radicali che si presentano come somma di più radicali semplici o di più quantità in generale delle quali però almeno una sia un radicale semplice.
Vedremo come la moltiplicazione tra radicali composti segue le stesse regole della moltiplicazione tra polinomi. Già avevamo visto, tra l’altro, che la somma tra radicali segue regole del tutto simili alla somma tra polinomi. Richiameremo comunque brevemente la somma tra radicali anche in questa lezione. 😉
Senza ulteriori indugi, vediamo subito cosa si intende esattamente per radicali semplici e composti.
Radicali semplici e composti
I radicali semplici sono radicali nei quali abbiamo uno o più termini dentro un unico simbolo di radice. Un radicale semplice può anche avere un coefficiente, cioè può essere accompagnato da un numero che lo moltiplica.
Esempi di radicali semplici sono:
\[ \sqrt{2}; \qquad \sqrt[3]{7}; \qquad \sqrt[5]{a-b}; \qquad 5\sqrt{3} \]
I radicali composti, invece, sono somme algebriche di termini nei quali almeno uno è un radicale semplice. Sono radicali composti, ad esempio:
\[ \sqrt{3}+\sqrt{7}; \qquad 2\sqrt{5}-9 \]
Somme e prodotti tra radicali composti
Abbiamo a suo tempo visto che per sommare dei radicali tra loro dobbiamo seguire le stesse regole per la somma di monomi. Così, se vogliamo eseguire la somma tra radicali, la prima cosa è individuare i radicali tra loro simili.
Consideriamo ad esempio la somma:
\[ \sqrt{3}+4\sqrt{3} \]
I due radicali sono simili poiché in entrambi compare il termine \( \sqrt{3} \). Così è possibile sommare i radicali tra loro e scriveremo:
\[ \sqrt{3}+4\sqrt{3}=5 \sqrt{3} \]
Ancora, consideriamo la somma:
\[ \sqrt{2}+7\sqrt{2}+9\sqrt{3}+3\sqrt{3} \]
I radicali \( \sqrt{2} \) e \( 7\sqrt{2} \) sono simili poiché in entrambi compare il radicale \( \sqrt{2} \). In modo del tutto simile, anche i radicali \( 9\sqrt{3} \) e \( 3\sqrt{3} \) sono tra loro simili.
Sommando tra loro i radicali simili otteniamo:
\[ \sqrt{2}+7\sqrt{2}+9\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(1+7)\sqrt{2}+(9+3)\sqrt{3}=8\sqrt{2}+12\sqrt{3} \]
Per rendere più evidente il legame con la regola della somma tra monomi, possiamo porre:
\[ \sqrt{2}=x \]
e:
\[ \sqrt{3}=y \]
In tal modo, operando dette sostituzioni l’espressione di partenza \( \sqrt{2}+7\sqrt{2}+9\sqrt{3}+3\sqrt{3} \) diviene:
\[ x+7x+9y+3y \]
Sommiamo i monomi simili:
\[ 8x+12y \]
quindi sostituiamo al posto delle variabili letterali i corrispondenti radicali:
\[ 8\sqrt{2}+12\sqrt{3} \]
ed abbiamo di nuovo trovato il risultato. 😉
Consideriamo ora il prodotto:
\[ \sqrt{2}\cdot(7+5\sqrt{3}) \]
Qui si tratta dell’analogo di un prodotto tra un monomio e un polinomio. Basta semplicemente applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione. Si ha:
\[ \sqrt{2}\cdot(7+5\sqrt{3})=\sqrt{2} \cdot 7 +5 \sqrt{2}\sqrt{3}=7\sqrt{2}+5\sqrt{6} \]
Eseguiamo ora un prodotto leggermente più complicato:
\[ (6\sqrt{3}-5\sqrt{2})\cdot(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}) \]
Si tratta dell’analogo di un prodotto tra polinomi. Per vedere meglio questo, possiamo di nuovo porre le sostituzioni \( \sqrt{2}=x \) e \( \sqrt{3}=y \). Così il prodotto da eseguire diventa:
\[ (6y-5x)\cdot(2y+3x) \]
e quindi:
\[ 12y^2+18xy-10xy-15x^2= 12y^2+8xy-15x^2\]
Sostituiamo a questo punto alle lettere i corrispondenti radicali che avevamo all’inizio:
\[ 12 (\sqrt{3})^2+8\sqrt{2}\sqrt{3}-15(\sqrt{2})^2 \]
Sviluppando i calcoli otteniamo in conclusione:
\[ 12 \cdot 3+8 \sqrt{2}\sqrt{3}-15 \cdot 2=36-30+8\sqrt{6}=6+8\sqrt{6} \]
Osserviamo ancora una volta che non è necessario effettuare le sostituzioni con quantità letterali per poter eseguire questo tipo di calcoli. Abbiamo fatto questo solo per evidenziare l’analogia con le operazioni con monomi e polinomi. 😉
Nella pratica svolgiamo quindi i calcoli come segue:
\[ \begin{align}&(6 \sqrt{3}-5 \sqrt{2})\cdot (2\sqrt{3}+3\sqrt{2})= \\ \\ & = 6\sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{2}-5\sqrt{2}\cdot2\sqrt{3}-5 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2}=\\ \\ &= 6 \cdot 2 \cdot(\sqrt{3})^2+6 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \sqrt{2} – 5 \cdot 2 \sqrt{2}\sqrt{3}-15(\sqrt{2})^2= \\ \\ & = 12 \cdot 3 + 6 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} – 10 \sqrt{6}-15 \cdot 2 = \\ \\ & = 36+18\sqrt{6}-10\sqrt{6}-30= \\ \\ & = 6+8\sqrt{6}\end{align} \]
Osserviamo che riconduciamo ciascun prodotto alla forma “prodotto tra numeri per prodotto tra radicali”. Ad esempio:
\[ 6\sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{2}= 6 \cdot 3 \sqrt{3} \sqrt{2} \]
Arriviamo cioè ad una forma ove scriviamo prima i coefficienti dei radicali semplici moltiplicati tra loro, quindi i radicali moltiplicati tra loro. In questo modo, il risultato che otteniamo è un radicale semplice che ha per coefficiente \( 6\cdot 3 \) e come termine sotto radice il prodotto \( \sqrt{3}\sqrt{2} \) , ovvero \( \sqrt{6} \). In questo modo ricalchiamo lo schema del prodotto tra monomi. Basta infatti osservare che il prodotto tra termini sotto radice va inteso come la parte letterale del “monomio”.
Ora, dai prodotti notevoli ricordiamo il caso dei prodotti somma per differenza:
\[ (a-b)\cdot(a+b) = a^2-b^2 \]
Come è immediato vedere, nel risultato abbiamo soltanto termini in \( a^2 \) e \( b^2 \), senza nessun termine di primo grado.
In maniera del tutto simile, in un prodotto tra radicali del tipo il seguente:
\[ \left(3\sqrt{5}+4\sqrt{3} \right) \cdot\left(3\sqrt{5}-4\sqrt{3} \right) \]
il risultato non avrà radicali. Infatti abbiamo:
\[ \left(3\sqrt{5}+4\sqrt{3} \right) \cdot\left(3\sqrt{5}-4\sqrt{3} \right)=\left(3\sqrt{5} \right)^2-\left(4\sqrt{3} \right)^2 = \]
e quindi:
\[ =3^2 \cdot \left(\sqrt{5} \right) ^2-4^2 \cdot\left(\sqrt{3} \right) ^2=9 \cdot 5 – 16 \cdot 3=45-48=-3 \]
E’ dunque di particolare interesse, in generale, il prodotto tra radicali composti di due termini che differiscono tra loro soltanto per il segno che separa i termini stessi. Radicali composti di questo tipo si dicono coniugati. Così, diciamo che i radicali \( 3\sqrt{5}+4\sqrt{3} \) e \( 3\sqrt{5}-4\sqrt{3} \) sono coniugati.
La particolarità del prodotto tra radicali coniugati è che il risultato è razionale, ovvero privo di radicali.
Un’importantissima applicazione di questo è la razionalizzazione dei denominatori di frazioni nelle quali il denominatore contenga dei radicali. Della razionalizzazione nella sua generalità parleremo nella prossima lezione. Qui vogliamo comunque anticipare l’argomento presentando un esempio relativo a radicali coniugati. Sia data la frazione:
\[ \dfrac{5}{\sqrt{2}-3} \]
Ora, vogliamo riscrivere la frazione di modo che non contenga più radicali al denominatore. In tal modo, il denominatore diventerà razionale. Il procedimento si chiama per questo razionalizzazione.
In generale, per ottenere una frazione equivalente a quella di partenza il trucco da usare è quello di moltiplicarla per una quantità avente rapporto unitario.
Per quanto sappiamo sui radicali coniugati, sarà abbastanza intuitivo procedere in questo modo:
\[ \dfrac{5}{\sqrt{2}-3} = \dfrac{5}{\sqrt{2}-3} \cdot \stackrel{\displaystyle1}{\boxed{\dfrac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}+3}}} \]
Osserviamo attentamente il trucco: stiamo moltiplicando il denominatore della frazione di partenza per un radicale composto ad esso coniugato. Infatti, quest’ultimo differisce dal denominatore di partenza soltanto per il segno che separa i due termini presenti.
Abbiamo così:
\[ \dfrac{5}{\sqrt{2}-3} \cdot \dfrac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}+3}=\dfrac{5 \cdot \left(\sqrt{2}+3 \right)}{\left(\sqrt{2} \right)^2-3^2}=\dfrac{5 \sqrt{2}+15}{2-9}=\dfrac{5 \sqrt{2}+15}{-7} \]
Ed eccoci arrivati al risultato desiderato. 😉 Ora il denominatore è privo di radicali, ovvero è razionale. Abbiamo così razionalizzato il denominatore della frazione data.
Per questa lezione sui radicali semplici e composti è tutto. Nella prossima lezione entreremo più nel dettaglio della razionalizzazione delle frazioni con radicali, presentando i casi più comuni. Buono studio! 🙂